四川省泸州市2021年中考数学试卷试题真题(含答案解析)

四川省泸州市2021年中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.）.（共12题；共36分）

1.2021的相反数是（）

A.-2。21B.2021C.表D.一表

【答案】A

【考点】相反数及有理数的相反数

【解析】【解答】解：2021的相反数是：-2021.

故答案为：A.

【分析】求一个数的相反数，就是在这个数的前面添上号，可得答案.

2.第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表示为

A.4.254X105B.42.54x105C.4.254x106D.0.4254x107

【答案】C

【考点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将4254000用科学记数法表示是4.254x106.

故答案为：C.

【分析】根据科学记数法的表示形式为：axlO。，其中k|a|<10,此题是绝对值较大的数，因此n=

整数数位

3.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

【答案】D

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意;

圆柱的主视图是矩形，不符合题意；

圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；

球体的主视图是圆，符合题意；

故答案为：D.

【分析】主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，观察几何体可得答案.

4.函数y==的自变量X的取值范围是（）

A.x<lB.x>lC.x<lD.x>l

【答案】B

【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，函数自变量的取值范围

【解析】【解答】解:由题意得,X-120且X-1H0,

解得x>l.

故答案为：B.

【分析】观察含自变量的式子是分式和二次根式，因此被开方数大于等于0且分母不等于0,列出不等式

组，然后求出不等式组的解集.

5.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分NBAD且交BC于点E,ZD=58°,则NAEC的大小是（）

A.61°B.109°C.119°D.122°

【答案】C

【考点】平行四边形的性质，角平分线的定义

【解析】【解答】解：...四边形ABCD是平行四边形

AB“CD,ADi]BC

ZBAD=180°-4=180°-58°=122°

,/AE平分NBAD

••〃4E="B4D"X122。=61°

AD“BC

•••ZAEC=1800-ZDAE=180°-61°=119°

故答案为：C.

【分析[利用平行四边形的性质可证得ABHCD,ADIIBC,利用平行线的性质求出NBAD,再利用角平分

线的定义求出NDAE的度数；再利用平行线的性质可求出NAEC的度数.

6.在平面直角坐标系中，将点A（-3,-2）向右平移5个单位长度得到点B,则点B关于y轴对称点g的坐

标为（）

A.（2,2）B.（-2,2）C.（-2,-2）D,（2,-2）

【答案】C

【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征，用坐标表示平移

【解析】【解答】解：点AG3,-2）向右平移5个单位长度得到点B（2,-2）,

点B关于y轴对称点B'的坐标为（-2,-2）,

故答案为：C.

【分析】利用点的坐标平移规律：上加下减（纵坐标），左减右加（横坐标），可求出点B的坐标；再

利用关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得点&的坐标.

7.下列命题是真命题的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】B

【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，真命题与假命题

【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意；

B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意；

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意；

故答案为：B.

【分析】利用正确的命题是真命题；利用平行四边形的判定定理，可对A作出判断；利用矩形的判定定

理可对B作出判断；利用菱形的判定定理可对C作出判断；利用正方形的判定定理，可对D作出判断.

8.在锐角△ABC中，ZA,ZB,NC所对的边分别为a,b,c,有以下结论：-二=』-=」-=2R（其中

sinAsinBsinC

R为△ABC的外接圆半径）成立.在△ABC中，若NA=75。，NB=45。，c=4,则△ABC的外接圆面积为（）

A.—B.—C.16兀D.647r

33

【答案】A

【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解直角三角形

【解析】【解答】解:方法一：NA=75。，NB=45。，

ZC=180°-ZA-ZB=1800-75°-45o=60°,

ccc448旧

有题意可知2区=赤=嬴而二=页=m，

2

R3

•.5行兀/?2=92=兀苧2=等

方法二：设△ABC的外心为。，连结OA,0B,过。作OD_LAB于D,

A\.D/B

-：ZA=75°,ZB=45°,

ZC=1800-ZA-ZB=180--75'-45°=60°,

ZA0B=2ZC=2x60°=120°,

OA=OB,

ZOAB=NOBA=i(180°-120°)=30

OD±AB,AB为弦，

AD=BD=-AB=2,

2

AD=OAcos30°,

OA=AD+cos30°=2^—=—,

23

S网=TtR2=TtOA2=?r（^-^）2=.

、3，3

故答案为：A.

【分析】法一：利用三角形的内角和定理可求出NC的度数，然后代入可求出R的值；然后利用圆的面积

公式可求出结果；法二：设△ABC的外心为。，连结OA,0B,过。作ODLAB于D,利用圆周角定理求

出NAOB的度数，即可求出NOAB的度数，利用解直角三角形求出AD的长及0A的长；然后利用圆的面

积公式可求解.

222

9.关于x的一元二次方程x+2mx+m.m=0的两实数根Xi，X2，满足xiX2=2，则金1+

2）金22+2）的值是（）

A.8B.16C.8或32D.16或40

【答案】C

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【解答】解：一元二次方程产+2mx+nt?_巾=o

a=l,b=2m,c=m2-m

2

xrx2=^=m—m=2

m2—m—2=0

•••（77i—2）（m+1）=0

m=2或m=—1

当m=2时，

原一元二次方程为/+4*+2=0

Xi+x2=~~=-2m=—4,

2Xx2

•••（xl+2）（芯+2）=（/x2）+2（I+芯）+4，i+嘘=（刈+x2）-2%jx2

xx

•••（好+2）（蟾+2）=（/x2，+2（%i+小）2-4i2+4

=22+2x（一4）2—4x2+4

=32

2

当m=-1时，原一元二次方程为X-2X+2=0

74=（-2）2-4x1x2=-4<0

原方程无解，不符合题意，舍去，

故答案为：C.

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可求出两根之积为2,建立关于m的方程，解方程求出m

的值；分别将m的值代入方程，可求出方程的两根之和和两根之积；然后将代数式转化为含有两根之和

和两根之积的代数式，整体代入求值即可.

10.已知10a=20,100b=50,则9a+b+l的值是（）

59

A.2B.-C.3D.-

22

【答案】c

【考点】同底数幕的乘法，暴的乘方

【解析】【解答】解:10。=20,1008=50,

a6a+2b3

1.10-100=10=20x50=1000=10，

Q+2b=3,

|a+h+|=i(a+2b+3)=|(3+3)=3.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件求出a+2b的值，再将代数式转化含a+2b的代数式；然后整体代入求值.

11.如图，QO的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，DE与。。相切于点E,并与AM,BN分别相

交于D,C两点，BD,0c相交于点F,若CD=10,则BF的长是

9999

【答案】A

【考点】切线的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形全等的判定(AAS)

【解析】【解答】解：过点D作DGLBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,

•「AM,BN是它的两条切线，DE与。。相切于点E,

AD=DE,BC=CE,ZDAB=ZABC=90°,

DG±BC,

.•・四边形ABGD为矩形，

AD=BG,AB=DG=8,

在R3DGC中，CD=10,

GC=y/CD2-DG2=V102-82=6，

,/AD=DE,BC=CE,CD=1O,

CD=DE+CE=AD+BC=10,

AD+BG+GC=10,

・•.AD=BG=2,BC=CG+BG=8,

•「ZDAB=ZABC=90°,

ADIIBC,

..ZAHO=ZBCO,ZHAO=ZCBO,

OA=OB,

△HAO之△BCO,

AH=BC=8,

AD=2,

HD=AH+AD=10；

在ABD中，AD=2,AB=8,

BD=-JAB2^AD2=V82+22=2g，

ADIIBC,

△DHF〜△BCF,

.DHDF

••=，

BCBF

.102\fl7-BF

••—=------,

8BF

解得，BF=见上.

9

故答案为：A.

【分析】过点D作DG_LBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,利用已知易证四边形ABGD是矩形，

利用矩形的性质可得到AD=BG,AB=DG=8,利用勾股定理求出CG的长；再根据CD=10,可求出BC的长；

利用AAS证明△HAO2△BC。，利用全等三角形的对应边相等，求出AD,HD的长；然后利用勾股定理求

出BD的长，由ADIIBC,可证得△DHF-*BCF,利用相似三角形的性质可求出BF的长.

12.直线I过点(0,4)且与y轴垂直，若二次函数=r)2C)\)222+(其中

yx-a+x-z2ax-oa-aa

X是自变量)的图象与直线I有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是()

A.a>4B.a>0C.0<a<4D.0<a<4

【答案】D

【考点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用

【解析】【解答】解：..,直线I过点(0,4)且与y轴垂直，

直线I：y=4,

y=(x—a)2+(x-2a/+(x-3a)2—2a2+a=3x2—12ax+12a2+a，

3x2-12ax+12a2+a=4,

・•・二次函数y=(x-a)2+(x-2a)2+(x-3a)2-2a2+a(其中x是自变量)的图象与直线I有两个

不同的交点，

A=(-12a)2-4x3x(12a2+a-4),

=-12a+48>0,

a<4,

又对称轴在y轴右侧，

a>0,

0<a<4.

故答案为：D.

【分析】利用已知可求出直线I为y=4；将y=4代入函数解析式，可得一元二次方程，再根据二次函数的

图象与直线I有两个不同的交点，可知b2-4ac>0,建立关于a的不等式，求出不等式的解集；然后根据对

称轴在y轴右侧，可知x>0可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，即可得到a的取值范围.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分).(共4题；共12分)

13.分解因式：4-4m2=,

【答案】4(l+m)(l-m)

【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】解：4—4m2=4(1—m2)=4(1+m)(l—m).

故答案为：4(1+m)(l—m).

【分析】观察次多项式的特点：含有公因式4,因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.

14.不透明袋子重病装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出

一个球，则摸出红球的概率是.

【答案】;

【考点】概率的简单应用

【解析】【解答】解:根据题意，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是,

故答案为：7.

4

【分析】由题意可知一共有12种结果数，但摸出红球的的情况有3种，然后利用概率公式进行计算，可

求解.

15.关于x的不等式组(2x-3>?恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是________.

x-2a<3

【答案】0<aW]

【考点】解一元一次不等式组

【解析】【解答】解：J'—

x-2a<3(g)

解①得x>|,

解②得x<3+2a,

不等式组的解集是|<x<3+2a.

不等式组只有2个整数解，

・••整数解是2,3.

则3<3+2aW4,

,,0<Cl-2

故答案是：0<a<：

【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，根据不等式组有2个

整数解，可得到a的取值范围.

16.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3BF,AE,BF相交于点

G,则△AGF的面积是.

【答案】I

【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定（ASA）

【解析】【解答】解：延长AG交DC延长线于M,过G作GH_LCD,交AB于N,如图,

•.•点E为BC中点，

BE=CE,

在会ABE和^MCE中，

ZABE=ZMCE

{BE=CE，

NAEB=ZMEC

△ABE合△MCE(ASA),

AB=MC=4,

CF=3DF,CF+DF=4,

DF=1,CF=3,FM=FC+CM=3+4=7,

ABIIMF,

ZABG=ZMFG,ZAGB=ZMGF,

△ABG-△MFG,

力B_GN_4

MF~GH~7'

GN+GH=4,

GN=M.号

SAAFG=SAAFB-SAAGB=\AB-HN-\AB-GN=1x4x4-|X4x,

故答案为g.

【分析】延长AG交DC延长线于M,过G作GH_LCD,交AB于N,利用线段中点的定义可证得BE=CE,

利用ASAS证明△ABE2AMCE,利用全等三角形的性质可求出MC的长，由此可求出MF的长；再证明

△ABG-AMFG,利用相似三角形的性质可证得对应边成比例，即可求出GN,GH的长；然后利用三角形

的面积公式，根据SAAFG=SAAFB-SAAGB，代入计算，可求出AAGF的面积.

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.（共3题；共14分）

17.计算：（竿）。+分1.（_4）+2bcos30。.

【答案】解：（F）°+-（一4）+2V3cos30°

=1+4+4+2次x1

=1+4+4+3

=12.

【考点】实数的运算，0指数基的运算性质，负整数指数塞的运算性质，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先算乘方运算，同时代入特殊角的三角函数值；再算乘法运算，然后利用有理数的加法

法则进行计算.

18.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.求证：BD=CE.

【答案】解：在AABE与4ACD中,

{AB=AC,

/B=/C

ACD空△ABE(ASA),

AD=AE（全等三角形的对应边相等），

AB-AD=AC-AE,

即：BD=CE.

【考点】全等三角形的判定与性质

【解析】【分析】首先利用ASA判断出AACD2AABE,根据全等三角形的对应边相等得出AD=AE,然

后根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE.

19.化简：Q+必）+皿.

a+2a+2

【答案】解:（。+黄）+会

,a2+2a,1-4。、a-1

=

_a2-2a+l.a-1

a+2'a+2

_（a-1）2a+2

a+2a-1

=a—1.

【考点】分式的混合运算

【解析】【分析】先将括号里的分式通分计算，再将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简.

四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.（共2题；共14分）

20.某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品.为了解该农副产品在一个季度

内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作为样本，数据如下：

16141317151416171414

15141515141612131316

（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；

（2）上述样本数据的众数是,中位数是；

（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额.

【答案】（1）根据所给的20个数据得出：

销售额是14万元的有6天；

销售额是16万元的有4天；

补全条形统计图如下:

（2）14万元；14.5万元

（3）20天的销售额的平均值为：12X1+13X3±14X6+15X4*16X4+17X2_]4,65（万元）

1+3+6+4+4+2

所以，可以估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额为14.65万元.

【考点】条形统计图，加权平均数及其计算，中位数，众数

【解析】【解答]解：（2）在数据：16,14,13,17,15,14,16,17,14,14,15,14,15,15,14,

16,12,13,13,16中，

销售额是14万元的最多，有6天，故众数是14万元；

将数据按大小顺序排列，第10,11个数据分别是14万元和15万元，

所以，中位数是：岩兰=14.5（万元）；

故答案为：14万元，14.5万元；

【分析】（1）利用已知数据进行统计，可得到销售额是14万元的有6天；销售额是16万元的有4天；

再补全条形统计图.

（2）求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）

为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据。就可得出答案.

（3）利用平均数公式进行计算，可求出平均每天的销售额.

21.某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车

一次可以运货160吨.

（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货

车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输

方案，并指出哪种运输方案费用最少.

【答案】（1）解：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，

根据题意可得：请;对二黑，

解得：$或，

答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨;

(2)解：设安排A型车m辆，B型车n辆，

依题意得：20m+15n=190,即m=生网,

4

又•「m,n均为正整数，

共有3种运输方案，

方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；

方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；

方案3：安排A型车2辆，B型车10辆.

方案1所需费用：500X8+400X2=4800(70);

方案2所需费用：500X5+400X6=4900(元);

方案3所需费用：500X2+400X10=5000(元)；

•••4800<4900<5000,

，安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元.

【考点】二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用-和差倍分问题

【解析】【分析】(1)抓住已知条件：3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨；5辆A货车与4辆

B货车一次可以运货160吨：据此设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.

(2)利用已知条件：目前有190吨货物需要运输，设未知数，建立二元一次方程，再求出二元一次方程

的整数解，可得到运输方案；再分别求出每一种方案所需的费用，比较大小可得最省钱的运输费.

五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.(共2题；共16分)

22.一次函数y=kx+b(k#0)的图象与反比例函数y=m的图象相交于A(2,3),B(6,n)两点

X

(1)求一次函数的解析式

(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线I,I与两坐标轴分别相交于M,N,与反比例函数的

图象相交于点P，Q,求段的值

MN

【答案】(1)解：.♦.反比例函数y=7的图象过A(2,3),

m=6,

6n=6,

n=l,

B(6,1)

一次函数y=kx+b(kxO)的图象与反比例函数y=|的图象相交于A(2,3),B(6,1)两点，

6fc4-h=1

2/c+b=3

,__i

解得f_-2,

b=4

一次函数y=-|x+4.

(2)解：直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线I,得丫=-1x-4,

当y=0时，—|x-4=0,x=—8,当x=0时，y=-4,

M(-8,0),N(0,-4),

1.

y=—%—4

{晨，

y=或

消去y得/+8%+12=0,

解得%i=-2,X2=-6,

解得菜二〉第二：,

P(-6,-1),Q(-2,-3),

在RtAMON中，

MN=yJOM2+ON2=4V5，

PQ=7(-2+6)2+(-1+3)2=2V5,

.PQ_2A/5_1

一MN~4V5-2-

【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理

【解析】【分析】(1)利用点A的坐标，可求出反比例函数解析式；再利用反比例函数解析式求出n的

值，可得到点B的坐标；然后分别将点A,B的坐标代入一次函数解析式，建立关于k,b的方程组，解方

程组求出k,b的值，可得一次函数解析式.

(2)先求出直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线1,求出当y=0时的x的值，当x=0时的y的值，

可得到点M,N的坐标；再将直线I和反比例函数联立方程组，求出方程组的解，可得到点P,Q的坐标，

再利用勾股定理求出MN,PQ的长；然后求出PQ与MN的比值即可.

23.如图，A,B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得

C点位于观测点A的北偏东45。方向上，同时位于观测点B的北偏西60。方向上，且测得C点与观测点A的

距离为25V2海里.

（1）求观测点B与C点之间的距离；

（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求救信号

后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间.

【答案】（1）解：过C作CFLBD,交DB延长线于F,

C

在RtAACE中,

AE=CE=ACsin45°=25V2Xy=25（海里）,

在RtABCE中，

BE=VBC2-CE2=25V3（海里），

BC=2CE=50（海里），

观测点B与C点之间的距离为50海里;

（2）解：VCE±AB,CF±BD,NFBE=90。，

四边形BFCE为矩形，

二CF=BE=25V3（海里），BF=CE=25（海里）,

在RtACDF中，CF=25V3（海里），DF=55（海里），

22（）2（海里）,

CD=VCF+DF=12542+55=70

救援船到达C点需要的最少时间为患=胃（小时）.

【考点】勾股定理的应用

【解析】【分析】（1）过C作CE_LAB于E,过C作CF_LBD,交DB延长线于F,利用垂直的定义及矩形

的判定定理，可证得四边形BFCE为矩形，利用矩形的性质可求出CF,CE的长；同时可求出AC的长和

ZCAE,NCBE的度数；再利用解直角三角形求出CE的长，即可求出BC的长.

（2）过C作CE_LAB于E,过C作CF_LBD,交DB延长线于F,利用垂直的定义及矩形的判定定理，可证

得四边形BFCE为矩形，利用矩形的性质可求出CF,CE的长；在RtACDF中，利用勾股定理求出CD的长，

从而可求出救援船到达C点需要的最少时间.

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.（共2题；共24分）

24.如图，AABC是。。的内接三角形，过点C作。。的切线交BA的延长线于点F,AE是。。的直

径，连接EC

（1）求证：4kCF="B；

（2）若AB=BC,ADJ_BC于点D,FC=4,FA=2,求AD-AE的值

【答案】（1）证明：连接。。

FC是。0的切线，AE是。0的直径，

NOCF=ZACE=90°,

・•.ZACF+ZACO=NECO+ZACO=90°

••・ZACF=NECO

又「OE=OC

NOEC=NECO

根据圆周角定理可得：ZOEC=NB

NB=/ECO,

ZACF=/B.

（2）解：由（1）可知ZACF=ZB，

,ZAFC=NCFB

△AFC-△CFB

竺一丝

'FB~FC

pc2

・FB=—,

FA

,FC=4,FA=2f

・•.AB=FB-AF=8-2=6

AB=BC=6

又LAFC〜4CFB中，铝=

_FABC_2X6_

一FC-4一

如图示，连接BE

ZACD=ZAEB,ZADC=ZABE=90°

△ACDAEB

ADAC

ABAE

AD-AE=AB-AC=6x3=18.

【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接OC,利用切线的性质和圆周角定理可证得NOCF=NACE=90。，利用余角的性

质可证NACF=NEC。，利用等腰三角形的性质及圆周角定理，可证得结论.

（2）利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得AAFO△CFB,利用相似三角形的性质可求出FB

的长，从而求出AB的长，即可得到BC的长；连接BE,利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得

△ACD-△AEB,利用相似三角形的性质可求出ADAE的值.

25.如图，在平面直角坐标系x°y中，抛物线丫=_12+1+4与两坐标轴分别相交于A，B,C三点.

(1)求证：ZACB=90°

(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点F

①求DE+BF的最大值

②点G是AC的中点，若以点C,D,E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标.

【答案】(1)证明：令x=0,得y=4

•••C(0,4)

令y=0得

13

--X2++4=0

42

・•・%2—6%—16=0

(%-8)(%+2)=0

:.4(-2,0),B(8,0)

AB=10,AC=J(0+2-+(4-0)2=2底BC=J(8—0—+(0-4尸=4A/5

v102=(2V5)2+(4>/5)2

・•.AB2=AC2+BC2

・・・ZACB=90°

(2)解：①设直线BC的解析式为：y=kx+b(k^0),代入B(8,0),C(0,4)得

(8k+b=0

Ib=4

1

b=4

1

•••y=--x+4

设D(x,-^x2+|x+4)

131、1

BF=Q—x,DE=—7+5%+4_(z―]%+4)=—9+2%

1

・•・DE_1_FF=--%924-2%4-8—%

=~-rX2+X+8

4

=一*2)2+9

1

1

--(X-2)2+9<9

DE+BF<9

即DE+BF的最大值为9；

②•・•点G是AC的中点，

在Rt△AOC中，0G=\AC=AG=V5

即AAOG为等腰三角形，

•••ZCAO+ZACO=