随机过程复习试题及答案

证明：当0<t1<t2< <*t时,P(X(t)<xX(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=112 2 nnP(X(t)-X(t)<x-xX(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x)=n n 1 1 2 2 n nP(X(t)-X(t)<x-x)，又因为P(X(t)<x|X(t)=x)=P(X(t)-X(t)<x-xX(t)=x)=n n nn nn nnP(X(t)-X(t)<x-x)，故P(X(t)<x|X(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=P(X(t)<x|X(t)=x)n n '11 2 2 nn cos兀tHTcos兀tHT ,te(-8,+8)，设pHP=tT求(1)｛X(t),te(—8,+8)｝的样本函数集合；(2)一维分布函数F(x;0),F(x;1)。解：(1)样本函数集合为｛cos兀t,t｝,te3,+3)；3.设{X,n>0}为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n>0,1<l<n和i,jeI，n步转移n概率p(n)=Hp(l)p(n-1)，称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。ij ikkjkeI&(n)=j|X(0)=i}=P&(n)=j|X(0)=i}=PvX(n)=j^jX(l)=k|X(0)=i>l keI 丿=工P&⑴=k|X(0)=i}P&(n)=j|X⑴=k,X(0)=i}=工Pia)Pkn-l)，其意义为n步转移概率可以证明：P(n)=Pijkel=工P{X(n)=j,X(l)=k|X(0)=i}keIkeI用较低步数的转移概率来表示。4.设｛N(t),t>0｝是强度为九的泊松过程，｛Y,k=1,2, ｝是一列独立同分布随机变量，且与k{N(t),t>0}独立，令X(t)M)Y,t>0，证明：若E(Y2<8)，则E[X(t)]=XtE{Y}。

k1k=1证明：由条件期望的性质E[X(t)]=E｛[X(t)|N(t)]｝，而E[X)N|)=EY=EYY|N(t)=n|=E(i=1ii=1工Y=nE(Y)，所以E[X(t)]=xtE{丫}。1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：X(t)=｛⑵当t=0时，P{X(0)=0}=P{X(0)=l}=0x<00x<0112 x>1故F(x;0)= 0<x<1；同理F(x;1)=S12 x>1221x>1设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。解：设{N(t)，t工0}是顾客到达数的泊松过程，“2，故P{N(2)=k}= ，则QC ^71P{N(2)<3}=P{N(2)=0}+P{N(2)=1}+P{N(2)=2}+P{n(2)=3}=e-4+4e-4+8e-4+3e-4=3e-4设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为Q，而今天无雨明天有雨的概率为0;规定有雨天气为状态0无雨天气为状态1。设a=0.7,卩=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=PP「0.70.3「解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=PP「0.70.3「0001=P10P110.40.6，于是0.610.39P(2)=PP=0.520.48四步转移概率矩阵为P(4)=P(2)P(2)=0.57490.56680.42510.4332，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P00)=0.5749。4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。解：步转移概率矩阵P=01010解：步转移概率矩阵P=01010130十3十33P(2)=P2=十-7缶999+十+333兀=十兀=十5nq兀=-35=1 K=十由P(2)>0知，此链有遍历性；设极限分侦=g,役，兀3)，兀=■—兀1 32方程组尿=十兀3 3 2兀+兀+兀

5•设有四个状态I={0,,2,3}的马氏链，它的一步转移概率矩阵P=O-X1O-X1o11/4O2/22/2.1O对状态进行分类；对状态空间I进行分解。解：(1)图略；(2)p二1,而p，p，p均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记。={3}；0,33 30 31 32 11两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一