专题01直线的方程8种常见考法归类（原卷版）

专题01直线的方程8种常见考法归类思维导图核心考点聚焦考点一、直线的倾斜角与斜率考点二、两条直线的平行和垂直考点三、直线的方程考点四、动直线恒过定点问题及其应用考点五、直线的交点问题考点六、直线的距离问题考点七、直线的对称问题考点八、直线的综合问题知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线知识点2直线的斜率1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．知识点3斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在知识点4两条直线平行和垂直1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.注：（1）l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②l1与l2不重合．（2）当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.（3）两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.2．如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注：（1）l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.（2）两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．（3）判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点5直线的五种方程名称条件方程图形适用范围点斜式直线l过定点P(x0，y0)，斜率为ky－y0＝k(x－x0)不表示垂直于轴的直线斜截式直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)y＝kx＋b不表示垂直于轴的直线两点式P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不表示垂直于坐标轴的直线截距式在x轴上截距a，在y轴上截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线一般式A，B，C为系数Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)任何位置的直线知识点6两直线的交点坐标1、已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．2、直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如表所示：方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点7两点间的距离公式1．公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．知识点8直线系过定点问题1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0.3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．知识点9点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))1、求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率与倾斜角的关系1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．5、求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．6、直线的斜截式方程的求解策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；(3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．7、求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．8、截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．9、求直线一般式方程的策略(1)当A≠0时，方程可化为x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，则方程化为eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需确定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．10、含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．11、利用直线的斜截式方程解决直线平行与垂直问题的策略已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.注：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．12、利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.13、与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法（1）由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．（2）①可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；②与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.14、利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤15、两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．方法二：两直线斜率都存在且斜率不等．16、过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)特殊解法(直线系法)：运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．17、计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．18、解决过定点问题常用的三种方法(1)特殊值法，给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x，y的两个方程，从中解出的x，y的值即为所求定点的坐标．(2)点斜式法，将含参数的直线方程写成点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)．(3)分离参数法，将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0的形式，则该方程表示的直线必过直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而此交点就是定点．比较这三种方法可知，方法一计算较烦琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用．19、应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．20、求两条平行直线间距离的两种方法(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).21、中心对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．22、轴对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于直线的对称：①若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．（关键词：垂直、平分）设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.②若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则，故可设的方程为，代入，即可求出m，联立直线和的方程，求出两条直线的交点，即为中点，进一步利用中点坐标公式求的坐标(2)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．考点剖析考点一、直线的倾斜角与斜率1．经过两点，的直线的倾斜角是钝角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．2.直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，与两坐标轴围成的三角形的面积等于，试求和的值．3.图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．4.若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.5.直线的倾斜角为，斜率为．若的取值范围是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6.已知点.若直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7.直线与的夹角为________．考点二、两条直线的平行和垂直8.【多选】已知两条不重合的直线，，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9.设，直线：，直线，若，则（

）A． B． C． D．或10.已知两条直线：，：，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．11.已知、，直线，，且，则的最小值为（

）A． B．C． D．考点三、直线的方程12.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．13.瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为______．14.如果，，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15.已知直线：，点.(1)求过点且与平行的直线方程；(2)求过点且与垂直的直线方程.16.已知，，，在中：(1)求BC边所在直线的方程；(2)求BC边上的中线､高线所在直线的方程.17.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（

）A．2或1 B．或 C． D．18.过点且横、纵截距的绝对值相等的直线其条数为（

）A． B． C． D．考点四、动直线恒过定点问题及其应用19.不论为何实数，直线恒过定点_________.20.已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.21.点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C．3 D．考点五、直线的交点问题22.已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．23.点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（

）A．或 B．或C．或 D．或24.平行四边形的四边所在的直线分别是：，，(1)求直线交点的坐标；(2)求平行四边形的面积．25.【多选】若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（

）．A． B． C． D．考点六、直线的距离问题26.已知点A、B是直线与坐标轴的交点，则（

）A． B． C．1 D．227.已知直线l与x轴和y轴分别交于A，B两个点，点是直线上的动点，则的最小值是（

）A． B．C． D．28.求点（2,）到直线的距离为______29.已知两点到直线的距离相等，则（

）A．2 B． C．2或 D．2或30.已知点在直线上，则的最小值为________．31.两条平行直线与间的距离为_______．32.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（

）A． B．2 C． D．考点七直线的对称问题33.点关于直线的对称点Q的坐标为（

）．A． B． C． D．34.直线关于点对称的直线方程为（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝035.已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．36.已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（

）A． B．5 C．2 D．考点八、直线的综合问题37.【多选】已知直线l在x轴，y轴上的截距分别为1，，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（

）A．直线l的方程为B．过点O且与直线l平行的直线方程为C．若点到直线l的距离为，则D．点O关于直线l对称的点为38.已知直线方程为．(1)若直线的倾斜角为，求的值；(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．39.【多选】对于直线.以下说法正确的有（

）A．的充要条件是B．当时，C．直线一定经过点D．点到直线的距离的最大值为5过关检测一、单选题1．若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（

）A． B． C． D．2．直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．120° D．150°3．两条平行直线与之间的距离为（

）A． B． C．7 D．4．点到直线距离的最大值为（

）A．5 B． C． D．35．，，若，则实数a的值为（

）A． B． C． D．6．过点且与直线平行的直线的方程是（

）A． B． C．