忻州定襄县2023-2024学年八年级上学期期末数学强化卷(含答案)

绝密★启用前忻州定襄县2023-2024学年八年级上学期期末数学强化卷考试范围：八年级上册(人教版)；考试时间：120分钟注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题（共10题）1.（2021•宜昌）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点​F​​在​AC​​上，其中​∠ACB=90°​​，​∠ABC=60°​​，​∠EFD=90°​​，​∠DEF=45°​​，​AB//DE​​，则​∠AFD​​的度数是​(​​​)​​A.​15°​​B.​30°​​C.​45°​​D.​60°​​2.（湖北省孝感市孝南区八年级（上）期末数学试卷）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（）A.m（x-y）=mx-myB.x2+2x+1=x（x+2）+1C.a2+1=a（a+）D.15x2-3x=3x（5x-1）3.（山东省菏泽市曹县七年级（上）期末数学试卷）“比a的2倍小3的数”，用代数式表示为（）A.2a+3B.2a-3C.2（a+3）D.2（a-3）4.（2021•思明区校级二模）计算​​a-3⋅​a2​A.​​a-1B.​​a5C.​​a-6D.​​-a-15.（浙江省杭州市江干区七年级（下）期末数学试卷）代数式15ax2-15a与10x2+20x+10的公因式是（）A.5（x+1）B.5a（x+1）C.5a（x-1）D.5（x-1）6.（湖南省邵阳市邵阳县七年级（下）期末数学试卷）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A.（x+1）（x-1）=x2-1B.x2-4+2x=（x+2）（x-2）+2xC.2a（b-c）=2ab-2acD.m2-n2=（m+n）（m-n）7.（2021春•莱芜区期末）如图，在正方形​ABCD​​中，​AB=4​​，点​P​​是​AB​​上一动点（不与​A​​、​B​​重合），对角线​AC​​、​BD​​相交于点​O​​，过点​P​​分别作​AC​​、​BD​​的垂线，分别交​AC​​、​BD​​于点​E​​、​F​​，交​AD​​、​BC​​于点​M​​、​N​​．下列结论：①​ΔAPE≅ΔAME​​；②​PE+PF=22③​​PE​​2​④​ΔPOF∽ΔBNF​​；⑤四边形​OEPF​​的面积可以为3．其中正确的个数是​(​​​)​​A.5B.4C.3D.28.（广东省佛山市禅城区八年级（上）期末数学试卷）下列各式中，运算正确的是（）A.a6÷a3=a2B.÷=C.（a3）2=a5D.2+3=59.（2016•滨江区一模）下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.10.（浙江省绍兴市柯桥区兰亭中学八年级（上）期中数学试卷）如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC边的中点，BC=2；在AD上有一动点Q，则QC+QE的最小值为（）A.1B.1.5C.D.评卷人得分二、填空题（共10题）11.（2022年春•平定县期中）（2022年春•平定县期中）如图△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则CD长为．12.（北京市平谷区八年级（上）期末数学试卷）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小米的作法如下：请回答：小米的作图依据是．13.（华师大版初中数学八年级上册13.3等腰三角形质量检测）在△ABC中，∠A=60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是14.（2020年秋•海淀区期末）计算：(-)2=．15.（2022年春•盐都区校级月考）（2022年春•盐都区校级月考）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有个．16.（山东省烟台市芝罘区七年级（上）期末数学试卷（五四学制））（2022年秋•芝罘区期末）如图，点B、D、C、F在同一直线上，且BD=FC，AB=EF．请你在横线上添加一个条件：（不再添加辅助线），使△ABC≌△EFD，并说明理由．17.（福建省宁德市古田十一中八年级（上）期末数学模拟试卷（1））在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0，），B（-1，0），C（1，0）．（1）△ABC为三角形．（2）若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是．18.（2022年第12届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷（））在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有个．19.在△ABC中，已知∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CD=2，AD=3，则BD的长为．20.（江苏省盐城市响水实验中学八年级（上）期中数学试卷）圆有条对称轴．评卷人得分三、解答题（共7题）21.（专项题）如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB。求∠ACD的度数。22.已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点．（1）求证：ED=EB；（2）图中有哪些等腰三角形？23.如图，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，E是AD边上的一个动点（不与点A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG=DE．（1）当△EFG为等腰三角形时，求DE的长；（2）当△EFG为等腰三角形时，求△EFG与菱形ABCD的面积比．24.（2022年春•武汉校级月考）（2022年春•武汉校级月考）已知：如图，在等腰三角形ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AB=AC，AD⊥BC于点D．以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M．（1）求证：∠FEA=∠FCA；（2）猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．25.（2022年春•重庆校级月考）阅读下列材料，解答下列问题：材料1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆过程．公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法．如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式．但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）材料2．因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面小题：①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3．26.（四川省凉山州西昌市八年级（上）期末数学试卷）如图，在7×9网格中，ABC的三个顶点坐标是：A（1，3），B（-1，2），C（3，-1）①作出△ABC关于y轴对称的图形；②分别写A、B、C三点对称点的坐标．27.（山东省烟台市龙口市七年级（上）期末数学试卷）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少秒时，以点C、B、D为顶点的三角形是等腰三角形？参考答案及解析一、选择题1.【答案】解：如图，​∵∠ACB=90°​​，​∠ABC=60°​​，​∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-60°=30°​​，​∵∠EFD=90°​​，​∠DEF=45°​​，​∴∠D=180°-∠EFD-∠DEF=180°-90°-45°=45°​​，​∵AB//DE​​，​∴∠1=∠D=45°​​，​∴∠AFD=∠1-∠A=45°-30°=15°​​，故选：​A​​．【解析】利用三角板的度数可得​∠A=30°​​，​∠D=45°​​，由平行线的性质定理可得​∠1=∠D=45°​​，利用三角形外角的性质可得结果．本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出​∠A​​，​∠D​​的度数是解本题的关键．2.【答案】【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误；C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确；故选：D．【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．3.【答案】【解答】解：比a的2倍小3的数即为2a-3．故选B【解析】【分析】被减数是2a，减数为3．4.【答案】解：​​a-3​​=a-3+2​​=a-1故选：​A​​．【解析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行运算即可得出结果．本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则：底数不变，指数相加．5.【答案】【解答】解：15ax2-15a=15a（x+1）（x-1），10x2+20x+10=10（x+1）2，则代数式15ax2-15a与10x2+20x+10的公因式是5（x+1）．故选：A．【解析】【分析】分别将多项式15ax2-15a与10x2+20x+10进行因式分解，再寻找他们的公因式．6.【答案】【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；C、是整式的乘法，故C错误；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；故选：D．【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．7.【答案】解：①​∵​四边形​ABCD​​是正方形，​∴∠BAC=∠DAC=45°​​．​∵PM⊥AC​​，​∴∠AEM=∠AEP=90°​​，在​ΔAPE​​和​ΔAME​​中，​​​∴ΔAPE≅ΔAME​​，故①正确；②​∵​四边形​ABCD​​是正方形，​∴AB=BC=4​​，​∠ABC=∠AOB=90°​​，​∴OB=1​∵∠AOB=∠PEO=∠PFO=90°​​，​∴​​四边形​OFPE​​是矩形，​∴OF=PE​​，​∵∠FBP=45°​​，​∠BFP=90°​​，​∴ΔBFP​​是等腰直角三角形，​∴BF=PF​​，​∴PE+PF=OF+BF=OB=22③在直角​ΔOPF​​中，​​OF​​2​由​PE=OF​​，​​∴PE​​2​④​∵∠CBF=45°​​，​∠BFN=90°​​，​∴ΔBFN​​是等腰直角三角形，而​ΔOPF​​是直角三角形，​∴ΔPOF​​与​ΔBNF​​不相似；故④错误；⑤​∵​四边形​OFPE​​是矩形，​∴​​四边形​OEPF​​的面积​=PE⋅PF​​，设​PE=x​​，则​PF=22若四边形​OEPF​​的面积为3，则​x(22​​x​​2​△​=(22【解析】①根据​ASA​​可证明​ΔAPE≅ΔAME​​；②证明四边形​OFPE​​是矩形，利用勾股定理计算​BD​​的长，从而得​OB​​的长，可得结论；③利用勾股定理和矩形的对边相等可得结论；③证明​ΔBFN​​是等腰直角三角形和​ΔOPF​​是直角三角形可作判断；⑤根据矩形的面积​=​​长​×​宽列式，将​S=3​​代入解方程，方程无解可作判断．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定，证明四边形​OFPE​​是矩形是解题的关键．8.【答案】【解答】解：A、a6÷a3=a3，故此选项错误；B、÷=，正确；C、（a3）2=a6，故此选项错误；D、2+3无法计算，故此选项错误；故选：B．【解析】【分析】分别利用同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算法则和二次根式的混合运算法则判断得出答案．9.【答案】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【解析】【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．10.【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，且BC=2，∴AB=2，连接BE，线段BE的长即为QE+QC最小值，∵点E是边AC的中点，∴CE=AB=1，∴BE==，∴QE+QC的最小值是．故选D【解析】【分析】先根据锐角三角函数的定义求出AB的长，连接BE，则线段BE的长即为QE+QC最小值．二、填空题11.【答案】【解答】解：延长AD至E，使AD=DE，连接BE，在△ADC和△BDE中，，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴BE=AC=3，∵AE=4，AB=5，32+42=52，∴△ABE为RT△，AE⊥BE，∴BD===，∵D为BC的中点，∴BD=CD，∴CD=．故答案为：．【解析】【分析】延长AD至E，使AD=DE，连接BE，根据SAS证出△ADC≌△BDE，得出BE=AC=3，根据勾股定理的逆定理证出△ABE为RT△，AE⊥BE，再根据勾股定理求出BD，最后根据D为BC的中点，得出BD=CD，从而求出CD．12.【答案】【解答】解：由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），∴∠O=∠O′．故答案为：有三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．【解析】【分析】由作图过程可得CO=C′O′，DO=D′O′，CD=C′D′，再利用SSS判定△ODC≌△O′D′C′，再根据全等三角形对应角相等可得∠O=∠O′．13.【答案】【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB=AC或AB=BC或AC=BC．故答案为：此题答案不唯一，如AB=AC或AB=BC或AC=BC．【分析】由在△ABC中，∠A=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可求得答案．14.【答案】【解答】解：(-)2=．故答案为：．【解析】【分析】直接利用分式的乘方运算法则化简求出答案．15.【答案】【解答】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD，∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；即正确的有4个，故答案为：4．【解析】【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．16.【答案】【解答】解：添加：∠B=∠ACB，∵BD=FC，∴BD+DC=DC+FC，即BC=DF，理由：在△ABC和△EDF中∵，∴△ABC≌△EDF（SAS）．故答案为：∠B=∠ACB．【解析】【分析】直接利用全等三角形的判定方法，添加：∠B=∠ACB，进而得出答案．17.【答案】【解答】解：（1）如图，由题中条件可得，BC=2，OA=，OB=OC=1，∴AB=AC=2=BC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，若将△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC向右平移3．【解析】【分析】（1）由坐标关系可得三角形的三边都相等，所以可得其为等边三角形；（2）将三角形横坐标分别加3，相当于将三角形向右平移3，所得三角形与原三角形全等．18.【答案】【答案】设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，根据最长边与最短边之差不大于2，得出最长边与最短边之差等于0、1或2，（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n；（2）当差为1时，有①a=n，b=n，c=n+1；②a=n，b=n+1，c=n+1；（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2；②a=n，b=n+1，c=n+2；③a=n，b=n+2，c=n+2；从而将各种情况下符合条件的n的值相加可得出结果．【解析】设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，∵最长边与最短边之差不大于2，∴最长边与最短边之差等于0、1或2，（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n，此时a+b+c=3n≤100，n可取1，2，…33，共33种方法；（2）当差为1时，①a=n，b=n，c=n+1；此时a+b+c=3n+1≤100，n可取2，…33，共32种方法；②a=n，b=n+1，c=n+1，此时a+b+c=3n+2≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2，此时a+b+c=3n+2≤100，n可取3，4，…32，共30种方法；②a=n，b=n+1，c=n+2；此时a+b+c=3n+3≤100，n可取2，…32，共31种方法；③a=n，b=n+2，c=n+2，此时a+b+c=3n+4≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；综上可得一共可以构成33+32+32+30+31+32=190个．故答案为：190．19.【答案】【解答】解：分别以BA和BC为对称轴在△ABC的外部作△BDA和△BDC的对称图形△BEA和△BFC，如图，由题意可得：△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF∴∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，又∵∠ABC=45°∴∠EBF=90°，又∵AD⊥BC，∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠BDC=90°，又∵BE=BD，BF=BD，∴BE=BF，∴四边形BEGF是正方形，设BD=x，则BE=EG=GF=x，∵CD=2，AD=3，∴BE=2，CF=3∴AG=x-3，CG=x-2，在Rt△，AGC中，AG2+CG2=AC2，（x-3）2+（x-2）2=（2+3）2，x1=6，x2=-1（舍去），即BD=6，故答案为：6．【解析】【分析】由题意可得出△ABD≌△ABE，△CBD≌△CBF，推出∠DBA=∠EBA，∠DBC=∠FBC，求出四边形BEGF是正方形，设BD=x，则BE=EG=GF=x，AG=x-3，CG=x-2，在Rt△，AGC中根据勾股定理求出（x-3）2+（x-2）2=（2+3）2，求出即可．20.【答案】【解答】解：圆有无数条对称轴．故答案为：无数．【解析】【分析】根据轴对称图形的特征，圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因为圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．三、解答题21.【答案】∠ACD=30°【解析】22.【答案】【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，E是AC的中点，∴EB=AC，同理，ED=AC，∴ED=EB；（2）解：等腰三角形有：△ADE，△CDE，△ABE和△BCE．【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得EB=AC，ED=AC，据此即可证得；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．23.【答案】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，则DE=DG=AD=，②GE=GF时，（DE)2=（DE）2+9-DE-DE）2，解得DE=；（2）当△EFG为等腰三角形时，EG2+FG2=EF2时，∵GD=DE，∴∠DGE=∠DEG=30°，∴∠FEG=30°，∴=sin60°，∴=，∴GE=，∴GF=，∴==．【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△EFG为等腰三角形时，①EF=GE=时，于是得到DE=DG=AD=，②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=；（2）当△EFG为等腰三角形时，EG2+FG2=EF2时根据三角函数的定义得到GE=，GF=，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．24.【答案】【解答】（1）证明：如图1，∵AB=AC，∴∠1=∠2，∵AD⊥BC，∴直线AD垂直平分BC，∴FB=FC，∴∠FBC=∠FCB，∴∠FBC-∠1=∠FCB-∠2，即∠3=∠4，∵等边三角形ACE中，AC=AE，∴AB=AE，∴∠3=∠5，∴∠4=∠5，即∠FEA=∠FCA；（2）FE+FA=2FD，证明：在FC上截取FN，使FN=FE，连接EN，如图2，∵∠FME=∠AMC，∠5=∠4，∴180°-∠5-∠FME=180°-∠4-∠AMC，∴∠EFM=∠CAM，∵等边三角形ACE中，∠CAE=60°，∴∠EFM=60°，∵FN=FE，∴△EFN是等边三角形，∴∠FEN=60°，EN=EF，∵△ACE为等边三角形，∴∠AEC=60°，EA=EC，∴∠FEN=∠AEC，∴∠FEN-∠MEN=∠AEC-∠MEN，即∠5=∠6，在△EFA和∠ENC中，∴△EFA≌△ENC，∴FA=NC，∴FE+FA=FN+NC=FC，∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，∴∠FCB=×60°=30°，∵AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∴FC=2FD，∴FE+FA=2FD．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠1=∠2，直线AD垂直平分BC，求出FB=FC，根据等腰三角形的性质得出∠3=∠4，求出AB=AE，根据等腰三角形的性质得出∠3=∠5，即可得出答