随机变量的均值及其性质

第三章随机变量的数字特征前一章介绍了随机变量的分布，它是对随机变量的一种完整的描述。然而实际上，求出分布率并不是一件容易的事。在很多情况下，人们并不需要去全面地考察随机变量的变化情况，而只要知道随机变量的一些综合指标就够了．随机变量的数字特征就是用数字表示随机变量的分布特点。将介绍最常用的两种数字特征：数学期望与方差．§1.随机变量的数学期望及其性质为了叙述一组事物的大致情况，我们经常要使用平均值这个概念.例如，对一个物体重复测量10次，测得的结果为:80,81,81,80,83T82,81,82,81,80,那么10次测量结果的平均值等于—(80+81+81+80+83+82十81+^2+81+80)“0X需+沁寿十磁鲁+8/汁=81,1从上例看出，测量平均值并非10次测量中所得到的4个

数值80,81.82,83的简单算术平均，而是它们依次乘以备,

需W令后的和.而后面四个数依次为上述4个测量值在10次测量值中岀现的频率.因此，所求平均值为得到的诸测量值以其出现的頻率为权的加权平均.对于任何随机变量X的取值都有类似的问题，我们经常要了解X平均取什么值•通常就以X能取的各个值以及取这些值的概率为权，作加权平均来计量X的平均值.我们称这种平均值为邇机变量X的数学期望(简称为期望或均值人以下就离楸型和连续型两种随机变量分别给出其数学期望的定义.一．数学期望：1离散型随机变量的数学期望定义:设随机变量X的分布律为显然，当随机变量X服从取值为茂的单点分布时，必有当随机变量X服从参数为炉的0—1分布肘必有=0X(1」/*〉+1X亡例1设X-B<n“)，求E(X).解若X〜Eg»则例2设X〜求欧Xh解尸｛%=创=普祀」4=0,1严dEE=勿加m*k\>«[}k\>«[}屜一旨1例3】甲.乙两射手在一次射击中的得分(分别以X，丫表示)的分布律见表£2和表3.3=X109X109870.20-40.30.1r1087r0.40.10.20.3JE3・3试怡较甲、乙两射手的技术+"分析由X与F的分布难以对甲、乙的射击技术作岀比较，但可以利用二人多次射击后的平均数来比较二人水平高低,也就是说可以用X与¥的数学期望作为标识・ECX)=10X0.2+9X0.4+8X0.3+7X0<1=87£<r>=10X0,4+9X0.1十8X0.2+7XO.3=£6显然，£(X)>£<y)故从平均水平来看，甲射手的射击水平比乙射手的水平高.2。连续型随机变量的数学期望：定义：设连续型随机变量X的分布密度为W■十8若广义积分HfSch：绝对收敛，則J—8E(X)= ^rf(x)Jjc」—rx3称为连续型随机变量的数学期望.【例4】设X〜求恵QO.3•随机变量函数的数学期望：一维随机变量X，若Y=g(X)・E(Y)=E(g〔X))・离散型随机变量,E(Y)二丫召(爲"(X=艺).f+CK连续型随机变量,E(Y)二 g(jr)/(x)dx^里的」—g是X的慨率密度函数・数学期墨的性质性质1若C为常数，则£(C)-C性质4若H巧为常数，X为随机变量，则有£(iX+*)=kEg+b性质冒设K,丫为二个随机变量，则£(X+Y)=E(X)+E(Y)推论设为们个随机变量，则E(X.+耳 FX)=Eg+E(X2)+…+Eg性质6若X与丫独立，则有E(XY)=£(X)£(y\例测量某个圆的直径戈其结果为一连续型随机变量X.若已知X〜U［宀刃，求圜面积的数学期望.解设圆面积为人则Y=yX^因为X7S刃「则几（巧=”一口其它、0,其它7T所以£(y)-E(^2)=JE(XS)h'_/(kMh=手,7T—g T7JCiP<?兀r212U三．习题：1・ P.752. P.84 1,3,5； 1,3,5.【例】据统计，一位40岁的健康（一般体检末发现病症）者，5年之内活着或自杀死亡的概率为p（0VpVl,p为已知），在5年内非自杀死亡的概率为1—P。保险公司开办5年人寿保险，参加者需交保险费a元（a已知），若5年之内非自杀死亡，公司赔偿b元（b>a）。b应如何定才能使