山东省济南市莱芜区2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题（含答案）

山东省济南市莱芜区2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题一、单选题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．如图所示的几何体的主视图正确的是（）A．B．C． D．2．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．8 C．12 D．154．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）4.6.8.A． B． C． D．5．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°7．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A．B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；

②；③；

④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为．12．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．13．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是．14．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，S△AOC＝5，则点C的坐标是14.16.15．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．16．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．三．解答题（共10小题，满分86分）17．（6分）计算：18．（6分）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当时，求x的取值范围．19．（6分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）20．（8分）如图，与⊙O相切于点A，半径，与⊙O相交于点D，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．21．（8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为12（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率．22．（8分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为13（即tan∠PAD=13），且M，A，D（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．23．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．26．（12分）在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；(3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围．试题答案题号12345678910答案DCCDCDDCCB11．5−12．．12．913．m14．（6，2）．15．．16．17．（6分）计算：．18．（6分）【详解】（1）将点代入得：解得：将代入得：∴（2）由得：，解得所以的坐标分别为由图形可得：当或时，19．（6分）【详解】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，，，，为矩形..米，米.在中，米.故200米.（2）解：这条路较近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.为矩形，米，米.在中，米.米.结果精确到个位，米.米..从这条路较近.故这条路较近.20．（8分）【详解】（1）证明：连接，如图所示：∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由（1）得，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，，由（1）得，∵，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∵，∴,∴即，解得：，∴．21．（8分）解：（1）设布袋里红球有x个．由题意可得：22+1+x经检验：x＝1是原方程的解．∴布袋里红球有1个．（2）画树状图如下：由图可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中，两次摸到的球都是白球的情况有2种，∴P（两次摸到的球都是白球）=222．（8分）解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．∵tan∠PAD=PD∴AD＝15，PA=52+1∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为510米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°=MN∴MN=3∴x+5=3（x﹣15）解得x＝（103+∴MN＝x+5＝（103+23．（10分）解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：36=12k+b34=13k+b，解得：k=?2故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．24．（10分）（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴BC=12AB＝2，AC=＝23，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴CD=12AC=3，AD25．（12分）【详解】（1）解：∵，∴，∵直线经过点，∴，解得，，∴直线的解析式为，∵点C的横坐标为2，∴，∴，∵反比例函数的图象经过点C，∴；（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，令，则，∴点，设点，则点，∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴，∴，整理得或，由得，整理得，解得，∵，∴，∴点；由得，整理得，解得，∵，∴，∴点；综上，点D的坐标为或．26．（12分）【详解】（1）解：抛物线过点，，解得：，抛物线表达式为，当时，，解得：（舍去），，；（2）解：设直线的表达式为，直线过点，，，解得：，直线的表达式为：，点在抛物线上，设点，，，且由平移得到，点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，

点在直线上，将代入，，整理得：，解得：，（舍去），当时，点坐标为；（3）解：四边形是正方形，，，，，点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，将代入，得：，，顶点坐标为，①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，

，解得：；②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，

，解得：，综上所述，的取值范围为或．2023-2024学年上学期九年级数学期末模拟试题3一、单选题（40分）1．如图所示的几何体的主视图正确的是（）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】主视图是从前向后看，即可得图像.【详解】主视图是一个矩形和一个三角形构成.故选D.2．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．【详解】解：∵，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵，∴．故选：C．本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.6左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．8 C．12 D．15【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用；运算能力．【正确答案】C【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.6左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．解：设袋子中红球有x个，根据题意，得：x20解得x＝12，∴袋子中红球的个数最有可能是12个，故选：C．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．4．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】如图作PA⊥x轴于A，利用勾股定理求出OP，根据正弦定义计算即可．解：作PA⊥x轴于A，如右图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝．故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住锐角三角函数定义．5．下列说法错误的是（）A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形【考点】圆周角定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】A．应用菱形的判定方法进行判定即可得出答案；B．应用圆周角定理进行判定即可得出答案；C．应用矩形的判定方法进行判定即可得出答案；D．应用正方形的判定方法进行判定即可得出答案．解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，所以A选项说法正确，故B选项不符合题意；C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，所以C选项说法不正确，故C选项符合题意；D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟练掌握圆周角定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法进行求解是解决本题的关键．6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，OD∥AB，OC＝OD，则∠ABD的度数为（）A．90° B．95° C．100° D．105°【考点】圆的认识；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，则OC＝OB，由OC⊥AB，则∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．解：如图：连接OB，则OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故选：D．【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．7．一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【正确答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质．【分析】利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝72°，从而利用圆内接四边形的性质可求出∠D＝108°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故选：C．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．9．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣在同一坐标系内的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，∴直线y＝ax+b经过第一，二，三象限，反比例函数y＝﹣图象经过一，三象限，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；

②；③；

④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B【分析】由图象得，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得，于是，进一步推知，由根与系数关系知；【详解】解：开口向下，得，与y轴交于正半轴，，对称轴，，，故①错误；故②错误；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，∴，得，故③正确；由，，知，∵，为方程的两个根，∴∴，故④正确；故选：B本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．二、填空题（27分）11．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为5−12在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：ca令ac=x，则有1x=x+1，∴x解得：x1=5−12，x∴sinA=a答案：512．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________．【正确答案】9【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为，，去分母，得，解得，经检验是所列分式方程的根，，故9．本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．13．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是m≤1．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【正确答案】m≤1．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．解：∵y＝x2﹣（m+1）x+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=??(m+1)∴x?m+12时，y随∴m+12解得m≤1，故m≤1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．14．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx（x＞0）的图象交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，S△AOC＝5，则点C的坐标是【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【正确答案】（6，2）．【分析】根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB＝3．BD＝2，即可求得A的坐标（m3，3），C的坐标（m3+2，3mm+6），关键是根据面积列出关于m的方程，求出解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB＝3，则B的坐标为（m3，0），则D的坐标为（m∴C（m3+2，∵S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD＝5，又∵S△AOB＝S△OCD，∴S梯形ABDC＝5，∴（3+3mm+6）∴m＝12，∴C的坐标为（6，2）故（6，2）．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．15．若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．【正确答案】【分析】根据弧长公式即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为，半径为，∴它的弧长为，故．本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．16．（2023·四川自贡·统考中考真题试卷）如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．

【正确答案】【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为，故．本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径．三．解答题17．（6分）计算：【正确答案】【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算法则计算即可．【详解】．本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，幂的运算，熟记三角函数值，零指数幂的运算公式是解题的关键．18．（6分）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

(1)求m的值和反比例函数解析式；(2)当时，求x的取值范围．【正确答案】(1)，；(2)或【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）将点代入得：解得：将代入得：∴（2）由得：，解得所以的坐标分别为由图形可得：当或时，本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．19．（6分）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．

(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：）【正确答案】(1)200米(2)这条路较近，理由见解析【分析】（1）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．（2）根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出和的长度，比较和即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，

点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，，，，为矩形..米，米.在中，米.故200米.（2）解：这条路较近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.为矩形，米，米.在中，米.米.结果精确到个位，米.米..从这条路较近.故这条路较近.本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.20．（8分）如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．【正确答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；（2）过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）证明：连接，如图所示：

∵与相切于点A，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由（1）得，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，，由（1）得，∵，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∵，∴,∴即，解得：，∴．题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．21．（8分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为12（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不再放回，再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）设布袋里红球有x个，根据白球的概率列方程求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．解：（1）设布袋里红球有x个．由题意可得：22+1+x解得x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．∴布袋里红球有1个．（2）画树状图如下：由图可得，两次摸球共有12种等可能结果，其中，两次摸到的球都是白球的情况有2种，∴P（两次摸到的球都是白球）=2【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（8分）如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为13（即tan∠PAD=13），且M，A，D（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；（2）求建筑物MN的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；平行投影；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．（2）设NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根据tan60°=MNAM，可得MN=解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．∵tan∠PAD=PDAD=∴AD＝15，PA=52+1∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为510米．（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，∴∠PNH＝∠NPH＝45°，∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，在Rt△AMN中，∵tan60°=MN∴MN=3AM∴x+5=3（x解得x＝（103+∴MN＝x+5＝（103+【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．23．（10分）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314…每天销售数量y/件…363432…（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；二次函数的应用；运算能力；推理能力；应用意识．【正确答案】（1）y＝﹣2x+60；（2）18元；（3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）依据利润＝单件利润×销售量列出方程，解答即可；（3）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：36=12k+b34=13k+b解得：k=?2b=60故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19时，w有最大值，w最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠DAB＝60°，求AD的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．【正确答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OC，先证出∠OCA＝∠DAC，得OC∥AD，再由平行线的性质得CD⊥OC，即可得出结论；（2）连接BC，先由圆周角定理得∠ACB＝90°，由角平分线定义得∠DAC＝∠BAC＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BC=12AB＝2，AC=3BC（1）证明：连接OC，如图1所示：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∴∠DAC＝∠BA