山西省运城市永济市2023年中考数学四模试卷含解析及点睛

2023中考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）

1111

A.—B.-C.一D.一

10965

2.下列等式正确的是（）

A.x3-x2=xB.a34-a3=a

C.（赤―3

D.(-7)4.r(-7)2=-72

3.如图，直线a〃b,点A在直线b上，ZBAC=100°,NBAC的两边与直线a分别交于B、C两点,若N2=32。，则

Z1的大小为（）

3:

A.32°B.42°C.46°D.48°

4.下列各组数中，互为相反数的是（)

-1-

A.-1与(-1)2B.(-1)2与1C.2与一D.2与|-2|

2

5.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m,这个数用科学记数法表示正确的是（）

A.3.4x109mB.0.34x109mC.3.4xl01°mD.3.4x10nm

6.--的相反数是（）

8

11

A.8B.-8C.-D.--

88

7.如图，在扇形CAB中，CA=4,ZCAB=120°,D为CA的中点，P为弧BC上一动点（不与C,B重合），则2PD+PB

的最小值为（）

A.4+2有B.4#+4C.10D.4s

8.已知，如图，AB是。O的直径，点D,C在。O上，连接AD、BD、DC、AC,如果NBAD=25。，那么NC的度

D.50°

9.如图，等腰直角三角板ABC的斜边A8与量角器的直径重合，点。是量角器上60。刻度线的外端点，连接CD交

AB于点E,则NCE5的度数为()

A.60°B.65°C.70°D.75°

10.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,

D.2万—2百

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.因式分解：xy2-4x=.

12.已知图中RtAABC,NB=9(T,AB=BC,斜边AC上的一点D,满足AD=AB,将线段AC绕点A逆时针旋转a(0°<a

<360。)，得到线段AC，，连接DC，，当DC//BC时，旋转角度a的值为,

13.在AABC中，NA：NB：/C=l：2：3,8，阳于点口，若AB=10,则BD=

14.如图，这是怀柔区部分景点的分布图，若表示百泉山风景区的点的坐标为(0,1),表示慕田峪长城的点的坐标为

(-5,-1),则表示雁栖湖的点的坐标为.

15.因式分解：3a3-3a=.

x>-1

16.不等式组有2个整数解，则m的取值范围是

x<m

17.点A(1,2),B(n,2)都在抛物线y=x2-4x+m上，则n=.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，AB是。O的直径，D、D为。O上两点，CF_LAB于点F,CELAD交AD的延长线于点E,且

CE=CF.

(1)求证：CE是。O的切线；

(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.

19.(5分)请根据图中提供的信息，回答下列问题:

一个水瓶与一个水杯分别是多少元？甲、乙两家商场同时

出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定:

买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖.若某单位想要买5个水瓶和〃(„>10,且“为整数)个水杯,

请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由.（必须在同一家购买）

1—x

20.(8分)(1)解方程：-----------=-3.

x—22—x

x—3

-------<x-1

(2)解不等式组：J2

2x+l>5(x—1)

21.（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分另U是AB、BC、CD、DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH.

（1）求证：△AEH^^CGF；

（2）在点E、F、G、H运动过程中，判断直线EG是否经过某一个定点，如果是，请证明你的结论；如果不是，请

说明理由

22.（10分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,

如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60。方向上，终点B位于点C的

南偏东45。方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路

段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：V2-1.41,V3-1.73）

23.（12分）如图，AD是。O的直径，AB为。O的弦，OP_LAD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交

OP于点C.求证：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=1,求线段BP的长.

24.（14分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A,B都分成3等份的扇形区域，并在每一

小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和

为3,的倍数，则甲获胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙获胜.如果指针落在分割线上，则需要

重新转动转盘.请问这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

•••密码的末位数字共有10种可能（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、0都有可能），

当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是'.

故选A.

2、C

【解析】

直接利用同底数嘉的乘除运算法则以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案.

【详解】

解：A、X3-X2,无法计算，故此选项错误；

B、M=l,故此选项错误；

C、（-2）2+（-2）3=」，正确；

2

D、（-7）%（一7）2=72,故此选项错误；

故选C.

【点睛】

此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

3、D

【解析】

根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可.

【详解】

Va#b,

...NBCA=N2,

VZBAC=100°,Z2=32°

.•.ZCBA=180o-ZBAC-ZBCA=180o-100o-32o=48°.

.,.Z1=ZCBA=48°.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质.

4、A

【解析】

根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.

【详解】

解：A、(-1)2=1,1与-1互为相反数，正确；

B、(-1)2=1,故错误；

C、2与,互为倒数，故错误；

2

D、2=|-2b故错误；

故选：A.

【点睛】

本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义.

5、C

【解析】

试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示ax10"的形式，所以将1.111H11H34用科学

记数法表示3.4x10-1°,故选C.

考点：科学记数法

6、C

【解析】

互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以-J的相反数是:，

88

故选c.

7、D

【解析】

如图，作〃NPAP，=120。，则AP，=2AB=8,连接PP\BPS则/1=N2,推出△APDs^ABP，，得至UBP，=2PD,于是

得至（J2PD+PB=BP%PB>PP%根据勾股定理得到PP，=JQ++（2扃=4/,求得2PD+PB%",于是得到结论.

【详解】

如图，作〃NPAP，=120。，贝ljAP，=2AB=8,连接PP，，BPS

则N1=N2,

AP'AP

V——=—=2,

ABAD

/.△APD^AABPS

，BP，=2PD,

/.2PD+PB=BP,+PB>PP,,

•••PP'=J（2+8）2+（2币/=4〃，

.•.2PD+PB24",

A2PD+PB的最小值为4M

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

8、B

【解析】

因为AB是。O的直径，所以求得NADB=90。，进而求得/B的度数，又因为NB=NC,所以NC的度数可求出.

解：TAB是。O的直径，

.*.ZADB=90°.

VNBAD=25°,

:.NB=65。，

AZC=ZB=65°（同弧所对的圆周角相等）.

故选B.

9、D

【解析】

解：连接OD

VZAOD=60°,

二ACD=30°.

VZCEB是白ACE的外角，

:.△CEB=ZACD+ZCAO=30°+45°=75°

故选：D

10、D

【解析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可.

【详解】过A作AD±BC于D,

,/△ABC是等边三角形,

:.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD±BC,

.,.BD=CD=1,AD=73BD=73»

；.△ABC的面积为工BC«AD=，x2x百=6,

22

。60万x222

b扇形BAC=--------二一冗，

3603

2LL

莱洛三角形的面积S=3x-^--2xV3=27r-2V3»

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的

面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、x(y+2)(y-2).

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是

完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，

先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可：xy2-4x=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).

12、15或255。

【解析】

如下图，设直线D。与AB相交于点E,

•.•RSABC中，NB=90AAB=BC,DC7/BC,

AZAED=ZABC=90°,ZADE=ZACB=ZBAC=45°,AB=-AC,

2

.\AE=—AD,

2

又；AD=AB,AC=AC,

.A.V2ARV25/21

・・AE=AB=-----x-----AC=-AC,

2222

:.ZCr=30°,

:.ZEACr=60°,

/•NCAC=6(P-45o=15。，即当DC，〃BC时，旋转角a=15°；

同理，当DC”〃BC时,旋转角。=180。-45。-60。=255。；

综上所述，当旋转角a=15。或255。时，DC7/BC.

故答案为：15。或255。.

13、2.1

【解析】

先求出AABC是NA等于30。的直角三角形，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求解.

【详解】

解：根据题意，设NA、NB、NC为k、2k、3k,

则k+2k+3k=180°,

解得k=30°,

2k=60°,

3k=90°,

VAB=10,

1

.•.BC=-AB=1,

2

VCD±AB,

.*.ZBCD=ZA=30o,

1

/.BD=-BC=2.1.

2

故答案为2.1.

【点睛】

本题主要考查含3()度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握3()。角所对的直角边等于斜边的一半、求出

△ABC是直角三角形是解本题的关键.

14、(1,-3)

【解析】

直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案.

【详解】

解：如图所示：雁栖湖的点的坐标为：(1,-3).

故答案为(1,-3).

【点睛】

本题考查坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键.

15、3a(a+1)(a-1).

【解析】

首先提取公因式3a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.

【详解】

解:原式=3a(a2-1)

=3a(a+1)(a-1).

故答案为3a(a+1)(a-1).

【点睛】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

16、l<m<2

【解析】

首先根据不等式恰好有2个整数解求出不等式组的解集为-1<x<加，再确定\<m<2.

【详解】

•••不等式组厂>7有2个整数解，

x<m

,其整数解有0、1这2个，

l</n<2,

故答案为：1<利42.

【点睛】

此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.

17、1

【解析】

根据题意可以求得m的值和n的值，由A的坐标，可确定B的坐标，进而可以得到n的值.

【详解】

:•点A(1,2),B(n,2)都在抛物线y=x2-4x+m上，

2=1・4+加

2,

(2=n-4〃+

解得忆;，

•••点B为(1,2)或(1,2),

•.•点A(1,2),

二点B只能为(1,2),

故n的值为1,

故答案为：L

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求解.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)证明见解析；(2)%/

4

【解析】

(1)连接OC,AC,可先证明AC平分NBAE,结合圆的性质可证明OC〃AE,可得NOCB=90。，可证得结论；

(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB,利用梯形的面积公式可

求得答案.

【详解】

(1)证明：连接OC,AC.

VCF±AB,CE±AD,且CE=CF.

.*.ZCAE=ZCAB.

VOC=OA,

.,.ZCAB=ZOCA.

.,.ZCAE=ZOCA.

，OC〃AE.

.,.ZOCE+ZAEC=180°,

VZAEC=90°,

，NOCE=90唧OC±CE,

VOC是。O的半径，点C为半径外端，

.ICE是。O的切线.

(2)解：VAD=CD,

.*.ZDAC=ZDCA=ZCAB,

.♦.DC〃AB,

VZCAE=ZOCA,

：.OC//AT),

四边形AOCD是平行四边形，

.,.OC=AD=a,AB=2a,

VZCAE=ZCAB,

.,.CD=CB=a,

/.CB=OC=OB,

/.△OCB是等边三角形，

在RtACFB中，CF=JCBLFB?=学，

；.S四边形ABCD='(DC+AB)<F=­

24

【点睛】

本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没

有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.

19、(1)一个水瓶40元，一个水杯是8元；(2)当10<“<25时，选择乙商场购买更合算.当〃>25时，选择甲商场

购买更合算.

【解析】

(1)设一个水瓶x元，表示出一个水杯为(48-x)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)计算出两商场得费用，比较即可得到结果.

【详解】

解：(1)设一个水瓶x元，表示出一个水杯为(48-x)元，

根据题意得：3x+4(48-x)=152,

解得：x=40,

则一个水瓶40元，一个水杯是8元；

(2)甲商场所需费用为(40x5+8”)x80%=160+6.4n

乙商场所需费用为5x40+(n-5x2)x8=120+8n

则•••”>10,且〃为整数，

，160+6.4〃-(120+8/1)=40-1.6〃

讨论：当10V”V25时,40-1.6„>0,160+0.64n>120+8n,

...选择乙商场购买更合算.

当”>25时，40-1.6«<0,即160+0.64〃V120+8”,

二选择甲商场购买更合算.

【点睛】

此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.

20、(1)无解；(1)-l<x<L

【解析】

(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解;

(1)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可.

【详解】

(1)去分母得：1-x+l=-3x+6,

解得：x=l,

经检验X=1是增根，分式方程无解；

2x+l>5(x-l)®

由①得:x>-1,

由②得：XWL

则不等式组的解集为-IVxWL

【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

21、(1)见解析；(2)直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点)；理由见解析.

【解析】

分析：(1)由正方形的性质得出NA=NC=90。，AB=BC=CD=DA,由AE=BF=CG=DH证出AH=CF,由SAS证明

△AEH^ACGF即可求解；

(2)连接AC、EG,交点为O；先证明△AOEgZkCOG,得出OA=OC,证出O为对角线AC、BD的交点，即O

为正方形的中心.

详解：(D证明：•••四边形ABCD是正方形，

.•.ZA=ZC=90°,AB=BC=CD=DA,

VAE=BF=CG=DH,

，AH=CF,

在AAEH与ACGF中，

AH=CF,NA=NC,AE=CG,

.,.△AEH^ACGF(SAS);

(2)直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点)；理由如下：

连接AC、EG,交点为O；如图所示：

BFC

•••四边形ABCD是，正方形，

；.AB〃CD,

:.ZOAE=ZOCG,

在4AOE^flACOG中，

ZOAE=ZOCG,ZAOE=ZCOG,AE=CG,

/.△AOE^ACOG(AAS),

.*.OA=OC,OE=OG,

即O为AC的中点，

•••正方形的对角线互相平分，

•••O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心.

点睛：考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中,

需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

22、此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.

【解析】

分析：根据直角三角形的性质和三角函数得出DB,DA,进而解答即可.

详解：由题意得：ZDCA=60°,ZDCB=45°,

在RtACDB中，tanZDCB=-=——=1,

DC200

解得：DB=200,

,,DADA.rz

在RtACDA中，tanNDCA=——=——=J3,

DC200

解得：DA=200G，

，AB=DA-DB=200G-20gl46米，

a*$*