研究生入学考试第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法模版课件

第六章二阶线性常微分方程的幂级数解法

数学物理方法——数学物理问题中的二阶线性常微分方程的标准形式为方程的系数→解的解析性级数解法得到的解总是指某一指定点

z0

的邻域内收敛的无穷级数。p(z)、q(z)在z0点的解析性级数解在z0点的解析性。超几何方程6.1二阶线性常微分方程的常点和奇点

定义

假设p(z)、q(z)在z0点解析，称z0点为方程的常点。假设p(z)、q(z)中至少有一个在z0点不解析，称z0点为方程的奇点。

举例有限远处p(z)、q(z)有两个奇点，z=0和z=1。所以，z=0和z=1是超几何方程的奇点，有限远处的其它点为方程的常点。勒让德方程

举例有限远处p(z)、q(z)有两个奇点，z=1和z=-1。所以，z=0和z=1是勒让德方程的奇点，有限远处的其它点为方程的常点。要判断z=∞是否为方程的奇点，作自变量变换二阶线性齐次常微分方程可以化为标准形式为假设t=0是常点/奇点，那么z=∞就是常点/奇点。和不含t负幂项

t=0(z=∞)为方程常点的条件可见，z=∞是勒让德方程和超几何方程的奇点。将代入方程得

例题解求二阶线性常微分方程，使其解为和。

设所求方程为即

(1)代入(2)得将代入方程得即

即所求方程为

假设p(z)和q(z)在圆内单值解析，那么在此圆内常微分方程初值问题(c0，c1为任意常数)有唯一的一个解w(z)，且w(z)在这个圆内单值解析。6.2方程常点邻域内的解

定理∴均可展开为幂级数：求解方法说明

其中an，bn，c0，c1，确定出cn可求出方程的解。将展开为级数的p(z)，q(z)和w(z)代入方程：∵

p(z)和q(z)在圆内单值解析，可知幂次项(z-z0)n的系数全为0考察各幂次项系数常数项系数为一次项系数为以此类推cn均可用c0和c1表示

例题解求勒让德方程在z=0邻域内的解，l为参数。统一求和指标，k均从0记z=0为常点，有代入方程得zk同次幂合并后，得合并ck的系数，得即得递推关系为偶次幂系数为同理，奇次幂系数为引进记号那么∴勒让德方程在内的解就是任意给定初始条件c0和c1，就可得到一个特解。尤其当和时，即得特解二者的任意线性组合即为通解。求解过程中，ck+2只与ck有关，而与ck+1无关，w1(z)是偶函数，w2(z)是奇函数。对于z→-z变换，勒让德方程的形式不变，故w(-z)也是方程的解，且w(z)+w(-z)是偶函数，w(z)-w(-z)是奇函数。在常点邻域内求级数解的一般步骤1、将方程常点邻域内的解展开为泰勒级数，代入方程；2、比较系数，获得系数间的递推关系；3、反复利用递推关系，求出系数ck的普遍表达式〔用c0和c1表示〕，最后得出级数解。线性方程线性递推关系w1(z)和

w2(z)是两个线性无关的特解

例题解求方程

在z=0邻域内的两个级数解。

代入方程得z=0是方程的常点，令

考察同次幂系数零次幂系数一次幂系数二次幂系数三次幂系数四次幂系数五次幂系数n次幂系数同理所以对应和有两个线性无关的特解：

例题设是方程的解，在区域G1内解析，假设是在区域G2内的解析延拓，即试证明：仍是方程的解。设证明g(z)在G2内的解析是方程在G1内的解，故在内仍满足方程而时，故在G2内满足方程即，由解析函数唯一性可知∵和线性无关∴

朗斯基行列式

例题设和是的两个线性无关解，且均在区域G1内解析，假设和是和在G2内的解析延拓，即时，试证：和仍线性无关上个例子已经证得和仍是方程的解证明所以，和在G2内仍线性无关。由解析函数的唯一性可知在G2内解析设

∵∴由以上例题可知，方程在不同区域内的解式互为解析延拓，因此，可以由方程在某一区域内的解式出发，通过解析延拓推出方程在其它区域内的解式。假设z0是方程的奇点，那么在p(z)和q(z)都解析的环域内，方程的线性无关解是6.3方程正那么奇点邻域内的解定理其中为常数。当或不是整数，或，方程的解均为多值函数，z0为其支点。将和代入方程，难以求出系数的普遍公式〔无穷多正幂项与负幂项〕，当级数解中只有有限个负幂项，总可以调整值，使级数中没有负幂项。说明称为正那么解。方程在奇点邻域内有两个正那么解的条件是什么？定理充分必要条件富克斯定理方程在其奇点z0的邻域内有两个正那么解和在z0点解析z=0和z=1均为超几何方程的正那么奇点。

举例z0

=0时，和在z0

=0处解析。z0

=1时，和在z0

=1处解析。z=1和z=-1均为勒让德方程的正那么奇点。

举例z0

=1时，和在z0

=0处解析。z0

=1时，和在z0

=1处解析。要判断z=∞是否为方程的奇点，作自变量变换〔前面已推得〕方程化为在t=0

处，解析。那么z=∞是方程的正那么奇点。判断z=∞是否为超几何方程和勒让德方程的正那么奇点。

例题超几何方程：在t=0处解析，t=0为正那么奇点。z=∞为超几何方程的正那么奇点。勒让德方程：在t=0处解析，t=0为正那么奇点。z=∞为勒让德方程的正那么奇点。将代入方程比较系数，求出指标和系数递推关系在正那么奇点z0处将代入方程正那么奇点邻域内级数解的求解思路整数求得两个线性无关解只求得一个解求解过程设z=0是方程的正那么奇点，在z=0的邻域内，方程的系数作洛朗展开：设解为代入方程，有由于的存在，c0不会因求导而消失，k仍从0取起。约去，整理得的系数为即指标方程其中获得指标，其中和〔规定〕的系数为系数递推关系反复利用系数递推关系，得到★假设整数，分别代入和可得两个线性无关的特解★假设，第二特解必含对数项★假设〔整数〕，第二特解可能含有对数项补充讨论：当〔整数〕时，假设第二特解含有对数项，其系数有∵∴因此，①时，无解；②时，任意。对于①，

一定含有对数项；对于②，

同时依赖于和，有两项，一项正比于，一项正比于，而此时可取任意值，取。因此，〔整数〕，第二特解可能含有对数项补充证明：普遍理论对二阶常微分方程，假设已求出，总可以通过积分求出第二解的级数。得

证明即

∵∴可知两端同除以得

积分得

再积分，即

例题解求方程

在z=0邻域内的两个级数解。

又知z=0是方程的正那么奇点。方程的标准形式为易知在z=0点解析

z=0是方程的奇点

指标方程为指标为将代入系数递推公式可得即所以当时，由系数递推公式可得所以不是指标。

n不能取1，意味着不存在，令A=1，代入得∴方程在z=0邻域内的两个级数解为

可知是方程的奇点。6.4贝塞耳方程的解在柱坐标中对亥姆霍兹方程或拉普拉斯方程别离变量，可以得到贝塞耳方程〔g阶贝塞耳方程〕g是常数，均在解析，所以是方程的正那么奇点。

讨论：贝塞耳方程在的邻域内的解设代入方程有约去，得∴时时任意由级数展开的唯一性可知，作系数比较项的系数：可得指标方程即项的系数：即项的系数：可知递推关系：反复使用递推关系：用代入系数通式，可得那么取就有解：

g阶贝塞耳函数用代入系数通式，可得那么当整数时，取就有解：-g阶贝塞耳函数当时，以上只给出同一解补充讨论的情形，任意，假设，那么此时即，那么只是又增加了一项当