高考数学一轮复习 练案(13)第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用(含解析)-人教版高三数学试题_第1页
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文档简介

[练案13]第十讲函数模型及其应用A组基础巩固一、单选择1.现有一组数据如下:t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(C)A.v=log2t B.v=logeq\s\do4(\f(1,2))tC.v=eq\f(t2-1,2) D.v=2t-2[解析]解法一:v值随t值增大,且增长速度越来越快,故应选择幂函数模型,仅选项C符合.解法二:取t=1.99≈2(或t=5.1≈5),代入A得v=log22=1≠1.5;代入B,得v=logeq\s\do4(\f(1,2))2=-1≠1.5;代入C,得v=eq\f(22-1,2)=1.5;代入D,得v=2×2-2=2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求.故选C.2.(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是(C)A.7 B.8C.9 D.10[解析]由题意,当生产第k档次的产品时,每天可获得利润为y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6(k-9)2+864(1≤k≤10,k∈N),所以当k=9时,获得利润最大,故选C.3.(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)(B)A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年[解析]若2018年是第一年,则第n年科研费为1300×1.12n,由1300×1.12n>2000,可得lg1.3+nlg1.12>lg2,得n×0.05>0.19,n>3.8,n≥4,即4年后,到2021年科研经费超过2000万元.故选B.4.(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦日一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问几何日相逢?”意思是:有面厚五尺的墙壁,大、小两只老鼠同时从墙的两面,沿一直线相对打洞.大鼠第一天打1尺,以后每天的速度为前一天的2倍;小鼠第一天也打1尺,以后每天的速度是前一天的一半.它们多久可以相遇?(A)A.eq\f(36,17)天 B.eq\f(37,17)天C.eq\f(38,17)天 D.eq\f(39,17)天[解析]由于前两天大鼠打(1+2)尺,小鼠打(1+eq\f(1,2))尺,因此前两天两只老鼠共打3+1.5=4.5(尺).第三天,大鼠打4尺,小鼠打eq\f(1,4)尺,因此两只老鼠第三天相遇.设第三天相遇时,大鼠打y尺,小鼠打(0.5-y)尺,则eq\f(y,4)=eq\f(0.5-y,\f(1,4)),所以y=eq\f(8,17),因为第三天大鼠的速度是4尺/天,所以第三天进行了eq\f(\f(8,17),4)=eq\f(2,17)(天),所以它们经过2+eq\f(2,17)=eq\f(36,17)天可以相遇.故选A.5.(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加,其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b,则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为(D)A.eq\r(ab) B.eq\f(a+b,2)C.eq\f(a+1b+1-1,2) D.eq\r(a+1b+1)-1[解析]设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,∴x=eq\r(1+a1+b)-1,故选D.6.(2020·云南保山联考)某种新药服用xh后,血液中的药物残留量为y毫克,如图,为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟应在当日(C)A.上午10:00B.中午12:00C.下午4:00D.下午6:00[解析]当x∈[0,4]时,设y=k1x,把(4,320)代入,得320=4k1,解得k1=80,所以y=80x.当x∈(4,20]时,设y=k2x+b.把(4,320),(20,0)分别代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(320=4k2+b,,0=20k2+b)),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2=-20,,b=400,))所以y=400-20x.所以y=f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x,0≤x≤4,,400-20x,4<x≤20.))令f(x)=240,得x=3或x=8.故第二次服药最迟应在当日下午4:00.二、多选题7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的eq\f(3,4),要使存留的污垢不超过1%,则要洗的次数是(CD)A.2 B.3C.4 D.5[解析]设至少要洗x次,则(1-eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100),所以eq\f(1,4x)≤eq\f(1,100),4x≥100,因此至少洗4次,故选C、D.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中不一定正确的是(BCD)A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面[解析]由图象可知,曲线v甲比v乙在0~t0,0~t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.故选B、C、D.三、填空题9.“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概,当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射出时,t秒后的高度为x米,可由x=at-5t2确定,已知射箭2秒后箭离地面高100米,则弓箭能达到的最大高度为__180米__.[解析]由x=at-5t2且t=2时,x=100,解得a=60,所以x=60t-5t2,而x=60t-5t2=-5(t-6)2+180,则当t=6时,x的最大值为180米,即弓箭能达到的最大高度为180米.10.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙最为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过__16__min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.[解析]当t=8时,y=ae-8b=eq\f(1,2)a,所以e-8b=eq\f(1,2).容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=ae-bt=eq\f(1,8)a,e-bt=eq\f(1,8)=(e-8b)3=e-24b,则t=24.所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.11.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.小明和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为546.6元.[解析]依题意,价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤200,,0.9x200<x≤500,,500×0.9+x-500×0.7x>500,))当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.所以两次共购得价值为470+168=638元的商品,又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.四、解答题12.某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120eq\r(6t)吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.[解析](1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-120eq\r(6t),令eq\r(6t)=x,则x2=6t,即t=eq\f(x2,6),所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40,(构建二次函数)所以当x=6,即t=6时,ymin=40,即从供水开始到第6小时时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.(2)由(1)及题意得400+10x2-120x<80,即x2-12x+32<0,解得4<x<8,即4<eq\r(6t)<8,eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3).因为eq\f(32,3)-eq\f(8,3)=8,所以每天约有8小时出现供水紧张现象.13.(2020·山东三校联考,21)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x2+2,0≤x≤2,,\f(50x,1+x),2<x≤5,))其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求,记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位:元).(1)求f(x)的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?[解析](1)由已知得f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15×5x2+2-30x,0≤x≤2,,15×\f(50x,1+x)-30x,2<x≤5))=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2-30x+150,0≤x≤2,,\f(750x,1+x)-30x,2<x≤5.))(2)由(1)得f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2-30x+150,0≤x≤2,,\f(750x,1+x)-30x,2<x≤5,))=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x-\f(1,5)2+147,0≤x≤2,,780-30[\f(25,1+x)+1+x],2<x≤5,))当0≤x≤2时,f(x)max=f(2)=390;当2<x≤5时,f(x)=780-30[eq\f(25,1+x)+(1+x)]≤780-30×2eq\r(\f(25,1+x)·1+x)=480,当且仅当eq\f(25,1+x)=1+x,即x=4时等号成立.因为390<480,所以当x=4时,f(x)max=480.答:当投入的肥料费用为40元时,种植该果树的单株利润最大,最大利润是480元.B组能力提升1.(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况,它的计算公式为n=eq\f(x,y)(x代表人均食品支出总额,y代表人均个人消费支出总额),且y=2x+475,各种类型的家庭标准如表:家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%,张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下,人均个人消费少支出75元,则张先生家2019年属于(D)A.贫困 B.温饱C.小康 D.富裕[解析]设2018年人均食品支出x元,则2019年人均食品支出x(1-7.5%)=92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x+475,由题意,有2×92.5%x+475+75=2x+475,∴x=500.此时,n=eq\f(92.5%×500,2×92.5%×500+475)≈0.3304=33.04%,由表知属富裕.2.(2020·山西朔州一中期末)设某公司有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(均正常数),公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产、分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年人创造产值在原有基础上增长了1.2x%,若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是(B)A.15 B.16C.17 D.18[解析]依题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<100,x∈N*,100-x1+1.2x%t≥100t)),解得0<x≤eq\f(50,3),又因为x∈N*,所以x的最大值为16,故选B.3.(2020·湖北省七市高三联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(时)的关系为P=P0e-kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为__10__小时.[解析]前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t=5时,P=0.9P0,代入,得(e-k)5=0.9,∴e-k=eq\r(5,0.9)=0.9eq\f(1,5),∴P=P0e-kt=P0(0.9eq\f(1,5))t.当污染物

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