矢量分析与场论

复习

矢量分析

场论

1

（一）矢量分析

1—目_只有大小而没有方向的量

一、林里：

（长度、时间、电压、体积、温度、电量等）

丽看关示交看云而访叠

二、矢量:

（力、速度、电场强度、磁感应强度等）电

①矢量的表示:E、£或OPE

两海需盾一O首

②矢量的大小:

（|E|、E、|E|或|OP|）

单位长度矢量：E。，（。|=1

③矢量的方向:

E=\E\E°

2

（一）矢量分析

三、矢量的坐标表示：

①直角坐标系:

+Ne

3

（'一）矢量分析

三、矢量的坐标表示：

（一'）矢量分析

三、矢量的坐标表示：

③球坐标系:

A.

Ner+/乂0，0+4夕36,o

[Ax=^4rsinAecosA

yAy=ArsinAgsinA^

、4=4cos/。

2222

>CAr=Ax+Ay+Az

yygA^=Ay/Ax

〔cos

0<Ar<+000<A^<2TI0<A°v/

（一）矢量分析

四、矢量的加法：

[①三角形法则：2+B=C

②交换律:

^4+B=：B+^4

③结合号：_____

N+（石+C）=（N+石）+C

④分配律：____

kQA+B）=kA+kB

⑤减法：一一一一

N—刀=N+（一3）

6

（一）矢量分析

五、矢量标法：

（1）标量积（内积、点积）：

N•8=N*cos（N,万）

①交换律：A-B=B-N

②分配律：N•（石+C）=N•3+N・C

③与数量点积:（7L4）•B=4（N•刀）

④特殊的点积：同向、反向、正交

7

(一)矢量分明

五、矢量的乘法：(1)标量积、内积、点积：

⑤在坐标系内计算点积：

直角坐标：N=N/+4j+

-―---_-_

B=BiXBi+ZBk

--

A•B=('Nxex+Nyey+Nzez),(JBxex+Ayey+万zez)

=NxBx+NyByz+NzB

柱坐标：小+N石

B=ApBp+A«0B0zZ

球坐标：N・B=A,BjAeB「AE

8

（一）矢量分析八c

五、矢量的乘法：

（2）矢量积、叉积：-

=AxB_----------/

①大小：\C\=ABsin（A.B）

方向：右手定则

②分配律：Nx（刀+C）=Nx4+NxC

③与数量叉积：（痴X方”（1x0

④特殊的大积：____

平行：AxB=O正交：|/xB|=48

('一)矢量分析

五、矢量的乘法：(二)矢量积、叉积：

⑤不服从交换律：AXB=-(BXAY

■⑥在坐标系内计算叉积：

e

xyZ

A.

A=(NB—N67)e

AxB=AXAyyzzyx

R+(NB—NB

BBvzxxz7y

Xyz

十(N

x6y-ABy^xez

10

(二)场论

1.场的分类

1/标量场：如：温度场T(x,y,z)、密度场/Xx,y,z)

＜空间任一点都有一标量值0夕是空间坐标(、时间)的函数。

、矢量场：如：速度场v(x.y,z)，力场尸(x,y,z)

【空间任一点都有一矢量7,*空间坐标(、时间)的函数。

■■■MM■■■MM■■■MM■■■MHMMMB■■■■■■MH

,动态场：场量与时间有关(时变场)

\f(x.y,z,t),A(x.y,z.t)

、静态场：场量与时间无关(恒定场)

/(x,J7,z),A(x,y.z)11

）场论

场的表示方法:矢量场

标量场IN（x,y,z）=4（X,y,z）e*+4,（x，y，z）£

1.数学法：f=f(x,y,z)1_

'+NJ>N4

1

2.图示法：1

u(x,y,z):等值面、等值线L4（X^Z）:矢线一切向T场量的方向，

1

；疏密程度T场量的大小。

u(x,y,z)=cx

u(x,y,z^^^

u(x,y,z)=c3

■r

y_一

______________________je

1

2、标量场的梯度

①方向导数:

设舛,方向导数表示°沿某一方向I的变化率:

dcpdcpdcpdcp

-----=------coscc+------cos（3+-----cosy

dldxdvdz

Sep_dcp_dcp_

V=(-e+-e--+-----e)•(cosoce+cos/3e+cosye)

Xy_J、Xyz

dxdyoz

z

e

②梯度grad(p>V(p：

立dcp_dcp_dcp_oay

V(p=-----ex+-----e+-----e

dxxdyydz

Xa

哈密顿算子厂三£己d一。一

X+一%十一气

梯度噂为矢量，d其x大小%最大变Sz化率，方向为增大最快的方向。

任一点的梯度垂直于过此点的等值线（面）的方向。13

2、标量场的梯度

，标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的

联系，这一联系使得某一类矢量场可以通

过标量函数来研究，或者说标量场可以通

过矢量场的来研究。

♦标量场的梯度垂直

于通过该点的等值

面（或切平面）

梯度运算的基本公式

「▽o=O

I

\ZU"="

v("土i"土i

|("V)=v"

[vr(")=/(")▽"

VXV。=0

15

份JLI

计算场/(r)=xfz在A=ax+2ay+2az方向的方向导数

及在点(2,1,0)处，在5=2%-与+2能方向的方向导数。

dfdfdf

解:Nf=a----+a-----+a_-----=aV2Z+«2XVz+UXV2

人vy/rxvy./7乙J

oxoyoz

Z122

a,=—=a—+a—+a-

电二+上平+?中

dA333

B212

一=%—a—+%-

B333

222

=一y2z-一xyz+—xy

"I(2,1,0)(2,1,。)333

（二）场论

3、矢量场的散度:

1.矢量场的通量:

^A=AXe^+Ae^+Are7,通量。表示通过某一表面S的矢量

线的根数：

0=JA/S=\A-dSA

通过某一闭合面S的通量①为:

-dAdA

①=§N•dS=f(--+—+

JsJ"dxdy

z

2.散度div7、V-A：

0

\ds

dASN6Ay

▽•N=lim+xy+Z

△Vf0AKdxdydz

矢量场中某点的散度为标量，是点的空间位置的函数。

17

通量的物理意义：以流体为例，若

每秒有净流量流出,每秒有净流量流每秒流入包面和流出包面

包面内有正源入，包面内有负的净流量相等，包面内无

源源，或正源与负源相等

V•v>0

V•v<0V•v=0

该点看负源

该点有正源该点无源18

M

思考：矢量场散度的性质：p

a.一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。

Q

b.•空间有矢量场的净通量发出

有矢量线从该点开始V•A>

•空间有矢量场的净通量汇入有散场

/

有矢量线在该点终止——▽•Nv0（Q点）/

•空间没有矢量线的发出或汇入

无散场

矣哥'残枚枚导通过^▽•N=0（M点）一、

19

了矢量-里4人心O

例__1_._2_考虑一个气筒，突然打开气门，被压缩的空气的流

速将是越靠近气门越大。设秘=处左1，求V”。

dv

解:V•v=-----=k

dx

表明气筒内各点都存在着密度为人的气流。

例L3想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同

该点与源点的距离成正比，为》(r)=a,左/，求V”。

22

解：▽…U

r2drr2dr

表明空间各点都存在着密度为北的气流。

（二）场论

4、矢量场的旋度：

①矢量场的环量:

设力=4£+41环量厂表示沿某闭合曲线L的线积

分：。

r=于/cos3dl=

21

4、矢量场的旋度：

②环量的物理意义：

r=fN・d/wO--------表明C包围涡旋源

r=fN・d/=O--------表明c不包含涡旋源

例：流速场

水流沿平行于水管轴线方向流动

流体做涡旋运动

F=0,无涡旋运动

八夕，有产生涡旋的源2

旋度的定义:

对M点，仿照散度的定义，取

fA•dl

lim------------环流面密度）

Asfo(/)AS

显然，上面的算式与积分路径的选取有关

A•AlA•dlA•61

JJjg

lim--------------<lim-二-----------<lim--------------

△s-o(M)ASASFO(M)AS△SfO(〃)AS

23

-.-了型八叮

定义：rotA=nmax{lim----------}(rotation)

△SfO(M)AS

其中〃是最大环流密度所在环路的单位法线方向

而与〃相垂直的面则称为涡旋面或旋涡面

如上、.七分别是,在

则

ASASX”)AS%、町上的投影

A•Al)4•d/

C2

rot4.〃3=lim--r-o-t--A---•-n2lim

△sfo(M)ASASfO(M)AS

24

正交系中，矢量场力在任意点M点的旋度可定义为:

『4•d/

rotA=a]lim-------------+a2lim-------------+a3lim-------------

3-0(/)AS]wowA§2AS3^0(M)AS3

式中AS]、AS、AS3分别是任意环路所围成的面在与

坐标面、散坐标面和〃3坐标面上的投影，其边界分别

。2彳口。3。

25

（二）场论

4、矢量场的旋度:

③旋度rot/、VXA：

aee

yz

f/•成ddd

rotA--VxA—lim-"一=———

AS-^OASdxdxdx

AAA

Xyz

dAy

6A巴一dAdAdA

NXzX

=(Tq+(―)e

K+(/N

dzdxdx

矢量场中某点的旋度为矢量，是点的空「明立置的函数。

方向：是使环量密度取最大值的曲面元晶的方向

大小：环量密度的最大值26

涡旋场歹

F•dl>0

力做正功，歹与。方向大体一致，动能增加

fF•d7<0

J。

户做负功，歹与。方向大体相反，动能减小

JG•d/>0

c\

fG•d/<0

C2

G•d/=RG•d/=0

J+C2

27

（二）场论

28

6、亥姆霍兹定理

①^量场和源的鎏系

「无旋场：一个矢量场凡对任意闭合路径都有

p/•d/=0=VxK）—F=Nf

I无散场：一个矢量场凡对任意闭合面都有

Ifb•dS=0▽•万=0E=>F=VXy4

［若VKF=0,则V•后0——散度源（通量源）

若V•尸=0,则VxAO——旋度源（涡旋源）

源是场的因，场同源一起出现。

29

6、亥姆霍兹定理

①矢量场和源的关系

例：判断矢量场的性质

▽,尸=0V-FMV-F=0

Vx产=0VXF=：0vXFM

30

6、亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理的基本内容

1.一个矢量场只可能有两种源---旋度源和散度源）

此外，再无其它类型的源。

2.若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度

都给定了，则该矢量场的解是唯一确定的。

矢

量

矢^^4的通

—电荷密力

量源密度

唯

在电磁场中

已知一矢量Z的旋----------—电流密度J一

度源密度地

确

匚场域边界条件

「场域边界条件定

6、亥姆霍兹定理

③矢量场的基本方程

F=F"FC（Vx巧三0▽•/C三0）

若已知

V•Fj=pVxFC=J

贝Ufv>F=V>F=p

〈微分形式的基本方程

[VxF-VXJF（,=J

dS=[pdV

JV

积分形式的基本方程

d/=J•dS

Js32

6、亥姆霍兹定理

④三种特殊形式的场

1.平行平面场：如果在经过某一轴线（设为z轴）的一族平行平面上，场F的

分布都相同，即尸/叼9，则称这个场为平行平面场。

2.轴对称场：如果在经过某一轴线（设为z轴）的一族子午面上，场产的分布

都相同，即吃的。），则称这个场为轴对称场。

3.球面对称场：如果在一族同心球面上（设球心在原点），场厂的分布都相

同，即尸/九则称这个场为球面对称场。

课堂练习题（一）

思考题：

1、标量场的梯度、矢量场的散度、旋度的物

理意义

2、亥姆霍兹定理的内容和意义

34

课堂练习题r二）

2、证明:

VxV=0

V•VxN=0

式中：

。=0(x,y,z)

A-Axex+Ayey+Azez

35

，___________L2、标量场的梯度

设有一个标量场〃（KZ,y）（标量函数），从场中某

点M位移历到邻近的另一点时函数值从u变为〃+小卜则

比值多就是标量场函数在M点处沿方向导数，如下图

（II

■2、标量场的梯度

dududndu八du一一

——=------=—cos，=一a-a

dldndldndn

kdii_flii—―一

令°=丁。〃则—=G-cij,或du=G•dl

dndl

可见，标量场u在M点沿岛方向的方向导数等于矢

量G在此方向上的投影（分量），我们称矢量G为U在

M点的梯度（giadient）,记为gr猛du,即：

4=（岭/〃）•访所以,gradu=—atl

__________________dn

37

2、标量场的梯度

,_dudu_du

在直角坐标系中:£rcichi—ci—+ci------Fci—

Jxdxy@,z&

定义算符▽（称为哈密顿Himiilton算符）：

V=t7------FU------FCl—

出了&气

d_d_d'

graclu-ci+a”+a7n=V?/

号rdxY0J；

38

§1.3标量场的方向导数与梯度

三、梯度的性质

❸标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的

方向一该点场变化最大（增大）的方向，

数值一变化最大方向上场的空间变化率。

♦标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方

向上的投影。

39

四、梯度运算的基本公式

「▽o=O

I

\ZU"="

v("土i"土i

|("V)=v"

[vr(")=/(")▽"

VXV。=0

40

二.矢量场的散度

1.散度的定义：?

divN=lim―-

△T—>O

2.散度的数学计算式:y

穿出左、右面的通量为：

dAy

—A,AxAz+(A,+------Ay)AxAz

^dy

dAy

------△x△y△n

Sy

木出上、下面的通量为:

dAz

—A_AxAy+(A_+-----Az)AxAy

dzy

=------AxAj?Az-

dz

穿出前、后面的通量为:

5A.dA

—AvAj;Az+(Ax+—Ax)AyAz=------△JV△y△n

dxdx

udASAdA

pN•dS=(——-+——-+------)△x△y△n

sdxdydz

中N•dSdAdAQA

divN=lim-------------------++

Ar->o△bdxdySz42

fN•dSdA

8Ay8Az

divA.=lim——-+------+

AT—>0ATBxSydz

ddd

=(va----+a-----+aA+aAV•A

xy一)•(«XXy+a/Z/)=

dxdydzy

3d3

式中▽=a---

x+ay-----+ciz-----

ix-ByBz

定义为矢量微分算子。

43

圆柱系中:

1。(Q/q)1UA隼dA

V•A=------------------+-------------+------

pdppdcpdz

球系中:

L『(J/,)]O(sin6AQ]"

V•A2+.*.

,drrsin0d0rsin0d(p

44

1.5矢量场的环量和施度斯托克斯定理

一.矢量场的环量（环流）7

1.矢量场做功：J尸・d，

2.环流的定义：r=pn•d，=p/cos夕d/

直角系中

>A•dl—，(/xdx+Aydy+A_dz)

cJcXy

圆柱系中')A•dl=f(/pd夕+x?dcp+Adz)

球系中fA•dl=+A0rA6+ArsinOdcp)

Jc厂045

|fll.5失量场的环量和施度斯托克斯定理

二.矢量场的旋度

1.旋度的定义：

对点，仿照散度的定义,

1M取

•d/

lim------------(―环流面密度)

△5-0(”)AS

显然，上面的算式与积分路径的选取有关

i>A•dlP力・d/A•61

Jg

lim--------------<lim---------------<lim--------------

△S—0(M)ASASfO(M)ASASfO(M)AS

46

pZ•d/

定乂!rotA=nmax{lim-----------}(rotation)

△SfO(M)AS

其中〃是最大环流密度所在环路的单位法线方向

而与〃相垂直的面则称为涡旋面或旋涡面

如上、.七分别是,在

则

ASASX”)AS%、町上的投影

A•Al

rot4.〃3=lim--r-o-t--A---•-n2lim

△sfo(M)ASASfO(M)AS

47

正交系中，矢量场力在任意点M点的旋度可定义为:

『4•d/

rotA=a]lim-------------+a2lim-------------+a3lim-------------

3-0(/)AS]wowA§2AS3^0(M)AS3

式中AS]、AS、AS3分别是任意环路所围成的面在与

坐标面、散坐标面和〃3坐标面上的投影，其边界分别

。2彳口。3。

48

1.5矢量场的环量和施度斯托右斯定理

2.旋度的数学计算式：

设M点在环路1-2-3-4-5-6-1所

张的一个面上，该面在直角系x

三个坐标面上的投影分别为2

C—M345M—ASX

j—M561M—八4

C—M123M—AS

由图可知:

(N•d/=J・d/+pN・d/+pN・d/

CJCJc

xyz

49

Sydz

4

dAdA

z一）5

Sydz

aAy

M

fN•dZ5

dAz4

lim

ASxfodz50

△sXSy

A•dl

_____________dAdA

可得:lim-1-------

△Sy-。AS

ydzdx

A•d/

dAydA

lim-----------

△Sz-oA5dxdy

dA

dAzdAyx,zdAdAdA

rotA=a—)+u(v

」y--)+--)

dydzdzdxdxSy

ddd

=(\aX—+—+az—7)x(xaxAx+ayAy+azAz7)

dxdydz..

aaa

Xyz

ddd

=▽xN=———

dxdydz

51

AXAyAz

rotz4=▽xN

在正交坐标系中

ahah

a】g2233

1aaa

▽xN=------

小2〃3dexdede3

44卜3A3

注意：行列式只能对第一行展开,

展开中对第三行元素求导

52

paa

「cpz

aa

dcpdz

7pAcpAz

p

ad

dcpdz

pAA

「cpz

53

球坐标:

arra0nrsinOa(p

1ddd

Vx4=----------

r2sin0drd0dcp

ArrAnBrsmOA(p

r2sin。rsin3r

ddd

drd0d(p

ArrA0arsinOA(p

54

22

.5H="J?+ayy+a2z沿着盯面上的一个闭合

回路c的线积分。如图所示］再计算Vx4。

解：回路。在xQy面上，dz=O

22

A•d/=xdx+ydy

222

242

A•dl=xdx+ydy+y•2歹十歹)dy

o0

32363

Xy0

+——+(一十一）=0

3