中考数学压轴题及答案

一、解答题

1.在平面直角坐标系中，抛物线y="x2+fox+c与X轴交于点A(-1,O)和点8,与y轴交于

⑴直接写出抛物线的解析式；

⑵如图1,若点夕在抛物线上且满足，求点。的坐标；

⑶如图2,例是直线8c上一个动点，过点例作及火_1_*轴交抛物线于点2。是直线AC

上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点例及其对应点。的坐标

2.在平面直角坐标系中，二次函数尸江+法+2的图象与x轴交于A(-3,0),3(l,0)两点，

与)'轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式；

(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，当△人“面积最大时，求出点P的坐标；

(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点。，使以A、aM、Q为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

3.在平面直角坐标系X。中，。。的半径为1.对于点力和线段BC,给出如下定义：若

将线段8。绕点力旋转可以得到。。的弦夕。(6,。分别是自C的对应点)，则称线段

8C是。。的以点力为中心的“关联线段”.

(1)如图，点4a,G,a,Bs,&的横、纵坐标都是整数.在线段8G,B2c2、

83a中，的以点力为中心的“关联线段”是；

(2)。是边长为1的等边三角形，点力(0,r),其中txo.若8C是。。的以点力

为中心的“关联线段”，求t的值；

(3)在△力占。中，/8=1,ZC=2.若8。是。。的以点力为中心的“关联线段”，直接

写出。4的最小值和最大值，以及相应的8c长.

如图，在平面直角坐标系中，点A(0,10),点8是x轴的正半轴上的一个动点，连接力6,

取力8的中点M,将线段M3绕着点6按顺时针方向旋转90°,得到线段BC.过点6作x

轴的垂线交直线力。于点。.设点8坐标是&0)

(1)当，=6时，点例的坐标是；

(2)用含f的代数式表示点。的坐标；

(3)是否存在点反使四边形力08。为矩形？若存在，请求出点6的坐标；若不存在，请

说明理由；

(4)在点6的运动过程中，平面内是否存在一点/V,使得以力、B、N、。为顶点的四边

形是菱形？若存在，请直接写出点”的纵坐标(不必要写横坐标)；若不存在，请说明理

5.如图⑴,在菱形力交。中，乙力比'=60。，点£在边。。上(不与点C,。重合)，

连结力£交处于点尸.

(1)如图⑵，若点例在8C边上，旦DE=CM,连结力M求证：三角形/四

为等边三角形；

（2）设三7=x,求tan4用的值（用x的代数式表示）；

BF

DF

（3）如图（3）,若点G在线段8尸上，且尸G=28G,连结4G、CG,—=x,四边形

BF

S

/GCf的面积为$,力义?的面积为心求7t的最大值.

6.如图，在平面直角坐标系中，一ABC的边力8在x轴上，且以Z6为直径的

圆过点C.若点。的坐标为（0,4）,A3=10,

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。为该函数在第一象限内的图象上一点（不与8c重合），过点。作PQL8C,垂

足为点Q连接户。.若以点2C、Q为顶点的三角形与二COA相似，求点。的坐标；

（3）若Z4CB平分线所在的直线/交x轴与点£过点£任作一直线/‘分别交射线CACB

（点。除外）于点则上+上的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请

CMCN

说明理由.

7.如图1,。/与直线a相离，过圆心/作直线a的垂线，垂足为”且交。/于P、Q两

点（。在户、，之间）.我们把点Q称为◎/关于直线a的“近点”，点。称为。/关于直

线a的“远点”把PQQ〃的值称为。/关于直线a的“特征数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系xQ/中，点£的坐标为（0,3）.半径为1的。。与两

坐标轴交于点4B、C、D.

①过点F画垂直于p轴的直线内则。。关于直线机的“近点”“远点”分别是点—和

（填/'、"B'、"C或0）,。。关于直线/77的“特征数”为；

②若直线〃的函数表达式为y=-6x+3.求。。关于直线〃的“特征数”；

（2）在平面直角坐标系X。中，直线/经过点修（1,2）,点尸是坐标平面内一点，以尸

为圆心，立为半径作。尸.若。尸与直线/相离，点"（-1,0）是。尸关于直线/的“近

2

点”.且。尸关于直线/的“特征数”是6,求直线/的函数表达式.

（图1）

(图2)

8.如图，抛物线，=-*+6x+c与x轴交于48两点，其中/I(3,0),5(-1,

0),与_/轴交于点C抛物线的对称轴交x轴于点。，直线经过点4C,连接

CD.

(1)分别求抛物线和直线的解析式；

(2)在直线/C下方的抛物线上，是否存在一点P,使得△为”的面积是△4。面积的2

倍，若存在，请求出点户的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q使线段力。绕Q点顺时针旋转90。得到线段

Q4,且点4恰好落在该抛物线上？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知：如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线y=-x+b(匕＞0)交x轴

于点4交y轴于点C以。4。。为边作矩形/6CO,矩形力88的面积是36.

(I)求直线zc的解析式.

(2)点。为线段46上一点，点Q为第一象限内一点，连接户。PQ,乙OPQ=9。。,且

OP=PQ,设力。的长为f,点Q的横坐标为d,求d与f的函数关系式.(不要求写出自

变量1的取值范围)

(3)在(2)的条件下，过点Q作Q%。。交力8的延长线于点£作aQOC的平分线。尸

交先于点F,交也于点K、若KQ=2EF、求点Q的坐标.

10.如图，平面直角坐标系中，点。为原点，抛物线交x轴于

A(—2,0)、8(5,0)两点，交y轴于点C.

(1)求抛物线解析式；

(2)点"在第一象限内的抛物线上，过点尸作x轴的垂线，垂足为点连力。交J轴于

点£设。点横坐标为t线段纥长为d,求d与f的函数解析式；

(3)在(2)条件下，点加在上，点Q在第三象限内抛物线上，连接27、PQ、PM,

PQ与_/轴交于“若，，，求点Q的坐标.

11.已知：如图1,点A(<3,b),AB-LX轴于点B,并且满足J2a+6+4+(a—h+8)-=0

(1)试判断AAOB的形状，并说明理由；

(2)如图2,若点。为线段43的中点，连OC并作ODLOC,且连AD交x轴

于点£试求点M的坐标；

(3)如图3,若点M为点8的左边x轴负半轴上一动点，以40为一边作NM4N=45。交

'轴负半轴于点2连MN,在点例运动过程中，试猜想式子。河+MV-ON的值是否发生

变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围.

12.直角三角板为8。的斜边的两个端点在。。上，已知乙fi4C=30。，直角边力。与。。

相交于点。，且点。是劣弧45的中点

⑴如图1,判断直角边8C所在直线与。。的位置关系，并说明理由；

⑵如图2,点。是斜边48上的一个动点(与48不重合)，。。的延长线交。。于点

Q连接QB.

@)4。=6,阳=4,贝IJAB二；PQ=；

②当点户在斜边力8上运动时，求证：QA+QB=6QD.

13.如图，已知四边形力88内接于OQ直径〃尸交6。于点G.

⑴如图1,求证：LBAD-LBCF=90°；

⑵如图2,连接力。，当4乙。阳+乙/C。时，求证：。l=C8；

CG4

(3)如图3,在(2)的条件下，AC交DF于点H,2BAC=LDGB、—=AC=9,求

BG5

△CZ5”的面积.

14.同学们学过正方形与等腰三角形发现它们都是轴对称图形，它们之间有很多相似，在

正边形4BCO中，f是对角线AC上一点(不与点/、C重合)，以AD、AE为邻边作平

行四边形AEG。，GE交CD于点、M,连接CG.

G

P

⑴如图L当AE＜；AC时，过点£作砂，跖交C。于点£连接GF并延长交AC于点

H.

求证：EB=EF；

⑵在一ABC中，AB=AC,ABAC=90。.过点力作直线,点C关于直线AP的对称点

为点2连接8/),直线8。交直线A尸于点£.如图2,

①依题意补全图形；

②请用等式表示线段E8,ED,BC之间的数量关系，并予以证明.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线p="+bx+c与x轴交于点/1和点8(1,0),与

备用图

⑴求抛物线的函数表达式.

⑵若点"为第三象限内抛物线上一动点，作也，x轴于点。，交4C于点£过点f作/1C

的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点6G,设点。的横坐标为

①求户£+点EG的最大值；

②连接。只DG,若乙用G=45°,求)的值.

16.【问题提出】如图①，在△/6C中，若｛8=8,4。=4,求8C边上的中线力。的取值

范围.

【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长力。到点£使。£=/〃，再连结兜（或

将△力。。绕着点。逆时针旋转180。得到△房。），把48、ZC,2/1。集中在△/（空中，利

用三角形三边的关系即可判断.由此得出中线的取值范围是

【应用】如图②，如图，在△/I8C中，。为边8c的中点、已知48=10,AC=&,AD=

4,求8。的长.

【拓展】如图③，在△力8c中，乙力=90。，点。是边8C的中点，点£在边力8上，过点

。作£交边/C于点尸，连结炉.已知8£=5,。尸=6,则万•的长为.

17.已知二次函数），=/+瓜+«。#0）的图象与x轴的交于力、B（1,0）两点，与N轴交

于点C（0,—3）.

⑴求二次函数的表达式及A点坐标；

⑵。是二次函数图象上位于第三象限内的点，若点。的横坐标为m，*8的面积为S,

求S与加之间的函数关系式，并写出△ACO的面积取得最大值时点O的坐标；

⑶M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N.使以M、N、

5、。为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图像丫=/-2（4+1）》+/+24的顶点为

只点8（-2,孑）是一次函数y=署上一点.

16216

⑵若a>0,且一次函数y=-2x+。的图象与此抛物线没有交点，请你写出一个符合条件的

一次函数关系式（只需写一个，不必写出过程）；

⑶作直线OC：y=与一次函数y=：x+工？交于点。.连结08,当抛物线与△06。的

2216

边有两个交点时，求a的取值范围.

19.已知。为A4BC的外接圆，AC=BC,点。是劣弧AB上一点（不与点A,8重

合），连接D4.DB,DC.

（1）如图1,若AB是直径，将AACD绕点C逆时针旋转得到ABCE.若CZ）=4,求四边形

AO8C的面积；

（2）如图2,若A3=AC,半径为2,设线段。C的长为x.四边形ADBC的面积为S.

①求S与x的函数关系式；

②若点M,N分别在线段C4,CB上运动（不含端点），经过探究发现，点。运动到每

一个确定的位置.ADMV的周长有最小值：，随着点。的运动，f的值会发生变化.求所有

/值中的最大值，并求此时四边形AOBC的面积S.

20.如图，在ABC。中，ZABD=90°,AO=46m,B£>=8cm.点户从点A出发，沿

折线3c向终点。运动，点f在A8边、8c边上的运动速度分别为lcm/s、

小m/s.在点。的运动过程中，过点户作A8所在直线的垂线，交边AO或边CD于点

Q,以PQ为一边作矩形PQMN,且=2尸0,MN与3。在PQ的同侧.设点Q的运动时

间为。（秒），矩形PQMN与ABC。重叠部分的面积为S（cm?）.

(1)求边A3的长.

⑵当0<r<4时，PQ=,当4</<8时，PQ=.(用含1的代数式表示)

(3)当点例落在3。上时，求/的值.

(4)当矩形尸QMN与.ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与f的函数关系式.

【参考答案】

参考合案

**科目模拟测试

一、解答题

1.(l)y=x2-2x-3；

⑵，；

⑶，；，；，；

>/>/>•

【解析】

【分析】

(1)根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为尸a(x-1)2-4,将点力(-1,0)代入，

求出a即可得出答案；

(2)利用待定系数法求出直线8。解析式为尸2x-6,过点。作例〃加，交抛物线于点

Pi,再运用待定系数法求出直线例的解析式为尸2x-3,联立方程组即可求出闩(4,

5),过点8作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G,证明△。咨△GCF

ES4),运用待定系数法求出直线。尸解析式为尸/x-3，即可求出R(g,-()；

(3)利用待定系数法求出直线力。解析式为尸-3x-3,直线8。解析式为尸x-3,再

分以下三种情况：①当△QAW是以M2为斜边的等腰直角三角形时，②当△QAW是以

例Q为斜边的等腰直角三角形时，③当△Q/W是以例2为斜边的等腰直角三角形时，分

别画出图形结合图形进行计算即可.

⑴

解：•••顶点。的坐标为(1,-4),

设抛物线的解析式为尸a(x-1V-4,将点力(-1,0)代入，

得0=a(-1-1)2-4,

解得：a=l,

.\y=(x-1)2-4=7-2x-3,

该抛物线的解析式为y=/-2x-3；

⑵

解：：抛物线对称轴为直线/4(-1,0),

：.B(3,0),

设直线8。解析式为y=kx+e,

,:B(3,0),D(1,-4),

解得：，

二直线8。解析式为y=2x-6,

过点C作CPJ/BD,交抛物线于点Pi,

设直线的解析式为y=2x+d,将C(0,-3)代入,

得-3=2X0+。

解得：d=-3,

直线例的解析式为尸2%-3,

结合抛物线片=/-2x-3,可得#-2x-3=2x-3,

解得：xi=0(舍)，X2=^,

故Pi(4,5),

过点8作P轴平行线，过点。作x轴平行线交于点G,

'：OB=OC,ZBOC=ZOBG^ZOCG=900,

四边形O6GC是正方形，

设CP占x轴交于点E,则2x-3=0,

3

解得：

3

:.E5，0),

2

在x轴下方作N8c尸=N8CF交8G于点尸，

・・•四边形O8GC是正方形，

：.OC=CG=BG=3,NCOE=NG=90。,NOCB=/GCB=45°,

：.ZOCB-/BCE=/GCB-/BCF,

即NOCQNGCE

:•△OCEeXGCF〈ASG,

3

:・FG=OE=—，

2

33

:・BF=BG-FG=3,

22

3

.“（3,-\）,

2

设直线8解析式为尸k1x+&,

3

VC（0,-3）,尸（3,——），

2

解得:

・・•直线C厂解析式为尸gx-3,

结合抛物线y=*-2x-3,可得*-2x-3=gx-3,

解得：X/=0（舍）,X2=3,

2

57

综上所述，符合条件的「点坐标为：（4,5）或曰-丁；

图1

⑶

解：(3)设直线/C解析式为尸利x+m,直线8c解析式为j/=02X+/?2,

(-1,0),C(0,-3),

••，

解得：，

...直线2。解析式为y=-3x-3,

•：B(3,0),C(0,-3),

••，

解得：，

直线8。解析式为尸x-3,

设M(t,f-3),则N(t,八2f-3),

：.MN=\f-2t-2-(f-3)|=|/-3Z|,

①当△Q/UW是以A/Q为斜边的等腰直角三角形时，此时//VMQ=90°,MN=MQ,如图

2,

•.,例Q〃x轴，

Q-t,t-3),

34=|f-(-1rtI，

24

：.f-3t=±-t,

3

513

解得：oo(舍)或r=3或r=1,

,,>r।/

②当△Q/VW是以MQ为斜边的等腰直角三角形时，此时/MVQ=90°,MN=NQ,如图

3,

：A/Q〃x轴，

：.Q(,/-2t-3),

:・NQ=\t-尸#+4，

212

.•.，-34=利+4，

解得：片=0(舍)或U5或H2,

：.M3(5,2),Q(-5,12)；M4(2,-1),Q4(0,-3)；

③当△Q/W是以例/V为斜边的等腰直角三角形时,

此时N/WQA/=90°,MQ=NQ,如图4,

过点。作QH1MN于H,则MH=HN,

：.H(t,),

二Q(,),

:,QH=\t-|=3'+54，

o

♦:MQ=NQ,

:・MN=2QH,

：.\f-34=2X4，+54，

6

解得：H7或1,

：.M5(7,4),Q(-7,18)；M6(1,-2),Q6(0,-3)；

综上所述，点例及其对应点。的坐标为：

,；,；%(5,2),Q(-5,12)；伙

(2,-1),Q(0,-3)；Ms(7,4),。5(-7,18)；M6(1,-2),Q6(0,-

3).

图4

图3

图2

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函

数与二次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角

形性质等，本题属于中考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角

三角形性质等相关知识，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键.

2

2.(1)y=~x-x+2；(2)P(-p|)(3)存在，Q(-1,O),02(-5,O),

g(2+疗,0),Q(2-夜,0).

【解析】

【分析】

(1)根据待定系数法求抛物线解析式；

(2)设尸片-；产-全根据(1)的结论求得C的坐标，进而求得AC的解析式，过户作

轴交AC于点。，进而求得PD的长，根据求得SAPC的表达

式，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，f的值，进而求得P点的坐标；

(3)分情况讨论，①CM//AQ,②AO/MQ,根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先

求得M的坐标进而求得。点的坐标.

【详解】

(1)二次函数尸以2+区+2的图象与x轴交于A(-3,0),8(1,0)两点，贝IJ

JO=9a-36+2

[0—a+b+2

2

a=——

解得4

b=——

3

二抛物线解析式为y=-白72-白4+2

33

74

(2)抛物线y=—与y轴交于点C,令x=0,贝(]y=2

C(0,2)

设直线AC的解析式为＞="+/由4—3,0),C(0,2),

解得卜5

b=2

2

「•直线AC的解析式为.y=++2,

如图，过尸作轴交AC于点Q,

2、42

设则。”,,+2),

PD=--t2--t+2-(-t+2]^--t2-2t

3313J3

=gx(-|/-2f)x3一-3,=_1+|)+2

二当，=-；时，SA’C取得最大值,

此时一2/_d/+2=—2x

333

，「(-粉

(3)存在，理由如下

抛物线解析式为y=-3X+2=_g(x+iy+§

，抛物线的对称轴为直线X=1

①如图，当CM//AQ时，

。点在x轴上，CM//x轴

M,C关于抛物线的对称轴直线x=l对称，C(0,2)

.,.”(-2,2)

:.CM=2

*'•A。］=AQ2=2

A(-3,0)

••・2(-1,0),。2(-5,0)

②当AC〃例。时，如图，

设M的纵坐标为”,

四边形AC。”是平行四边形，点A,。在x轴上，则的交点也在x轴上，

•••巨0

2

解得n=-2

设"(见-2),

日224个

•.-2=—x—x+2

33

解得X=-1±A/7

.1.M(-l±5/7,-2)

A点到C点是横坐标加3,纵坐标加2

M点到。点也是横坐标加3,纵坐标加2

即0(-1土注+3,0)

.•.03(2+万,0),@(2-疗,0)

综上所述，存在点。，使得以A、aM、Q为顶点的四边形是平行四边形，。点的坐标为

e,(-1,0),e2(-5,0),Q式2+疗,0),©(2-⑺,0).

【点睛】

本题考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四

边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

3.(1)B2c2；(2)6或-6；(3)04最小值为1,相应的=6；04最大值为

2,相应的8c=

2

【解析】

【分析】

(1)结合题意，根据旋转和圆的性质分析，即可得到答案；

(2)根据题意，分8c在x轴上方和x轴上方两种情况；根据等边三角形、勾股定理、全

等三角形的性质，得AO=0O=也，从而完成求解；

2

(3)结合题意，得当AC'为。。的直径时，04取最小值；当A、B'、。三点共线时,

0A取最大值；根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，即可得到答案.

【详解】

(1)线段3G绕点力旋转得到的屏C：,均不能成为。。的弦

，线段8G不是。。的以点力为中心的“关联线段”；

••・线段员G是。。的以点力为中心的“关联线段”；

线段B3c3绕点、A旋转得到的B；C；,均不能成为。。的弦

，线段自&不是。。的以点力为中心的“关联线段”；

故答案为:B2c2；

(2)••・△力8。是边长为1的等边三角形，点力(0,r),。。的半径为1

8'C'〃x轴

分B'C'在x轴上方和x轴上方两种情况：

当B'C'在x轴上方时，8C'与〉轴相交于点见下图：

VOB'=OC=\

22

•••OD=y/OB'2-B'D-=—

2

V△48c是边长为1的等边三角形，即△ABC'是边长为1的等边三角形,

ZACD=ZOC'D,AD1B'C

•••/\AC'D^/\OC'D

n

•••AD=OD=—

2

AO=AD+OD=y/3

Z=A/3；

当在x轴上方时，B'C'与）'轴相交于点O,见下图：

AA(0,-^3)；

t=—yfii

=G或-石；

(3)当AC'为。。的直径时，Q4取最小值，如下图：

最小值为1,ZABV=90。

BC=BC=^AC'2-AB'2=A/3；

当A、B'、。三点共线时，OA取最大值，OA=AC=2,如下图：

作A£_LOC'交0C'于点£作a尸，4?交A0于点尸，如下图

OE=-OC'=-

22

•••AE=y/AO2-OE2=与

■：-AExOC'=2x-OB'xC'F

22

OF=JOC'2-C'产=-

3

・•・B'F=OB'-OF=±

4

BC=B'C'=yJCF2+B'F=—

2

，。4最小值为L相应的BC=6；。4最大值为2,相应的8C=4S.

2

【点睛】

本题考查了旋转、圆、等边三角形、勾股定理、全等三角形、等腰三角形的知识；解题的

关键是熟练掌握旋转、圆周角、等腰三角形三线合一、勾股定理的性质，从而完成求解.

4.(1)M(3,5),(2)C(f+5,3)；(3)5(20.0);(4)”或10.

24

【解析】

【分析】

(1)利用中点坐标公式计算即可.

(2)如图1中，作于E,CFJ_X轴于F.证明AMESwAfiFC(A4S),利用全等三

角形的性质即可解决问题.

(3)如图2中，存在.由题意当CF=Q4时，可证四边形AO5。是矩形，构建方程即可

解决问题.

(4)分三种情形：①如图3中，当AO=B。时，以A8为对角线可得菱形ADBN,此时点

N在y轴上.②如图4中，当AT>=AB时，以30为对角线可得菱形此时点N的

纵坐标为6.③因为MH/W,所以不存在以AO为对角线的菱形.

【详解】

图1

A(0,10),8(6,0),AM-BM,

(2)如图1中，作ME_LQB于E,C/_Lx轴于尸.

ME//OAfAM=BM,

:.OE=EB=-t,ME=-OA=5

22t

ZMEB=/CFB=/CBM=90°,

:.AMBE+ZCBF=90°,ZMBE+NBME=90。,

/.4BME=/CBF,

BM=BC,

:.AMEB=^BFC(AAS)t

.-.BF=ME=5,CF=BE=-t,

2

:.OF=OB+BF=t+5,

C(t+5,—/).

(3)存在.

如图2中，作MEJ.08于E,CF_Lx轴于尸.

图2

理由：由题意当5=04=10时，OAHCF,

.,•四边形AOFC是平行四边形，

ZAOF=90°,

••・四边形AOFC是矩形，

ZDAO=ZAOB=ZDBO=90°,

四边形AO3。是矩形，

又：由(2)得CF=BE=gf,

即：5=10,解得:t=20.

8(20,0).

(4)①如图3中，当AD=BD时，以A8为对角线可得菱形AD3N,此时点N在N轴

图3

AD=BD,

:.ZBAD=ZABD,

.8。/勺轴，

:.ZOAB=ZABD,

:.ZOAB=ZBAD.

/.tanZ.OAB=tanABAD,

OBBC1t1

/.——=——=-,即Hn一=:

OABA2102

・3=5,

.・.OB=5,谊AN=NB=m,

在用△08N中，则有机2=52+（10-桃）2,

25

解得r

2515

:.ON=OA-AN=iO——=—,

44

.••点N的纵坐标为?

4

②如图4中，当4)=4?时，以8。为对角线可得菱形AB/VD.此时点N的纵坐标为10.

图4

③BD不AB,...不存在以AO为对角线的菱形.

综上所述，满足条件的点N的纵坐标为二或10.

4

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，翻折变换，全等

三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

5.(1)证明见解析；(2)£心；⑶12

3-3x4

【解析】

【分析】

(1)如图，连接AC,证明VAC8,VAS都为等边三角形，可得AC=AZ),再证明

VACM也VADE,从而可得答案；

(2)如图，记47,8。交于点。，设。尸=4,0尸=6,四边形488为菱形，乙钻。=60。,

表示OA=@OB=@(a+与，利用"==乂则==言，再利用三角函数的定义可

得答案；

(3)如图，设Sv*””,证明V£>FESV3E4,孔的=彳，再表示

X

M2〃..>__nM

SvABG=S2二h7，SV4GF=Z_^',结合菱形的轴对称的性质可得：SvCBG=；表示5丫八“)二—，

3x~3x~3厂x

4nn

q—7+--几

可得SVB8=SVAM="+K，可得4t=3『x=-3/+3x+4,再利用二次函数的性质可得

XXd2

3?

答案.

【详解】

证明：(1)如图，连接AC,

菱形力8C。中，Z/5C=60°,

\AB=BC=CD=AD,?ABC?ADC60靶BAD=?BCD120靶BAC=?C4£>?ACB60?,

\VACB.VACD都为等边三角形，

AC=AD,

QDE=CM,?ACM?ADE60?,

\VACMADE,

\AM=A£,?MAC?EAD,

\?MAC?CAE?CAE?EAD60?,

/.AWE是等边三角形

(2)如图，记AC,8。交于点。，

设DF=a,OF=b,四边形A8CD为菱形，ZABC=60°,

\AC八BD,OB=OD=a+b,?ABO30?,

cDFa

Q-----=--------=x,

BFa+2b

,1a+2bi2b

\-=-------=1+—,

xaa

.b11a2x

'厂/5'则nil厂T7

G

nAa

\tan?AFB—

OF~b

G需2x_舟瓜

7卷+亡一"3-3x

(3)如图，设Sv〃"二〃,

四边形ABC。是平行四边形,

\7DFEEBFA,

\$7BFA

FG=2BG、

根据菱形的轴对称的性质可得：SVCBG=3,

3x~

Q八SvVAAF2D=-D--F--=X,

SvABFBF

c_n_n

SyJAFD~一~，

\SVBCD=SVABD{+5

nnnIn4nn

\工=一+~7-〃------------7=----〃，

xX23x23厂3x2x

4〃n

n

、S[13x2x

\——--------—=-3x2+3x+4,

n

s2

3x~

s

Qa=-3<0,所以拶•有最大值,

31

当x二----厂4二5时，最大值为：-3?-3?-4=—

m2?\)424

【点睛】

本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三

角形的判定与性质，列二次函数关系式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，灵活运

用以上知识解题是解本题的关键.

।q

6⑴尸丁、”4；⑵点咱坐标为：64)或(历八2717-2)

113石

⑶---------1---------———理由见详解.

NCMC20

【解析】

【分析】

(1)根据题意，先证明AAOCSACO3,得到=求出点46的坐标，然后利用

COOB

待定系数法，即可求出抛物线解析式；

(2)根据题意，可分为两种情况：MOCsAPQC或A4OCSACQP,结合解一元二次方

程，相似三角形的判定和性质，分别求出点户的坐标，即可得到答案；

(3)过点£作£八/。于/,EJLCN于J,然后由角平分线的性质定理，得到片口再证

阴xME5/\MNC、&NEMIXNMC、得到」一+「一=’-,然后求出£7一个定值，即可进

NCMCEI

行判断.

【详解】

解：(1)・••以为直径的圆过点C

「•乙力。?二90。，

•・•点。的坐标为(0,4),

^COA-AB.

「•乙/。仁乙。08二90。，

・♦・乙力CO+乙OCB=Z-ACO+40/090。,

乙OCB二4OAC,

・••MOCsACOB,

•AO_OC

'~cd~~OB'

vCO=4,AO+BO=AB=10,

・•.AO=10-OB,

10-OB4

/.------------=—,

4OB

解得：03=2或03=8,

经检验，满足题意，

・,OB＞OAt

•*-OB=8,

・•・点/为(-2.0),点8为(8,0).

设抛物线的解析式为y=o?+版+乙把点力、B、。三点的坐标代入，有

1

a=——

c=44

,3

-4a-2b+c=0,解得：＜h=—

2

64。+8〃+c=0

c=4

Ia

二抛物线的解析式为＞=-%2+聂+4；

(2)根据题意，如图：

当gOCs"QC时，

ZACO=ZPC2,

•・•ZACO+ZOCB=90°,

・•.NPCQ+NOCB=90。,

「•PCIoc,

•・•点户的纵坐标为4,

当y=4时，有一;丁+^X+4=4,

解得：占=6或%=0（舍去）；

」•点P的坐标为（6,4）；

当AAOCsACQP时，则此时8c垂直平分0a作PGLy轴，垂足为G,如上图,

ZCQP=ZAOC=90°,

:.ACHOP、

・•・乙AC8/-POG,

ZPGO=ZAOC=90°,

・••MOCsAPGO,

.AOPC

'~PG~~GO'

设点"为（%-^X2+|X+4）,

I3

**•PG=x,GO——x"H—x+4,

42

2_4

■■•^-_1%2+3X+4，

42

解得：x=±V17-1,

•・•点户在第一象限，

x=V17-l,

••」d+，+4=2折-2,

42

二点。的坐标为（如一1,2J万一2）；

综合上述，点户的坐标为：（6,4）或（旧-1,2V17-2）

（3）过点£作日，/1。于/,EJ1CN千J、如图：

・・・比是乙/C8的角平分线，

:,日二日、

-E///CN,EJ//CM,

:・XM日6MMNC、xNEWMNMC、

.EIMEEJNE

,EIEJMENE।

••----1----=-----1----=1,

NCMCMNMN

EIEIt

NCMC

111

••----1----=—,

NCMCEI

,：AACOSMA日、

,AIAO1

..—=-----=-,

EICO2

;AC=V22+42=25/5，

・•AC=AI+IC=AI+EI,

,245-El1

,---------——,

El2

解得：E[:也经检验，符合题意,

3

.1113石.

,-------1-----=----------/

NCMCEI20

••代+壶是一个定值・

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，求二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的

判定和性质，解一元二次方程，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握题

意，正确的作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题.

7.⑴①8；。；4；②1；(2)y=或y=-2x+4

【解析】

【分析】

(1)①根据“近点“、“远点“以及“特征数”的定义判断即可；

②过点。作直线“于点”，交。于点。，P.先分别求得点£尸的坐标，进而可

求得乐的长，再利用等积法求得生的长，进而即可解决问题；

(2)如图，先求得“近点”N到直线/的距离NH=1石，再由△AQBsAA/W即可求得答

案.

【详解】

解：(1)①由题意，点8是。关于直线，〃的“近点”，点。是O关于直线加的“远

八占、\”1

•・,点F的坐标为(0,3).。。的半径为1.

■■.OE=3,OB=OD=1,

BE=OE-OB=2,DB=OB+QD=2,

。关于直线团的特征数=D8.8E=2x2=4,

故答案为：8；。；4；

②如图，过点。作直线〃于点“，交,。于点。