高考数学一轮复习 练案（3）第一章 集合与常用逻辑用语 第三讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词（含解析）-人教版高三数学试题

[练案3]第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词A组基础巩固一、单选题1．(2020·内蒙古呼和浩特市高三调研)已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(C)A．命题¬p是真命题B．命题p是特称命题C．命题p是全称命题D．命题p既不是全称命题也不是特称命题[解析]命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称命题，故选C.2．(2020·山西芮城期末)在一次数学测试中，成绩在区间[125,150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为(A)A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q[解析]“甲测试成绩不优秀”可表示为¬p，“乙测试成绩不优秀”可表示为¬q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为(¬p)∨(¬q)．故选A.3．“若¬q”是假命题，命题“p∧q”也是假命题，则(C)A．命题“(¬p)∨q”是假命题B．命题“p∨q”是假命题C．命题“(¬p)∨q”是真命题D．命题“p∨(¬q)”是真命题[解析]由“¬q”为假命题，得q为真命题．又“p∧q”是假命题，所以p为假命题，“¬p”为真命题，所以命题“(¬p)∨q”是真命题，命题“p∨q”是真命题，故选C.4．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为(D)A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数[解析]命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“所有实数的平方不都是正数”，即至少有一个实数的平方不是正数，故选D.5．(2020·吉林长春实验中学高三期中)命题“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为(C)A．“∀x∈R，x3－3x>0” B．“∀x∈R，x3－3x≥0”C．“∃x0∈R，xeq\o\al(3,0)－3x0>0” D．“∃x0∈R，xeq\o\al(3,0)－3x0<0”[解析]因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x3－3x≤0”的否定为“∃x0∈R，xeq\o\al(3,0)－3x0>0”．故选C.6．下列四个命题中为真命题的是(C)A．∀x∈R，x2＋3<0 B．∀x∈N，x2≥1C．∃x0∈Z，xeq\o\al(5,0)<1 D．∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝37．已知命题p：∀x∈R，(a＋2)x2－2ax＋1<0，若命题p为假命题，则a的取值范围为(A)A．R B．(－∞，－2)C．(－∞，－2] D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)[解析]若命题p为真，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2<0，,Δ<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－2，,4a2－4a＋2<0，))∴a∈∅，因此若命题p为假命题，则a的取值范围为R，故选A.二、多选题8．(2019·山东聊城一中高三10月月考)下列命题中是真命题的是(ABD)A．∃x，y∈(0，＋∞)，lgeq\f(x,y)＝lgx－lgyB．∀x∈R，x2＋x＋1>0C．∀x∈R,2x<3xD．∃x，y∈R,2x·2y＝2xy[解析]对于A，由对数的运算性质可知，∃x，y∈(0，＋∞)，lgeq\f(x,y)＝lgx－lgy，故正确；对于B，b2－4ac＝1－4＝－3<0，故正确：对于C，当x＝－1时，2－1>3－1，故错误；对于D，由同底数幂乘积可得x＝y＝2时，2x·2y＝2xy，故正确．故选A、B、D.9．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为假命题的是(ACD)A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)[解析]∵x2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴命题p为真命题．当a2<b2时，不一定有a<b，如32<(－5)2，但3>－5，故命题q为假命题，故¬q为真命题．∴p∧(¬q)为真命题，故选A、C、D.10．下列命题中为假命题的是(ACD)A．命题“若x>1，则x2>1”的否命题B．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”的否定D．命题“若eq\f(1,x)>1，则x>1”的逆否命题[解析]命题“若x>1，则x2>1”的否命题：若x≤1，则x2≤1，显然不正确，反例：x＝－2，x2>1.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题：若x>|y|，则x>y，正确．命题“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”为真命题，所以其否定为假命题．命题“若eq\f(1,x)>1，则x>1”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选A、C、D.二、填空题11．(2020·安徽滁州联合质检)命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)<cosx0”的否定为∀x∈R,2x2≥cosx.[解析]特称命题的否定为全称命题，所以命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)<cosx0”的否定为∀x∈R,2x2≥cosx.12．若“∀x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为__0__.[解析]“∀x∈[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]，m≤tanx＋1”为真命题，可得－1≤tanx≤1，∴0≤tanx＋1≤2，∴实数m的最大值为0.13．(2020·北京海淀区高三上期中)能说明“若存在x0，使得f(－x0)＝－f(x0)，则f(x)不是偶函数”为假命题的一个函数f(x)是__f(x)＝x2－1(答案不唯一)__.[解析]如f(x)＝x2－1.当x＝－1时，满足f(－1)＝0，f(1)＝0，满足存在x0，使得f(－x0)＝－f(x0)，但是函数f(x)是偶函数．14．(2020·湖北孝感八校联考)已知命题p：∀x∈R，x2＋1>0，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋xeq\o\al(－2,0)<a，且p∧q为真命题，则实数a的取值范围为__(2，＋∞)__.[解析]命题p：∀x∈R，x2＋1>0为真命题，若命题“p∧q”为真命题，则q是真命题．由命题q：∃x0∈(0，＋∞)，xeq\o\al(2,0)＋xeq\o\al(－2,0)<a为真命题，得a>(x2＋x－2)min＝2，∴实数a的取值范围为(2，＋∞)．B组能力提升1．(2020·辽宁锦州期末)命题p：∀x∈[2，＋∞)，log2x≥1，则(A)A．p是真命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1B．p是假命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1C．p是假命题，¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1D．p是真命题，¬p：∀x∈[2，＋∞)，log2x<1[解析]∵y＝log2x为增函数，∵x≥2，∴log2x≥log22＝1，∴p为真命题．¬p：∃x0∈[2，＋∞)，log2x0<1.故选A.2．(2020·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋eq\f(1,x)≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，xeq\o\al(2,0)>xeq\o\al(3,0)，则下列命题中为真命题的是(A)A．(¬p)∧q B．p∧(¬p)C．(¬p)∧(¬q) D．p∧q[解析]对于p：当x＝－1时，x＋eq\f(1,x)＝－2，∴p为假命题．从而¬p为真命题，取x0∈(0,1)，此时xeq\o\al(2,0)>xeq\o\al(3,0)，∴q为真命题．(¬p)∧q为真命题．3．(2020·西藏拉萨中学月考)下列说法正确的是(C)A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x≠1”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题p：∃x0∈R，sinx0>1，则¬p：∀x∈R，sinx≤1D．“φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件[解析]对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”，A错误，对于B，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，B错误．对于C，命题p：∃x0∈R，sinx0>1，则¬p：∀x∈R，sinx≤1，C正确．对于D，φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，充分性成立．函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数时，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，必要性不成立，不是充要条件，D错误．故选C.4．(2020·贵州贵阳模拟)已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(¬p)∧q为真命题，则x的值为(D)A．1 B．－1C．2 D．－2[解析]因为¬p：∃x∈R,2x≥3x，要使(¬p)∧q为真命题，所以¬p与q同时为真命题．由2x≥3x得(eq\f(2,3))x≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.故选D.5．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数