高考数学一轮复习 练案（13）第二章 函数、导数及其应用 第十讲 函数模型及其应用（含解析）-人教版高三数学试题

[练案13]第十讲函数模型及其应用A组基础巩固一、单选择1．现有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(C)A．v＝log2t B．v＝logeq\s\do4(\f(1,2))tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2[解析]解法一：v值随t值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C符合．解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝logeq\s\do4(\f(1,2))2＝－1≠1.5；代入C，得v＝eq\f(22－1,2)＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求．故选C.2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(C)A．7 B．8C．9 D．10[解析]由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利润最大，故选C.3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(B)A．2020年 B．2021年C．2022年 D．2023年[解析]若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.4．(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？(A)A．eq\f(36,17)天 B．eq\f(37,17)天C．eq\f(38,17)天 D．eq\f(39,17)天[解析]由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋eq\f(1,2))尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．第三天，大鼠打4尺，小鼠打eq\f(1,4)尺，因此两只老鼠第三天相遇．设第三天相遇时，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，则eq\f(y,4)＝eq\f(0.5－y,\f(1,4))，所以y＝eq\f(8,17)，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了eq\f(\f(8,17),4)＝eq\f(2,17)(天)，所以它们经过2＋eq\f(2,17)＝eq\f(36,17)天可以相遇．故选A.5．(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为(D)A．eq\r(ab) B．eq\f(a＋b,2)C.eq\f(a＋1b＋1－1,2) D．eq\r(a＋1b＋1)－1[解析]设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，∴x＝eq\r(1＋a1＋b)－1，故选D.6．(2020·云南保山联考)某种新药服用xh后，血液中的药物残留量为y毫克，如图，为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日(C)A．上午10：00B．中午12：00C．下午4：00D．下午6：00[解析]当x∈[0,4]时，设y＝k1x，把(4,320)代入，得320＝4k1，解得k1＝80，所以y＝80x.当x∈(4,20]时，设y＝k2x＋b.把(4,320)，(20,0)分别代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(320＝4k2＋b，,0＝20k2＋b))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝－20，,b＝400，))所以y＝400－20x.所以y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4，,400－20x，4<x≤20.))令f(x)＝240，得x＝3或x＝8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.二、多选题7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是(CD)A．2 B．3C．4 D．5[解析]设至少要洗x次，则(1－eq\f(3,4))x≤eq\f(1,100)，所以eq\f(1,4x)≤eq\f(1,100)，4x≥100，因此至少洗4次，故选C、D.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙，如图所示，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中不一定正确的是(BCD)A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面[解析]由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大，则在t0，t1时刻，甲车均在乙车前面．故选B、C、D.三、填空题9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射出时，t秒后的高度为x米，可由x＝at－5t2确定，已知射箭2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__180米__.[解析]由x＝at－5t2且t＝2时，x＝100，解得a＝60，所以x＝60t－5t2，而x＝60t－5t2＝－5(t－6)2＋180，则当t＝6时，x的最大值为180米，即弓箭能达到的最大高度为180米．10．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙最为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过__16__min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析]当t＝8时，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，所以e－8b＝eq\f(1,2).容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一．11．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．小明和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为546.6元．[解析]依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤200，,0.9x200<x≤500，,500×0.9＋x－500×0.7x>500，))当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．四、解答题12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120eq\r(6t)吨(0≤t≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析](1)设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－120eq\r(6t)，令eq\r(6t)＝x，则x2＝6t，即t＝eq\f(x2,6)，所以y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40，(构建二次函数)所以当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨．(2)由(1)及题意得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，解得4<x<8，即4<eq\r(6t)<8，eq\f(8,3)<t<eq\f(32,3).因为eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．13．(2020·山东三校联考，21)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系：W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x2＋2，0≤x≤2，,\f(50x,1＋x)，2<x≤5，))其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该珍稀水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．(1)求f(x)的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？[解析](1)由已知得f(x)＝15W(x)－20x－10x＝15W(x)－30x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15×5x2＋2－30x，0≤x≤2，,15×\f(50x,1＋x)－30x，2<x≤5))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋150，0≤x≤2，,\f(750x,1＋x)－30x，2<x≤5.))(2)由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x2－30x＋150，0≤x≤2，,\f(750x,1＋x)－30x，2<x≤5，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(75x－\f(1,5)2＋147，0≤x≤2，,780－30[\f(25,1＋x)＋1＋x]，2<x≤5，))当0≤x≤2时，f(x)max＝f(2)＝390；当2<x≤5时，f(x)＝780－30[eq\f(25,1＋x)＋(1＋x)]≤780－30×2eq\r(\f(25,1＋x)·1＋x)＝480，当且仅当eq\f(25,1＋x)＝1＋x，即x＝4时等号成立．因为390<480，所以当x＝4时，f(x)max＝480.答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．B组能力提升1．(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝eq\f(x,y)(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于(D)A．贫困 B．温饱C．小康 D．富裕[解析]设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝eq\f(92.5%×500,2×92.5%×500＋475)≈0.3304＝33.04%，由表知属富裕．2．(2020·山西朔州一中期末)设某公司有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(均正常数)，公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产、分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年人创造产值在原有基础上增长了1.2x%，若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(B)A．15 B．16C．17 D．18[解析]依题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<100，x∈N*,100－x1＋1.2x%t≥100t))，解得0<x≤eq\f(50,3)，又因为x∈N*，所以x的最大值为16，故选B.3．(2020·湖北省七市高三联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为__10__小时．[解析]前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝eq\r(5,0.9)＝0.9eq\f(1,5)，∴P＝P0e－kt＝P0(0.9eq\f(1,5))t.当污染物