高考数学一轮复习 练案（31）第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第五讲 数系的扩充与复数的引入（含解析）-人教版高三数学试题

[练案31]第五讲数系的扩充与复数的引入A组基础巩固一、单选题1．(2020·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(i＋2)对应的点的坐标为＝(B)A．(1,2) B．(－1,2)C．(2,1) D．(2，－1)[解析]i(i＋2)＝i2＋2i＝－1＋2i对应点(－1,2)，故选B.2．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝i(2＋i)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝(D)A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i[解析]依题意得z＝i2＋2i＝－1＋2i，eq\o(z,\s\up6(－))＝－1－2i，故选D.3．(2020·沈阳市教学质量监测)若i是虚数单位，则复数eq\f(2＋3i,1＋i)的实部与虚部之积为(B)A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C.eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i[解析]因为eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(2＋3i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以实部为eq\f(5,2)，虚部为eq\f(1,2)，实部与虚部之积为eq\f(5,4).故选B.4．(2020·贵州37校联考)复数z＝eq\f(1＋i,1－i)的共轭复数是(D)A．1＋i B．1－iC．i D．－i[解析]因为z＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))＝－i，故选D.5．(2020·湖南株洲质检)已知复数z满足(1－i)z＝|2i|，i为虚数单位，则z等于(B)A．1－i B．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i D．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i[解析]由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，故选B.6．(2020·五省优创名校联考)若复数z1，z2满足z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝(A)A．eq\f(5,2) B．3C．eq\f(7,2) D．4[解析]因为z1＝eq\f(1,\r(2)－i)－eq\f(1,\r(2)＋i)＝eq\f(2i,3)，z2＝eq\f(1,z1)＋2＝eq\f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq\f(5,2).7．(2020·陕西部分学校摸底检测)已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|为(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．1[解析]解法一：因为复数z满足z(1－i)2＝1＋i，所以z＝eq\f(1＋i,1－i2)＝eq\f(1＋i,－2i)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，所以|z|＝eq\f(\r(2),2)，故选B.解法二：因为复数z满足z(1－i)2＝1＋i所以|z|＝|eq\f(1＋i,1－i2)|＝eq\f(|1＋i|,|1－i|2)＝eq\f(\r(2),2)，故选B.8．(2020·江西临川一中模拟)设复数z1＝i，z2＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝z1·z2在复平面内对应的点到原点的距离是(B)A．1 B．eq\r(2)C．2 D．eq\f(\r(2),2)[解析]因为z＝i(1＋i)＝－1＋i，所以z在复平面内对应的点为(－1,1)，该点到原点的距离是|z|＝eq\r(2)，故选B.二、多选题9．如果复数z＝eq\f(2,－1＋i)，则下面正确的是(AD)A．z的共轭复数为－1＋iB．z的虚部为－1C．|z|＝2D．z的实部为－1[解析]因为z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的实部为－1，共轭复数为－1＋i，故选A、D.10．已知复数z满足i2k＋1·z＝2＋i，(k∈Z)则复数z在复平面内对应的点可能位于(BD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵i2k＋1·z＝2＋i，∴z＝eq\f(2＋i,i2k＋1)当k为奇数时，i2k＋1＝－i，∴z＝－1＋2i，位于第二象限当k为偶数时，i2k＋1＝i∴z＝1－2i，位于第四象限故选B、D.三、填空题11.eq\f(1－i,1＋i2)＋eq\f(1＋i,1－i2)＝__－1__.[解析](1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，∴原式＝eq\f(1－i,2i)＋eq\f(1＋i,－2i)＝eq\f(－2i,2i)＝－1.12．(2019·江苏)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__2__.[解析](a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，∴a－2＝0，a＝2.13．(2019·天津)i是虚数单位，则|eq\f(5－i,1＋i)|的值为eq\r(13).[解析]方法一：eq\f(5－i,1＋i)＝eq\f(5－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－6i,2)＝2－3i，于是|eq\f(5－i,1＋i)|＝|2－3i|＝eq\r(22＋－32)＝eq\r(13).方法二：|eq\f(5－i,1＋i)|＝eq\f(|5－i|,|1＋i|)＝eq\f(\r(52＋－12),\r(12＋12))＝eq\f(\r(26),\r(2))＝eq\r(13).14．已知a∈R，i为虚数单位，若eq\f(a＋2i,3－i)为实数，则实数a的值为__－6__.[解析]解法一：因为eq\f(a＋2i,3－i)＝eq\f(a＋2i3＋i,3－i3＋i)＝eq\f(3a－2a＋6i,10)＝eq\f(3a－2,10)＋eq\f(a＋6,10)i为实数，所以eq\f(a＋6,10)＝0，解得a＝－6.解法二：令eq\f(a＋2i,3－i)＝t(t∈R)，则a＋2i＝t(3－i)＝3t－ti，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3t,2＝－t))，解得a＝－6.B组能力提升1．(2020·河南商丘九校联考)若复数z＝eq\f(1＋i,a－i)(a∈R，i为虚数单位．)为纯虚数，则|z|的值为(A)A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2[解析]由题意可设z＝eq\f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.2．(2020·广东七校联考)设z＝1＋i(i为虚数单位)，则复数eq\f(2,z)＋z2在复平面内对应的点位于(A)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因为z＝1＋i，所以eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＋1＋2i＋i2＝eq\f(21－i,2)＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.3．(2020·福建福州五校联考)若复数eq\f(1－bi,2＋i)(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为(B)A．－6 B．－3C．3 D．6[解析]解法一：由题意可设eq\f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.解法二：eq\f(1－bi,2＋i)＝eq\f(1－bi2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2－b－1＋2bi,5)，∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.4．(2020·安徽合肥教学质量检测)已知i是虚数单位，若复数z满足z2＝－4，则eq\f(1,z)＝(D)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)iC．±eq\f(1,2) D．±eq\f(1,2)i[解析]设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，则(x＋yi)2＝－4，即x2－y2＋2xyi＝－4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝－4，,2xy＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝±2，))所以z＝±2i，eq\f(1,z)＝eq\f