数学-2022年高考押题预测卷01（北京卷）（全解全析）

绝密I启用前

2022年高考押题预测卷01(北京卷)

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.设集合4={划―2＜》＜4},8={2,3,4,5),贝1」4口8=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4)D.{2,3,4}

2.已知aeR,(l+ai)i=3+i(，为虚数单位)，则a=()

A.-1B.1C.-3D.3

3.若(》+36的展开式中的常数项为—20,则a=()

X

A.2B.-2C.1D.-1

22

4.已知K，鸟是楠圆C:]+Y=l的两个焦点，点M在C上，则|班|・|m|的最大值

为()

A.13B.12C.9D.6

5.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,4),则下列结论中不正确的是()

A.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

6.记S,,为等比数列｛%｝的前八项和.若$2=4,S,=6,则$6=()

A.7B.8C.9D.10

7.等比数列他“｝的公比为q,前〃项和为5”.设甲：q>0,乙：｛S.｝是递增数列，贝1(

)

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知函数/（犬）=丁+1,g（x）=sinx,则图象为如图的函数可能是（）

4

9.牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规

律.如果物体的初始温度为7；,则经过一定时间f分钟后的温度T满足T-q=（'"（7；-（）,

其中（是环境温度，人为常数.现有一个105°C的物体，放在室温15°C的环境中，该物体温

度降至75。。大约用时1分钟，那么再经过加分钟后，该物体的温度降至30℃,则m的值

约为（）（参考数据：/g2ao.3010,/g3»0.4771.）

A.2.9B.3.4C.3.9D.4.4

10.对任意meM,若递增数列｛〃“｝中不大于2nl的项的个数恰为加，且4+4+…+4=I。。，

则〃的最小值为（）

A.8B.9C.10D.11

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知双曲线C:工-产=1（机＞0）的一条渐近线为Gx+3=0,则c的焦距为.

m

12.己知平面向量。=（6,-1）,单位向量万满足|6『=1/+3,则向量力与5夹角为.

13.请举出一个各项均为正数且公差不为0的等差数列｛〃“｝,使得它的前〃项和S“满足:

数列｛/；｝也是等差数列，则勺=—.

14.函数/（犬）=|2工-1|-2//11-的最小值为.

15.设棱长为2的正方体A88-A8CA，£是4）中点，点V、N分别是棱Afi、C.D,

上的动点，给出以下四个结论：

①存在EN//MG；②存在平面ECG；③存在无数个等腰三角形项W；④三棱锥

C-MVE的体积的取值范围是[2,1].则所有结论正确的序号是

33

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（13分）在AABC中，“sinC+c8sA=0.

（I）求/4；

（II）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使A4BC存在且唯一

确定，求AABC的面积.

条件①：b=JEc；

条件②：sinB=@^；

10

条件③：a=V10.

17.（13分）如图，在四棱锥P-加8中，底面488是平行四边形，ZABC=120°,AB=\,

BC=4,PA=屈,M,N分别为3C,PC的中点，PDLDC,PM1.MD.

（I）证明：AB±PM；

（II）求直线4V与平面PDW所成角的正弦值.

18.(14分)调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝、分析、鉴定、研发，

周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出〃瓶外观相同但

品质不同的调味品让他品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘

之后，再让其品尝这〃瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，称这个过程为一轮测试.根

据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.

现设〃=4,分别以《，/，右，4表示第一次排序为1，2,3,4的四种调味品在第二次

排序时的序号，并令X=(1-41+12-%|+|3-%1+|4-q|，则X是对两次排序的偏离程度

的一种描述(如：若第二次排序的序号为1,3,2,4,则X=2).

(1)假设4,%,生，%的排列等可能为1，2,3,4的各种排列，求随机变量X的分布

列和数学期望；

(2)某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X,,2,贝!］：

①假设各轮测试相互独立，试按(1)的结果，计算出现这种情况的概率；

②请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何，并说明理由.

19.(15分)设函数5(幻=/+/n/”(x+l)(»iwR).

(1)若，〃=—1,

①求曲线f(x)在点(0,7(0))处的切线方程；

②当X€(l,+oo)时，求证：/(X)<X3.

(2)若函数f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.

20.(15分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),8(2,0),焦点在x轴上，离心率为也.

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y=Z（x-l）（Z关0）与x轴交于点P,与椭圆C交于M,N两点，线段A/N的垂

直平分线与x轴交于Q，求“乂的取值范围.

PQ

21.（15分）设m为正整数，若无穷数列｛%｝满足|a*+/=|a*+“（i=l,2....m；k=\,

2,...），则称｛q｝为片数列.

（1）数列｛〃｝是否为6数列？说明理由；

（2）已知其中s,/为常数.若数列｛/｝为只数列，求s,，；

匕〃为偶数，

（3）已知〃数列｛”"｝满足q<0,4=2，a6k<a6k+6（k=\,2,求4.

2022年高考原创押题预测卷01【北京卷】

数学•全解全析

一.选择题(共10小题，满分4()分，每小题4分)

12345678910

BCDCDABDBC

1.【解析】•.•A={x|-2<x<4},8={2,3,4,5),

..40|8={幻-2<》<4}。1{2,3,4,5}={2,3}.

故选：B.

2.【解析】因为(l+r3=3+l,即一a+i=3+i,

由复数相等的定义可得，-a=3,即。=-3.

故选：C.

3•【解析】展开式的常数项为C；x3(q)3=c•初3=_20,

X

解得。=—1,

故选：D.

4.【解析】£,乃是椭圆C:]+(=l的两个焦点，点M在C上，|M£|+|MEI=6,

所以|河砌.|河名|,,(世”号"之)2=9,当且仅当|岫|=|帆|=3时，取等号，

所以|“耳|•|M玛|的最大值为9.

故选：C.

5.【解析】因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,/),

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差/越小，则分布越集中，

对于A,b越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率

越大，故选项A正确；

对于8,测量结果大于10的概率为0.5,故选项8正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，

故选项C正确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,10.3)分

布在10附近的区域，

故测量结果落在(9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率，故选项。错误.

故选：D.

6.【解析】：S“为等比数列｛4“｝的前"项和，$2=4,54=6,

由等比数列的性质，可知$2，S-2,$6-S,成等比数列，

/.4,2,$6—6成等比数列，

2

.-.2=4(56-6),解得$6=7.

故选：A.

7.【解析】若4=-1,q=l,则S,,=〃4=-〃，则｛SJ是递减数列，不满足充分性；

i-q

则5用=4(1-/“)，

1-4

，s,「s”=白qy)=。小

i-q

若｛S.｝是递增数列，

；S“+「S”=*>0,

则q>0,q>0,

满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

8.【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，

因为/(x)=Y+，为偶函数，g(x)=sinx为奇函数，

4

函数y=/0)+80)-！=工2+§后工为非奇非偶函数，故选项A错误；

4

函数y=/O)-g(x)-'=x2一sinx为非奇非偶函数，故选项3错误；

4

函数y=fMgM=(x2+；)sinx,贝!Jy=2xsinx+(x2+；)cosx>0对XG(0,^-)恒成立,

则函数y=f(x)g。)在(0,为上单调递增，故选项C错误.

4

故选：

1111?

9.【解析】由75-15=(—)l(105-15),有(一尸=一,

223

I™1™1?1

又30-15=(5/<75-15),有(5)"=［，即(?"=4，

21

^\mlg-=lg-,

Tg42妒

解得m=*3.4

欣2-欣3lg3Tg2

故选：B.

10•【解析】由递增数列｛《｝中不大于2m的项的个数恰为m可知4,2〃,

又4+a,+,••+a“=100,故2+4+6+••♦+2”..100,

O..(2+2n)n版殂-11,401寸—1+J401

即-.....-..100,解得〃，--------或n..：--------------,

222

又〃GN”,故〃的最小值为10.

故选：C.

填空题(共5小题，满分25分，每小题5分)

11•【解析】根据题意，双曲线C：H-V=l(m>0)的一条渐近线为百x+my=0,

m

m

则有=y/nt，解可得帆

耳=3,

则双曲线的方程为]一9=],贝|」。=历7=2,

其焦距2c=4；

故答案为：4.

12.【解析】设向量〃与5夹角为。，滕上4，

・・•平面向量。=(0，-D，单位向量5满足|5F=M.5+3,

/.|a\=29|Z?|=1,1=2x1xcosO+3,

/.cos^=-l,：.。=兀,

故答案为：71.

【解析】当为=〃时为等差数列，此时:(1+j二D

13.2-1S„==n2

则后=〃也是等差数列，满足题意.

故答案为：2n—1.

14.【解析】法一、函数/(工)=|2工一1|一2加:的定义域为(0,田).

当0<x,g时，f(x)=|2x-11-2lnx=-2x+1-2lnx,

此时函数f(x)在(0,f上为减函数，

当%>耳时，/(x)=|2x-11-21nx=2x-\-21nx,

则尸(X)=2_2=2(匕D,

XX

当xe(；,1)时，f\x)<0,/(x)单调递减，

当xe(I,e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

•."(x)在(0,+oo)上是连续函数，

.•.当xe(O,l)时，f(x)单调递减，当xe(l,+oo)时，/(x)单调递增.

.,.当x=l时/(x)取得最小值为/(1)=2x1-1—2加1=1.

故答案为：1.

法二、令g(x)=|2x-l|,h(x)=2lnx,

分别作出两函数的图象如图：

故答案为：1.

15.【解析】对于①：取3c中点P,当点N在。G上移动时，直线ENu平面EPGR,

同时当点M在直线钻上移动时MGu平面A3GR,

因为EPCQCABCR=CR,故目V与MG不可能平行，①错误.

对于②：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

所以E(l,0,0),C(0,2,0),G(0,2,2),

设N(0,a,2)(0<a<2),M(2,b,0)(0<6<2),

所以方=(-1,2,0),西=(0,0,2),两=(2,0-a,-2),

设平面ECG的法向量为万=(x，y，z),

„.\n-EC=0,f-x+2y=0.

则1)___,即ar彳'，令y=l,得x=2,z=0,

n-CC,=012z=0

所以为=(2,1,0),

所以NA/-〃=4+a-0w0,故MN与平面ECQ不垂直，②错误.

对于③：令|福|=|而，|,即7(l-0)2+(0-a)2+(0-2)2="(2-0)2+(》_°)2+(0—2)2,化

简得。?—2ab+3=0,

即2a=/?+-,2ae(0,4),Z?+-..2>/3,

bb

因为26<4,所以该式在0<a<2,0<6<2的范围中存在无数组解，

故说明有无数组a与匕可使I淞|=|协7|,故③正确.

对于④：根据等体积性质可知VC_NME=VN.CME，

所以该三棱锥高可以看作CC「

所以体积的取值范围即底面积”c处的取值范围，

根据点M位置的变化可知，当点”在A点时SMME最小，

当点M在8点时SACME最大，计算得2],

9

VN-CME=3CC},SACME=qSACME

OA一

所以，故④正确・

故答案为：③④.

三.解答题（共6小题，满分85分）

16•【解析】（I）因为asinC+ccosA=0,

所以由正弦定理可得sinAsinC+sinCeosA=0,

因为sinCH0,

所以sinA+cosA=0,即tanA=—1,

因为Aw（0,%）,

则5

（n）若选择②③，

由正弦定理，一=〃一,及a=®,sin8=®,得厘-=3,所以b=&,

sinAsinB10sin—V10

4To-

因为NA=%，所以JB£（O,2），/.cosB=yJ]-sin2B=,

4410

sinC=sin（A+5）=sinA8s5+c°sAsin小与亚-旦叵=正,

2102105

所以5.VIBC=—a^sinC=—XV10x5/2x—=1.

Ml>c225

若选择①③，

由余弦定理得/=从+/-2机,cosA,及6=亚（•，得10=2/+。2-20,2、J,解得c=收，

2

所以人=2,所以应度=gbcsinA=；x2x0x¥=1.

17.【解答】（I）证明：在平行四边形AB8中，由已知可得，CD=AB=\,

CM=-BC=2,ZDCM=60°,

2

由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2-2CDxCMxcos60°

=l+4-2xlx2x—=3,

2

则Cr>2+OM2=1+3=4=CM2,即CDW

又PDLDC,PD^\DM=D,平面PDA/,

而AWu平面PDM,:.CDYPM,

.CD//AB,:.AB±PM；

(II)ft?：由(I)知，8_L平面PDM,

又CDu平面ABCD,平面ABCD1.平面PDM,

且平面A88C平面PDM=DM,

•：PMVMD,且PMu平面PZW,.平面MCD,

连接AM,则

在AAW中，AB=\,BM=2,NAB"=120。，

可得A"=1+4-2x1*2x(—g)=7,

又PA=JF,在RtAPMA中，求得PMu^PA2-MA°=2&,

取AD中点£,连接ME,则MEV/CZ),可得ME、MD、MP两两互相垂直，

以M为坐标原点，分别以MD、ME、MP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则4-百,2,0),尸(0,0,2伪,C(百,-1,0),

又N为PC的中点，—,•^2)1AN——-,-^2),

2222

平面PDM的一个法向量为”=(0,1,0),

设直线4V与平面PDM所成角为0,

5

|丽•方|叵

则sin0=|cos<AN,n>|=2

丽・用不4

故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为姮

18.【解析】(1)X的可能取值为0,2,4,6,8.

由1,2,3,4的全排列为4!=24个，

---列出可得：P(X=0)=—,4,a2,a3,g的排列只能为1,2,3,4.

3

P(X=2)=—,4,a2,处,包的排列只能为1,2,4,3；1,3,2,4：2,1,3,4.

794

同理可得：尸(X=4)=—，P(X=6)=—，尸(X=8)=—.

242424

可得分布列:

X02468

P13794

2424242424

13794

凤X)=0x——+2x—+4x——+6x——+8x—=5

2424242424

i31

(2)①由(1)可得：尸(X,,2)=尸(X=0)+P(X=2)=—+—=—.

24246

1_1

进行的三轮测试中都有X,,2的概率记做p,由假设各轮测试相互独立，可得：p=

F-216-

②由_L〈工是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试中，都有X,,2的

2161000

结果可能性很小，所以我们认为品评师的品味鉴别能力很强，不是靠随机猜测.

12r24-2r—1

19.【解析】(1)①当相=一1时，/(x)=x2-ln(x+1),f\x)-2x-----=-------——，

x+1x+1

/X0)=-l,/(0)=0,

可得曲线/(幻在(0,/(0))处的切线方程y—0=—l(x—0),即x+y=0；

②证明：令h(x)=f(x)-x3=-x3+x2-ln{x+1),则h\x)=-3x2+2x----=-_11.

x+1x+\

当X£(l,+8),hf(x)<0,〃*)在(L+co)上单调递减,

又因为〃(1)=-Iril<0,所以〃(x)<0,即一历(x+1)v“3,即/(为</,

即当X£(l,+oo)时,/(X)<X3;

(2)由函数/(工)=工2+m/〃(x+l),xe(0,l),可得广(匹)=+*-=2.+2x+m

X+\X+l

令g(x)=2x2+2x+m(xG(0,1)),

当机.0时，g(x)>0,BP/r(x)>0,/(x)在(0J)上单调递增，

因为/(0)=0,所以“r)>/(0)=0,

所以在区间(0,1)上没有零点，不符合题意，

当avO时，g(x)=2d+2x+机的图像开口向上，且对称轴为4=-』，

2

由g(1)=2+2+/40,解得叫，一4,

当么-4时，g(x)<0在区间(0,1)上恒成立，

即r(x)<0,f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为/(0)=0,r(x)</(0)=0,

所以函数f(x)在区间(0,1)上没有零点，不符合题意，

综上可得—4„m<0,

设工©(0,1)使得g(x0)=0,

当xe(0,x0)时，g(x)<0,r(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(x0,1)时，g(x)>0,/'(x)>0,/(x)单调递增，

因为/(0)=0,要使得函数f(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，

则满足f(1)=1+〃”〃(1+1)>0,解得——

ln2

所以实数〃?的取值范围为(-」-,0).

In2

a=2

20•【解析】(1)由题意知£=@,可得0=1,b=2,故椭圆。的方程为三+丁=1.

a24

a2=/?2+c1

y=k(x-l)

(2)由,可得(4公+1)/-8女、+4公-4=0,

—+y2=l

4'

、Sk24公一4

设M(X，yj,N(X,%)，则%+工2=^71~~7，%

24k~+14X+1

，,一、一2左

x+%=%(%+N-2)=而1

4k2-k

线段MN的中点为(一)，

4k2+\'4k2+l

线段MN的垂直平分线方程为y-