考点15空间几何的平行与垂直-2024年新高考艺体生一轮复习

考点15空间几何的平行与垂直一．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b二．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面线线平行相似比（常用三角形的中位线）构造平行四边形（证明一组对边平行且相等）平行的传递性线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行线面平行的性质面面平行的性质平面向量空间向量线面平行证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．五．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b六．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊂β,l⊥α))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α七．证明线线垂直的思路考点一证明线面平行常用方法【例11】（2023·云南昭通）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，是的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】

连结交于点.因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.【例12】（2023·辽宁）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，、分别为、的中点，证明：平面.【答案】证明见解析.【解析】取的中点，连接、，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，四边形为菱形，所以且.所以且.故四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.【例13】（2023北京）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上.证明：当时，直线平面【答案】证明见解析【解析】证明：连结与交于点，连结，，，，，又面，面，平面.【例14】（2023·安徽）已知四棱锥中，，设平面平面，求证：【答案】证明见解析【解析】证明：因为，平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.【例15】（2023·江苏）如图，在多面体ABCDEE中，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；【例16】（2023江西）在如图所示的几何体中，，，均为等边三角形，且平面平面，平面平面，证明：；【答案】证明见解析【解析】证明：如图示：分别取，的中点，，连结，，因为，△均为全等的等边三角形，故，且又因为平面平面且交于，平面平面且交于，故面，面从而有，又，进而得四边形为平行四边形，得：，又即：【变式】1．（2023·辽宁）如图，四棱锥中，底面为正方形，E为中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】连结交于，连结如下图所示：因为为正方形，所以是中点．又为中点，所以．平面，平面，所以平面．2．（2023·江西）如图，在四棱锥中，为线段的中点，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接交于点，连接，

因为，，则四边形是平行四边形，因为，则为的中点，所以，，又因为平面，平面，故平面.3．（2023·内蒙古）如图，在正方体中，E是的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为在正方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.4．（2023·甘肃）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，M，N分别为，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】记的中点为，连结，如图，又为的中点，所以，因为四边形为矩形，所以，所以，又是的中点，则，所以四边形是平行四边形，则，又平面平面，所以平面.5．（2023·河南）在棱长为2的正方体中，是底面的中心，求证:平面【答案】证明见解析.【解析】证明：连接，设，连接.且，是平行四边形..又平面，平面，平面.6（2023·福建）如图，四边形为矩形，是中点，是中点，点在线段上，且，求证：平面【答案】证明见解析【解析】取的中点，在上取点使，连接、、，

，且，是中点，是中点，且，且，四边形是平行四边形，，平面，平面，平面；7．（2023·重）五棱锥中，，，，，，为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，因为为的中点，所以，又因为平面，且平面，所以平面，因为，所以四边形为平行四边形，可得，又因为，所以，因为平面，且平面，所以平面，又因为，平面，平面，所以平面平面，因为平面，平面．8.（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，，，是等边三角形，O，M分别为线段AB，PB的中点，且，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】∵O，M分别为线段AB，PB的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．∵，，，∴，，∴四边形ADCO为平行四边形，则．∵平面，平面，∴平面．∵，平面，∴平面平面．∵平面，∴平面．9．（2023·江西）如图，已知四边形为菱形，对角线与相交于O，，平面平面直线，求证：【答案】证明见解析【解析】因为四边形为菱形，所以，平面，平面平面，因为平面平面直线平面，所以；10．（2023春·山东滨州）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，，AB=2CD，设平面PAD与平面PBC的交线为l，PA，PB的中点分别为E，F，证明：平面DEF．【答案】证明见解析【解析】证明：延长AD，BC交于点M，因为，AB=2CD，所以D为AM的中点，因为PA的中点为E，所以，因为平面DEF，平面DEF，所以平面DEF，又P，平面PAD，P，平面PBC，所以平面平面PBC=PM，即直线l为直线PM．所以平面DEF．考点二证明面面平行【例2】（2023·辽宁朝阳）如图，已知四边形为菱形，平面，平面，，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面.因为四边形为菱形，所以，又平面，平面，所以平面.因为，平面，所以平面BCF//平面.【变式】1．（2023·海南海口·校联考一模）如图所示的多面体由正四棱柱与正四棱锥组合而成，与交于点，，，，证明：平面平面【答案】详见解析；【解析】正四棱锥中，连接交于O，则平面则，又，，则，又，则四边形为菱形，则，又平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面平面；2．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，形为矩形，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】由平面平面，所以平面，四边形为矩形，则，平面平面，所以平面，又平面平面，平面平面.3（2023·陕西）如图所示，已知点P是平行四边形所在平面外一点，M，N，Q分别，，的中点，平面平面．（1）证明平面平面；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）证明：因为M，N，Q分别，，的中点，所以，又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD,平面ABCD,因为，平面MNQ,所以平面平面，（2）证明：因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以.考点三证明线面垂直【例31】（2023·浙江温州）如图，直三棱柱中，是边长为2的正三角形，O为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】是正三角形，为的中点，，又是直三棱柱，平面，又平面，，又平面，平面.【例32】（2023·广西）如图，在四面体中，，分别是线段，上的点且，，，，，，，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】

因，，，故三角形为直角三角形，所以，由，在中，由余弦定理，，可得，由知①如图，过做的垂线，垂足为，由于，则有，又由于，所以有，则有，因则有，又由于，，所以有，则②又，，面，由①②可得：平面.【例33】（2023·重庆）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点，求证：【答案】证明见解析【解析】在中，易知且是的中点，故，且在正方形中，，面面，面面，面面，故面，易知面，故，又，，综上【例34】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为中点，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，因为，所以，即；因为，所以，即；又，平面，因此平面．【例44】（2023·广东佛山）已知平行六面体的各条棱长均为2，且有，求证：平面【答案】证明见解析【解析】记，因为平行六面体的各条棱长均为2，，所以，，因为，，所以，同理，则，又平面，所以平面.【变式】1.（2023·北京·统考高考真题节选）如图，在三棱锥中，平面，，求证：平面PAB；【答案】证明见解析【解析】因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.2.（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，在平面ABC的射影恰为等边三角形ABC的中心，且，，证明：平面【答案】证明见详解【解析】设在平面ABC的射影为，连接，由题意可得：平面ABC，，且平面ABC，则，可得，则，可得，同理可得：，且，平面，可得平面，又因为//，所以平面.3．（2023·福建）如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，且为棱的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】由三棱柱的性质可，∵平面ABC，∴平面，∵平面，∴，∵为的中点，且是等边三角形，∴，∵平面,,∴平面.4．（2023·四川成都·统考一模）如图，正四棱柱中，M为的中点，，，求证：平面【答案】证明见解析【解析】如图，连接.正四棱柱中，M为的中点，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.5．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，四边形和四边形是全等的直角梯形，且这两个梯形所在的平面相互垂直，其中，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】因为平面平面，平面平面，又，即，且平面，所以平面.又平面，故.又，即，且，平面，所以平面.6．（2023·四川成都·统考一模）如图，正四棱柱中，为的中点，，求证：平面；【答案】证明见解析【解析】证明：正四棱柱中平面，又四边形是正方形，得，所以，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：，，因为，所以即，又平面，，所以平面.考点四线线垂直【例4】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．证明：.【答案】证明见解析【解析】连接，因为E为BC中点，，可得，因为，，可知与均为等边三角形，即，可得，且，平面，则平面，而平面，所以．【变式】1．（2024·云南）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，，求证：【答案】证明见解析【解析】如图，取CD的中点E，连接BE．∵，∴．∵且，∴四边形ABED是矩形，∴．又∵，即，且，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD．∵平面PAD，∴．2．（2023·湖北）如图，在梯形ABCD中，，将沿着BD折起到的位置，使得平面平面，证明：【答案】证明见解析【解析】过D作，垂足为N，因为平面平面PBC，平面平面，平面，所以平面PBC，因为平面PBC，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以．3．（2023湖南）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，且在中，，求证：【答案】证明见解析【解析】如图，取的中点，连接.又且，四边形是矩形，.，即，平面，且平面.平面.考点五面面垂直【例5】（2023·辽宁沈阳）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面为棱的中点，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】平面底面，平面底面，又平面，底面，又底面，，又底面为正方形，则，平面，平面，又平面，平面平面；【变式】1．（2023·山东威海）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，，点为的中点，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接与交于点，连接，底面为菱形，点为的中点，点为的中点，又平面,平面，又平面，平面平面；2．（2023·河南）如图，在几何体中，平面，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】因为平面，且，所以平面，取的中点，连接，则平面，所以，又，所以，取的中点，连接，则，且，又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；3．（2024·黑龙江）如图，在四棱锥中，，．求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】如图：

因为，，所以为等边三角形，又，所以，又，所以.因为，所以为直角三角形，.又，，为平面内的两条相交直线，所以平面，平面，所以：平面平面.1．（2023河北）在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AC，B1C的中点．求证：平面.【答案】证明见解析.【节选】因为分别是的中点，所以是三角形的中位线，所以.又平面，平面，所以平面.2．（2023·广西）如图，正四棱锥中，E为PA的中点，求证：平面EBD.【答案】证明见解析；【解析】连接AC交BD于点O，连接EO.四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又E为PA中点，，又面，面EBD，面.3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，四边形是菱形，且．求证：平面.【答案】证明见解析【解析】因为四边形是菱形，所以，又平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．4．（2023·河南）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，点是中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】设的中点为N，连接，而，因为点是中点，故，又，故，则四边形为平行四边形，故，平面，平面，故平面；5．（2023·河北）如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】取的中点，连接，则，且，又，且，于是，四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面.6．（2023·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，为顶点，底面为正方形，设面与面交于交线，求证：【答案】证明见解析；【解析】在正方形中，平面，平面，所以平面，又平面，面和面交于，所以.7．（2023·北京）如图，在四棱锥中，平面，，点为的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点为，连接．因为，所以．因为平面，所以，，平面，平面，所以平面，因为点为的中点，所以．平面，平面，所以平面，平面，且，所以平面平面．又因为平面，所以平面．8．（2024·全国·高三专题练习）直四棱柱中，，求证：平面.【答案】证明见解析【解析】因为直四棱柱中，又，且平面，平面，平面，平面而，平面,平面平面，又平面平面9．（2023·陕西）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，且，点在棱上（不包括端点），点为中点，若，求证：直线//平面【答案】答案见详解；【解析】在上找一点,使得,∵,，∴∥，∵∥，∴，∥，∴四边形为平行四边形，∴∥，又∵平面，平面，∴直线//平面；10．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，是边长为2的正三角形，为的中点，点在上，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】菱形中，设的交点为，连接，由∽且为的中点，得，在中，，所以，所以，又平面，平面，则平面.11．（2023·四川绵阳）如图，在四棱锥中，，，，点为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】取的中点,连接∵,∴是等腰三角形，∵点为的中点.∴.,,∵,可得四边形是平行四边形，∴,又∵平面平面，∴.平面;12.（2023·山西）如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面，过的平面交平面于，即平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，四边形为菱形，则，平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.又平面，所以平面.13．（2023·四川成都·统考二模）如图，已知四棱锥的底面是菱形，为的中点，点在上，，证明：平面【答案】证明见解析【解析】设的交点为，连接，易知，，且，所以，所以，得，在中，，所以，又平面，平面，则平面.14.（2023·湖北荆门）如图，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴平面又平面，平面平面，∴，∵平面，不在平面内，∴平面.15．（2023·浙江）如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点满足，证明：平面【答案】详见解析.【解析】证明：如图所示：

取MD的中点G，连接EG，FG，因为M是的中点，是的中点，点满足，所以，又平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，同理平面BCD，又平面，所以平面平面BCD，又平面EFG，则平面；16．（2023贵溪市）在直三棱柱中,分別为的中点,，证明:平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接交于点,连接,延长与延长线交于点.因为所以所以所以则又因为所以为的中位线,则因为平面平面所以平面17．（2023·上海）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为的中点，为的中点，证明：直线平面【答案】证明见解析【解析】证明：如上图，取中点，连接、，∵为的中点，为的中点，为的中点，∴在矩形中，在中，又∵平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，又∵平面，平面，，∴平面平面，又∵平面，∴平面.18．（2023·辽宁）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且为棱中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，因为，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为棱中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面；19．（2023·四川）将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】连接，如图所示，∵长方形中，，分别是，的中点，∴且，∴四边形为平行四边形，∴且，又∵长方体中且，∴且，∴四边形为平行四边形，得.又∵平面，平面，∴平面20（2023·新疆）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点，证明：平面【答案】证明见解析【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，因为是直棱柱，所以平面，因此平面的一个法向量为，所以，即，又平面，所以平面；21．（2023·云南·高二学业考试）已知：如图，四棱锥，平面，四边形是平行四边形，为中点，.(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接交于点，连接，因为四边形是平行四边形，所以点为的中点，因为为中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为平面，，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又平面，所以平面，又因平面，所以.22．（2023·安徽）如图，在正方体中，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，，，，，所以，，因为平面，所以为平面的一个法向量，又，即，又平面，所以平面.（2）由（1）知，所以，所以.23．（2024·江苏扬州）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，，求证：WSD【答案】证明见解析【解析】在梯形ABCD中，由，，，得，所以，所以，又因为平面ABCD，且平面ABCD，则，因为平面，平面PAC，且，所以平面PAC．又平面PAC，所以．24．（四川省遂宁市2024届高三一模数学（文）试题）如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面，求证：【答案】证明见讲解；【解析】过点作，垂足为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.25．（2023·云南昆明）如图甲，在矩形中，，，，为边上的点，且.将沿翻折，使得点到，满足平面平面，连接，，如图乙，求证：平面平面；【答案】证明见解析【解析】过在平面内作交于，如下图所示：因为平面平面，平面平面，所以平面.平面，故，又，，且平面，所以平面，平面，故；在中，，，.同理，在中，，，可得.又，平面，平面.又平面，平面平面.26．（2023·广西·模拟预测）如图，在三棱锥中，侧棱底面，且，，过棱的中点，作交于点，连接，，证明：【答案】证明见解析【解析】因为平面，平面，所以，又因为，而，，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，点是的中点，所以；而，，平面，所以平面，平面，所以，即.27．（2024·黑龙江哈尔滨）如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，求证：平面【答案】证明见详解【解析】因为是圆O的直径，与圆O切于点A，所以，又底面圆，底面圆，，，平面，平面，平面，，在中，，，则，，因为，平面，所以平面.28．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且，证明：平面【答案】证明见解析【解析】因为四边形是菱形，所以.因为，，平面，且，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，即.因为，平面，且，所以平面.29．（2023·河南）已知正方体的棱长为分别为的中点，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：取中点，连接，由于为中点，且四边形为正方形，因此，由于为中点，且是正方体，因此平面，又平面，则，因此平面，则平面，又平面，因此；30．（2023·江西）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面，证明：【答案】证明见解析【解析】如图所示：连接，因为为棱台，所以四点共面，又因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.31．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，且，，E为棱PC的中点，F为棱PB上的点，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：因为平面平面ABC，平面平面，，即，平面ABC，所以平面PAC.因为平面PAC，所以.因为，E是PC的中点，所以.又，平面PBC，所以平面PBC.因为平面PBC，所以.32．（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，且，，，，，证明：平面【答案】证明过程见解析【解析】因为四边形是平行四边形，所以，，又，由余弦定理得，故，所以，由勾股定理逆定理得⊥，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面.33．（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥中,，，为的中点，四边形为平行四边形，证明：平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接，相交于点．因为，为的中点，所以，．同理，，．又，所以．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以，即．因为四边形为平行四边形，且，所以平行四边形为菱形，则．又因为，平面，，所以平面．34．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，四边形CDEF是矩形，四边形ABCD是平行四边形，，，G，H分别为CF，DE的中点，证明：平面BDE【答案】证明见解析【解析】证明：在中，，，，∴由余弦定理得，∴，∴．∵，∴．在矩形CDEF中，，又，平面BDE，∴平面BDE．∵在矩形CDEF中，G，H分别为CF，DE的中点，∴，∴平面BDE．35．（2023贵州铜仁）如图,在直角梯形中，，，且，现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面互相垂直，求证：平面平面【答案】证明见解析；【解析】结合题意：连接,在直角梯形中，，易得,,,四边形为正方形，,由平面与平面互相垂直，且平面平面,平面面,面，，,且面,面,面,平面平面.36（2023·内蒙古）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，M是的中点，点Q在上，且，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】由平面，截面为矩形，以D为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，故，又，即，则，所以，，，，且平面，所以平面．37.（2023·河南）如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，E为线段的中点，四边形为菱形，点到底面的距离为，且为线段的中点，证明：平面【答案】证明见解析；【解析】

连接，因为四边形为菱形，所以，，又因为底面为等腰梯形，E为线段的中点，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，，又因为，所以，又因为，平面，平面，所以平面.38．（2023·四川）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是，分别是的中点，交于点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】依题意，∵平面，平面，∴，∵底面是正方形，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，，为二面角的平面角，即，即，∵是中点，∴，又平面，∵平面，∴，又∵，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面；39．（2023·江苏）如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】因为，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以又面面ABCD，面面，面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．40（2023·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，平面平面，，求证：平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：取的中点，连接．，．又平面平面，平面平面，平面，平面．又平面，．，．又，，平面．又平面，平面平面．41．（2023上·四川成都·）如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】是长方体，平面,平面,,是边长为的正方形，侧棱，且为棱的中点，,,,,,平面，平面，且，平面，平面，平面平面.42．（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影D在线段AC上，，，，证明：【答案】证明见解析；【解析】连接，由题设，易知为菱形，故，由点在平面内的射影D在AC上，则面，面，则，而，则，又，面，故面，面，则，而，面，则面，由面，则.43．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，．将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥，证明：【答案】证明见解析【解析】证明：如图，取的中点，连接，，BE．，，.又，，.，，四边形为平行四边形．又，四边形为菱形．由，得，，又，，平面，平面．平面，．44．（2023·全国·高三校联考期中）如图所示，在四棱锥中，，，点为线段的中点，且，求证：【答案】证明见解析【解析】连接，因为，故，因为，故四边形为平行四边形，又因为，故四边形为矩形，不妨设，且点为线段的中点，，所以，故，故，即，又，平面，故平面，而平面，故.45．（2023·河南）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，因为为的中点，所以，又平面，且平面，所以平面.（2）连接，因为，所以四边形为菱形，所以，又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以.46．（2023·广东佛山）在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，平面平面，且，证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】取的中点的中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知两两垂直.以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，.取的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，所以平面，从而.又，所以平面，易知为平面的一个法向量.设平面的法向量为，因为，所以即取，得因为，所以平面平面.47．（2023·河南驻马店）如图1，梯形中，，过，分别作，，垂足分别为、.若，，，将梯形沿，折起，且平面平面（如图2），证明：【答案】证明见解析【解析】∵平面平而，平而，平面平面，，∴平面，（法一）又平而，则，又正方形中，，且，平面，则平面，又平面，则.（法二）∵平而，，∴以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，∴，，，，，∴，，∴，∴；48．（2023·海南省直辖县级单位）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面，求证：【答案】证明见解析；【解析】在四棱锥中，平面平面，平面平面，平面，则平面，在平面内过作，于是直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，，则，，显然，所以.49．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知长方形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．求证：．【答案】证明见解析【解析】在长方形中，，，为的中点，则，即有，于是，因为平面平面，