一元微积分的编程实现

第二篇数学试验第2章数学试验2.2实验2一元微积分的编程实现PAGE162.2实验2一元微积分的编程实现【实验目的与要求】实验目的：熟悉用Mathematic进行一元微积分计算的编程方法。先修内容：第一篇计算机数学第1章极限与连续和第2章微分与积分。实验要求：掌握数学表达式的正确书写格式；熟悉Mathematic有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。【实验原理】Mathematic的基本语法、数学表达式的正确书写格式；有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。【实验步骤】2.2.1实验内容1极限

Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有表2.2.1种的一些命令。表2.2.1极限的主要命令及说明命令说明Limit[expr,x®x0]当x趋向于x0时求expr的极限Limit[expr,x®x0,Direction®1]当x趋向于x0时求expr的左极限Limit[expr,xx0,Direction®-1]当x趋向于x0时求expr的右极限Infinity无穷大趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞。注意Mathemica没有区分∞和+∞，求x∞时的极限要小心。下面就具体操作几个运行极限的Mathemica程序。1．求利用Limit[expr,x®Infinity]命令，计算expr；再将表达式expr转化成，其中Sqrt[x^2+2]是指。具体运行程序参见图2.2.1。图2.2.1运行的Mathemica程序2．求利用Limit[expr,x®0]命令，计算expr；再将表达式expr转化成，其中Sin[x]^2是指sin2x。具体运行程序参见图2.2.2。图2.2.2运行的Mathemica程序3．求利用Limit[expr,x®0,Direction®-1]命令，计算expr；再将表达式expr转化成lnx，其中Log[x]是指lnx。具体运行程序参见图2.2.3。图2.2.3运行的Mathemica程序2.2.2实验内容2函数的微分

在Mathematica中，计算函数的微分或是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x求函数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种如表2.2.2。表2.2.2关于函数微分的几个主要命令及说明命令说明D[f,x]计算导数D[f,{x,n}]计算n阶导数下面就具体操作几个运行微分的Mathemica程序。例2.2.1求函数exsinx的导数。利用D[f,x]命令，计算f的导数；再将表达式f转化成exsinx，其中Exp[x]是指ex。这样就可得到函数exsinx导数的Mathemica程序。具体运行程序参见图2.2.4。图2.2.4运行exsinx的导数的Mathemica程序例2.2.2求函数exsinx的二阶导数利用D[f,{x,n}]命令，计算f的n导数；再将表达式f换成exsinx，其中Exp[x]是指ex；n换成2。就可得到函数exsinx的二阶导数的Mathemica程序。具体运行程序参见图2.2.5图实验2.5函数exsinx的二阶导数的Mathemica程序例2.2.3假设a是常数，对sinax求导。这题仍可以利用D[f,x]命令，计算f的导数；再将表达式f转化成sinax，其中a不做任何处理，就可视作普通的字符（或称为常数）。具体运行程序参见图2.2.5。图2.2.5函数sinax的导数的Mathemica程序Mathematica也可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。如下面例2.2.4。例2.2.4求xg(x)对x的导数和4阶导数。首先，求函数xg(x)对x的导数。首先利用D[f,x]命令，将f转化成表达式xg(x)。其运行结果是g[x]+xg[x]。具体运行程序参见图2.2.6。再求函数xg(x)对x的4阶导数。首先利用D[f,{x,n}]命令，将f转化成表达式xg(x)，n换成4。其运行结果是4g（3）[x]+xg（4）[x]。具体运行程序参见图2.2.6。图2.2.6函数xg(x)对x的导数和4阶导数的Mathemica程序对复合函数的求导上面的方法仍适用。如例2.2.5。例2.2.5求函数g[h[x]]对x求导。为了求函数g[h[x]]对x求导，首先利用D[f,x]命令，将f转化成表达式g[h[x]]。其运行结果是g[h[x]]h[x]。具体运行程序参见图2.2.7。图2.2.7函数g[h[x]]对x求导的Mathemica如果要得到函数在某一点的导数值可以把这点代入导数即可。如例2.2.6中求f(2)。例2.2.6设f(x)=exsinx,求f(2)。首先，利用D[f,x]/x®2命令求f(2)。再将f用表达式Exp[x]*sinx替换，其中Exp[x]表示ex。具体运行程序参见图2.2.8。图2.2.8求f(2)的Mathemica程序2.2.3实验内容3计算积分1.不定积分在Mathematica中计算不定积分命令为Integerate[f,x],当然也可使用工具栏直接输入不定积分式。来求函数的不定积分。当然并不是所有的不定积分都能求出来。例如求Mathematica就无能为力。其运算结果见图2.2.9。图2.2.9积分Mathematica运算结果但对于一些手工计算相当复杂的不定积分，MatheMatica还是能轻易求得，例如下面例题2.2.7例2.2.7求。若用手工运算相当麻烦，但用MatheMatica程序运算就容易多了。先用工具栏直接输入不定积分式，在运行结果。如图2.2.10的MatheMatica程序设计结果。图2.2.10积分的Mathematica运算结果积分变量的形式也可以是一函数，例如例2.2.8中计算sin(sinx)d(sinx)也可以利用MatheMatica程序设计。例2.2.8计算sin(sinx)d(sinx)。先用工具栏直接输入不定积分式，即可求得正确结果。具体结果参见图2.2.11。图2.2.11积分sin(sinx)d(sinx)的Mathematica运算结果对于在函数中出现的除积分变量外的符号，统统当作常数处理,例如例2.2.9积分(ax2+bx+c)dx中a、b、c在运算过程中就当常数处理的。例2.2.9计算积分(ax2+bx+c)dx。首先，输入(ax2+bx+c)dx的Mathematica运行程序后，即可以得到结果cx++。具体运行情况参见图2.2.12。图2.2.12积分(ax2+bx+c)dx的Mathematica运算结果2.定积分定积分的求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入积分限Integrate[f,{x,min,max}]，或者使用工具栏输入也可以。例2.2.12定积分x2eaxdx。利用命令Integrate[f,{x,min,max}]，将f转化成表达式x2eax，其中Exp[ax]表示eax。其运行结果是。具体运行程序参见图2.2.13。图2.2.13定积分x2eaxdx的Mathematica运算结果命令Integrate[f,{x,min,max}]，也可以求广义积分。例如下面例2.2.13。例2.2.13求积分。这是一个瑕积分，照例用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入即可得到结果。详见图2.2.14。图2.2.14积分的Mathematica运算结果同样，命令Integrate[f,{x,min,max}]也可求无穷积分。例如例2.2.14。例2.2.14求积分。这是一个广义积分，照例用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入即可得到结果。详见图2.2.15。图2.2.15积分的Mathematica运算结果如果广义积发散也能给出结果，例如例2.2.15。例2.2.15求积分。这是一个发散的广义积分，照例用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入也即可得到结果。详见图2.2.16图2.2.16积分的Mathematica运算结果对于广义积分如果Mathematica运算程序无法判定敛散性，就用给出一个提示，例如例2.2.16，其运算结果参见图2.2.17。例2.2.16。照例用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入，因为x=0是奇异点，按一般广义积分的定义，这个积分发散，这是出现提示，返回的只是原输入式的输出形式。具体结果参见图2.2.17。图2.2.17积分的Mathematica运算结果如果广义积分敛散性与某个符号的取值有关，它也能给出在不同情况下的积分结果例如例2.2.17。例2.2.17求积分。用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入，+用Infinity代替。输出结果含有一个字母参数p，这时返回的结果是一个条件表达式，当p的实部大于1时值为，否则发散。具体结果参见图2.2.18。图2.2.18积分的Mathematica运算结果在Integrate中可加两个参数Assumptions和GenerateConditions例如例2.2.17中，只要用Assumptions{Re[p]>1}就可以得到收敛情况的解。图2.2.19积分在p>1的情况下的Mathematica运算结果3.数值积分数值积分是解决求定积分的另一种有效的方法，它可以给出一个近似解。特别是对于用Integrate命令无法求出的定积分，数值积分更是可以发挥巨大作用。它的主要命令格式为表2.2.3中的命令。表2.2.3数值积分一些主要命令Nintegrate[f,{x,a,b}]在[a,b]上求f数值积分Nintegrate[f,{x,a,x1,x2,…,b}]以x1,x2….为分割求[a,b]上的数值积分Nintegrate[f,{x,a,b},MaxRecursionn]求数值积分时指定迭代次数n.下面我们求sinsinx在[0,π]上的积分值，由于这个函数的不定积分求不出，因此使用Integrate命令无法得到具体结果，但可以用数值积分可以求得近似值。如例2.2.18。例2.2.18求积分sin(sinx)dx。这个被积函数f(x)=sin(sinx)找不到初等的原函数，用命令Integrate[f,{x,min,max}]直接输入，得不到结果。但用命令Nintegrate[f,{x,a,b}]输入，即可得到近似值。具体情况参见图2.2.20，其中Pi表示π。图2.2.20积分sin(sinx)dx在Mathematica程序下的数值解如果积分的被函数存在不连续点，或存在奇异点我们可对积分进行分段求解。例如例2.2.19。例2.2.19求积分dx。被积函数在[-1，1]上，显然有x=0点是一个无穷间断点。因此若要求其数值积分，必须在其中插入点0。于是，利用数值积分命令Nintegrate[f,{x,xmin，x1，x2，……，xmax}]输入，其中x1，x2，……是奇异点。这样就可得