新高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业66 二项分布与正态分布（含解析）-人教版高三数学试题VIP

课时作业66二项分布与正态分布一、选择题1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(D)A．0.4 B．0.6C．0.75 D．0.8解析：设事件A为“某一天的空气质量为优良”，事件B为“随后一天的空气质量为优良”，由题意知P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，则P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.故选D.2．从甲袋中摸出1个白球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出1个白球的概率是eq\f(1,2)，如果从甲、乙两袋中各摸出1个球，那么eq\f(5,6)是(A)A．2个球不都是白球的概率B．2个球都不是白球的概率C．2个球都是白球的概率D．2个球中恰好有1个球是白球的概率解析：∵2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，2个球都是白球的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴2个球不都是白球的概率是1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，故选A.3．一批产品的次品率为4%，正品中一等品率为75%.现从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为(C)A．0.75 B．0.71C．0.72 D．0.3解析：因为这批产品的次品率为4%，所以正品率为96%，又因为正品中一等品率为75%，所以这批产品的一等品率为96%×75%＝72%，所以从这批产品中任取一件，恰好取到一等品的概率为0.72.4．箱中有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的六个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率是(B)A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)解析：1人参与摸奖，获奖的概率为eq\f(6,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)，记获奖的人数为ξ，则ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，所以4人中恰好有3人获奖的概率为Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，故选B.5．袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为(B)A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,5)解析：设“第二次摸到红球”为事件A，“第一次摸到红球”为事件B，∵P(A)＝eq\f(2×1＋2×2,4×3)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(2,4×3)＝eq\f(1,6)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3)，∴在第二次摸到红球的条件下，第一次摸到红球的概率为eq\f(1,3)，故选B.6．经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是(A)A．0.35 B．0.65C．0.7 D．0.85解析：∵数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，∴P(X≥90)＝eq\f(1－P80<X<90,2)＝0.35，故选A.7．(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是(AC)A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是eq\f(1,3)，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为eq\f(4,27)B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为eq\f(2,5)C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为eq\f(1,2)D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为eq\f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是eq\f(2,9)解析：对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正确；对于B，用A、B、C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密码被破译的概率为1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B不正确；对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，设“从乙袋中取到白球”为事件B，则P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故取到同色球的概率为eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故C正确；对于D，易得P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，即P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)，又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3)，故D错误．故选AC.8．如图，在曲线C(曲线C为正态分布N(－2,4)的密度曲线)与x轴围成的区域中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为(C)(附：X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.)A．906 B．2718C．1359 D．3413解析：因为x～N(－2,4)，所以正态曲线关于直线x＝－2对称，且μ＝－2，σ＝2.因为P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝P(－4<x≤0)≈0.6827，P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝P(－6<x≤2)≈0.9545，所以P(0≤x≤2)＝eq\f(1,2)[P(－6<x≤2)－P(－4<x≤0)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.设落入阴影部分的点的个数为m，所以eq\f(m,10000)＝0.1359，解得m＝1359，故选C.二、填空题9．已知随机变量X服从正态分布N(2,1)，若P(X≤a－2)＝P(X≥2a＋3)，则a＝1.解析：因为随机变量X服从正态分布N(2,1)，所以μ＝2，即正态曲线的对称轴为μ＝2，因为P(X≤a－2)＝P(X≥2a＋3)，所以a－2＋2a＋3＝4，所以a＝1.10．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为eq\f(12,13).解析：设事件“从8件产品中取出2件产品中有1件不是一等品”为A，事件“从8件产品中取出2件产品中有1件是一等品”为B，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(13,28)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,2),C\o\al(2,8))＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7)，所以另1件是一等品的概率为P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,7),\f(13,28))＝eq\f(12,13).11．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是0.18.解析：记事件M为甲队以41获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.12．一款砸金蛋游戏的规则如下：每盘游戏都需要砸三个金蛋，每次砸蛋要么出现金花，要么不出现．已知每次砸蛋出现金花的概率为eq\f(1,2)，且各次砸蛋出现金花与否相互独立，则玩三盘游戏，至少有一盘出现金花的概率为eq\f(511,512).解析：砸蛋三次出现一次金花的概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,8)，出现两次金花的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，出现三次金花的概率为Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))0＝eq\f(1,8)，则每盘游戏出现金花的概率P＝eq\f(3,8)＋eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,8)，所以玩三盘游戏，至少有一盘出现金花的概率P1＝1－Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))3＝eq\f(511,512).三、解答题13．(2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.14．“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片．随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练天数不大于23或4不少于5人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动检验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出，调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列．解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市“热烈参与者”的人数约为20000×eq\f(40,200)＝4000.(2)根据题意可知，ξ～B(3，eq\f(4,5))，则P(ξ＝0)＝(eq\f(1,5))3＝eq\f(1,125)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(4,5))(eq\f(1,5))2＝eq\f(12,125)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(4,5))2(eq\f(1,5))＝eq\f(48,125)，P(ξ＝3)＝(eq\f(4,5))3＝eq\f(64,125)，ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,125)eq\f(12,125)eq\f(48,125)eq\f(64,125)15．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，他前一球投进则后一球投进的概率为eq\f(3,4)，他前一球投不进则后一球投进的概率为eq\f(1,4).若他第1球投进的概率为eq\f(3,4)，则他第3球投进的概率为(D)A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,8)C.eq\f(7,16) D.eq\f(9,16)解析：设该篮球运动员投进第n－1(n≥2，n∈N*)个球的概率为Pn－1，第n－1个球投不进的概率为1－Pn－1，则他投进第n个球的概率为Pn＝eq\f(3,4)Pn－1＋eq\f(1,4)(1－Pn－1)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)Pn－1，∴Pn－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(Pn－1－eq\f(1,2))．∴Pn－eq\f(1,2)＝(P1－eq\f(1,2))·(eq\f(1,2))n－1＝(eq\f(1,2))n－1×eq\f(1,4)＝(eq\f(1,2))n＋1.∴Pn＝(eq\f(1,2))n＋1＋eq\f(1,2)(n∈N*)，∴P3＝eq\f(9,16).故选D.16．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为eq\f(1,2)，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．(1)当n取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？(2)当n＝4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)对于一个坑而言，要补播种的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,2).有3个坑需要补播种的概率为Ceq\o\al(3,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，要使Ceq\o\al(3,n)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n最大，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(3,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n≥C\o\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，,C\o\al(3,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n≥C\o\al(4,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，))解得5≤n≤7，∵n∈N*，故n＝5,6,7.∵Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\