专升本高数的18个重要考点

考点L求函数的定义域

4九—1

1>函数/(X)=arccos--------的定义域为.

3

解：由誓*1得在一1扶3不一；共X共1.即它的定义域为一

2、函数人X)=ɪ+—二1)的定义域是()

X—3-Jx+1

A(—1,+W)B(1,+W)C(—1,3)同(3,+W)D(1,3)同(3,+W)

解：选D由题意：x—3丰0,x—1>0,x+1>0,所以得到函数y=—1—+吧二22

X—3-Jx+1

的定义域为(1,3)同(3,+w).

3、设/(X)=—，则7［f(x)］的定义域为______

；几向卜号用]X⅜≡JI+*

1+—2+χ

1+x

；・4/(力定义域为Lw,-2)同(-2,-1)同(―1,+W).

4、./(X)的定义域是[θ,l],Θ(x)=∙*χ-4)+.*工+4)的定义域是()

ɪ3

A.[0,1]B.C.D.1

44I

(ɪ(ɪJ

P共*一共1I⅛X共ta

解:定义域D:d4不《4—4不0」共X共三，因此选C.

0,共XJ共1-√共X共J44

I4I44

5、如果函数4nx)的定义域为［e,+W),则函数於)的定义域为)

A、[e,+w)B、[1,+W)C、[l,e)D、(θ,e]

解：由e共x<+W不1共InX<+W,可知定义域为［1,+w).选B.

考点2求复合函数或函数或复合函数的外层函数

6、已知/(X)=丁则//(X)］=.

I+JC

X

解：根据复合函数可知：fΓx-χ)J=l+x=—.

∣+X2χ+l

1+x

7、设危+2)=%2+1,K∣JΛx-1)=

解：令x+2=rj(r)=/-4r+5f[x)=x2-4x+5；

Xx-1)=(x-1)2-4(x-1)+5=%2-6Λ+10.

8、设y=Λsinx)=cos2X+2,求fix).

解：因为*Sinx)=1-sin2X+2=3-sin2X,所以fl^x)=3-x2.

9、设函数fix)=1-2x,g[/(x)J=1—,则g(Ie)=-------：

解：由题意知，g[^∕(x)J=g(l-2x)=Ef,题目让求gg),即已知l-2τ=g,得

X=-,代入g(l-2r)=—即可得到结果3.

4Je

10、设7U)=2x+5,则f∖f(x)-IJ=.

解：危)-1=2X+5-1=2Λ+4,则/(AX)-1]=,ʌɪr+4)=2(2x+4)+5=4x+13

考点3函数的奇偶性、有界性等性质的题目

11、函数y=L在定义域内是()

X

A、周期函数B、单调函数C、有界函数D、无界函数

解：根据函数y='的图像可知是无界函数.选D.

X

12、下列函数时奇函数的是()

A、y=sin2x.cosxB、y=cos2%.sinx

C、y=------D、y=f-x+1

解：A、C是偶函数，B是奇函数，D为非奇非偶.故选B.

13、以下结论中正确的是()

A、函数y=X3+1是奇函数B、函数y=sinx2在定义域内有界

C、函数y=-Inx在定义域内是单调增加的D、函数y=tan2x的周期是TT

解：A选项是非奇非偶的，C在定义域内是单调减少的，D的周期为L.故选B.

14、下列函数中，图形关于y轴对称的是O

T-T9_T+2Γx

A、y=xcosxB∖>=Λ3+X+1C、y=D、y

15、若TU)的定义域关于原点对称，则下列函数的图像一定关于y轴对称的是()

A、B、fi-x)c、y(x)+β~χ)D、/U)-fi~χ)

解：此题实质也是确定函数奇偶性，利用奇偶函数定义只有Ta)+八-x)一定是偶函数，

图像关于y轴对称；.∕U)-∙∕(-x)奇函数，图像关于原点对称；另两个无法确定.应选C.

16、若7U)(xeR)为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是

ʌ.Λ2x)B.Λ-x+2)C.Xl%|)D.2危)

解：由奇偶函数的定义易得川x∣)是偶函数，fi2x),为奇函数，√(-x+2)为非

奇非偶函数，应选C.

考点4无穷小量阶的比较

17、当〃T心时，sin?"?"与。为等价无穷小，则⅛=()

A-B1C2D-2

2

.11

san2-

解：解IiIn——5∙=ɪɪɪnɪ-=1,⅛=2选C

,→<C1"-KC1

⅛ttf

18、当XTO时，In(I+X2)是比I-COSX的)

A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但不等价无

穷小

解：ln(l+%2)-ɪ2,1-cosx~^JC2.故选D.

19、当XTO时，与X不等价的无穷小量是()

A、2xB、SinXC>el-1D、In(I+x)

解：根据常用等价关系知，只有2x与X比较不是等价的.故选A.

20、当XTo时，Λ2-sinx是X的()

A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小

21、当XTO时，1尤)与I-COSX等价，则Iim,"幻=.

LoXSinX

考点5简单函数求极限或极限的反问题

22、若ɪimɑ(l+=f^'°,则火=------------：

1⅛n2(-⅛)Sιn,-

解：左式=e"+*κ=e'5k=e0故&=2.

23、若Iim丝2=2,则lim-≠-τ=()

…Je7/(%C)

11

A.3B・-C.2D--

32

2

2

初t.X3x=2t3f-I-1_211,,λ.

*→V(3x)7/(阴一K/(2f)*24

I

24、空后(√Λ+1-7»-2)=

有理化3£3

解：原式------Iim---------^λ-=.

L心Jn+1+-Jn-22

一「「「Λ2+or+6+qf

25、已知Iim----------------存在，则。l=___________

LII-X

解：解Ii巴(1-A)=O:lim(r+0v+6)=0,1+4+6=O,Q=-7

In(1+xI)sin"X

26、若Iim—ʌ-------l=0且Iim-皿L=0,则正整数〃=______________

Losin"Xx-o1-cosX

n<4/_〃>2

解：解Iim—-------0,Urm-r*--------0:n>2,n<4,故〃=3.

.7sin*x…ZflJf2

2

2

27>ɪim(l+x)x=)

Λ-→()

A、1B、eC、2eD、e2

22

解：l⅛a(1+Λ)*=∣im(l+ɪ)*=e2.故选D.

7

考点6函数的连续性问题

∣}-si∏Xx<O)

X

28^设/(Λ^)=,0("—J)且l⅛ηf(.r)存在，则”=()

Xsin+a{x>0)

)X

)1

A.-1B.OC.1D.2

解：解Iim=要X=1,1im∏(xsinɪ∣+a=o+a:«=1选C.

ZX3''JtJ

1)-ɪ

29、函数兀r)={eI,无≠1,在点％=1处()

}∣O,X=1

A、连续B、不连续，但右连续

C、不连续，但左连续D、左右都不连续

解：/(1)=O,IinI0I=心,1ime*T=O=/(1),所有不连续，但是右连续.选B.

Λ-⅛l-Λ-⅛≠

IX2-2X<1

30、设/(X)=/I在X=1连续，则α=()

Ia,x>\

A,-2B、-1C、1D、2

解：根据连续的定义有：o=lim(x2-2)=-1.故选B.

LΓ

IsinTT(x-1)

1γ<1

31、如果函数/(x)=。x-1'处处连续，贝狄=()

}∣arcsinx+k,x2∖

ʌ22富*

As—Br、一C、一Dn、--

××TL2

因为函数处处连续，所以在处也连续，又如二",

解:X=1IimSm-1)

X-1

Iim(arcsinx+%)=—+M从而可知k=—选C.

2f22

Ila+hjC.x<0

32、4)=八sjn⅛r在X=O处连续，a与b的关系为------；

U,X>0

I加

考点7函数间断点的类型判定

33、x=0是函数/"(x)=arctanJ∙的()

A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点

解：ɪirŋarctan~=,Iimarctan~~ΞΞC.故选C.

Lo%2LO-X2

34、X=OWa）=X2sin3的（）

A、连续点B、跳跃间断点C、可去间断点D、第二类间断点

解：函数/（x）在X=O处无定义，乂lim%2sin3=0,极限存在，故为可取间断点.选C.

工一。ʃ

35、设/U）=dIγ-,;2XIVcO,则X=O悬/）的（）

Ir+2,X>O

A、连续点B、可去间断点C、无穷间断点D、跳跃间断点

解：（））根据间断点的分类，可知是跳跃间断点.选

Iim.r-2=-2,,Iima+2=2,X=O

l→∙".V-Λ*

D.

36、设f（x）=，则X=O是火》）的（）

A、连续点B、可去间断点C、无穷间断点D、跳跃间断点

1

解：IiinXInX=IiIn2四=Iimi-ɪ-=-IhnX=O,Iinll=1,根据间断点的分类，可知

444

>-td1v-⅜d1ι-*β'→σ∙

XF

X=O是跳跃间断点.选D.

J

37、X=O是函数/（x）=2'-1的O

A、连续点B、可去间断点C、跳跃间断点D、第二类间断点

考点8零点定理确定方程根的存在性

38、方程f+X-1=O在区间（0,1）内的实根的个数为（）

A、OB、1C、2D、3

解：构造函数/U）=Λ3+X-1,资O）=-I<0,<1）=1>0,根据零点定理知，在（0,1）

内至少有一个实根；又/（x）=3x2+1>0,即函数/"）是单调的。由此可知，已知方程

在（0,1）内只有一个实根。选B.

39、下列方程在区间（0,1）内至少有一个实根的为（）

A>X2÷1=OB、X-InX=O

C>x3+5x2-2=0D>%2+1+arctanx=0

解：构造函数，验证端点函数值是否异号，显然只有於）=/+5x2-2满足零点定理，故

选C.

40、不求解方程证明方程(X-2)(x-3)+2(X-I)(X-3)+3(X-I)(X-2)=0恰有两个实根.

证明：构造函数/U)=(X-2)(X-3)+2(X-l)(x-3)+3(x-1)(X-2),

它在[1,2],[2,3]区间上连续，⅛A1)=2,μ2)=-2,/3)=6,

从而有•穴1)*2)<0次2加3)<0，由零点定理可知/U)=0在区间(1,2),(2,3)内个

至少有一个实根，而/U)=0是二次多项式方程，最多有两个实根.

故方程7U)=0恰有两个实根，分别在(1,2),(2,3)内.

41、证明方程设函数/)，g(x)均在区间「凡引上连续，ɪʌ/j)<g(h)+b,证明：

存在&(α,b),使得Xf)=g©+ξ成立。

证明：构造辅助函数E(X)=fix)-g(x)-%,则

F(α)=fid)-g(a)-a>0,FS)=fljy)-gS)-b<0,由零点定理可知至少存在一

点出(a,h),使得F(O=0,及KQ=g(ξ)+ξ.

42.设函数人x),g(x)均在区间∣^α,/J上连续，fia)=g(b),∕⅛)=g(a),且

f{a)≠fib),证明存在存在出(α,b),使得女)=g(J)成立。

证明:构造辅助函数F(X)=fix)-g(X),则F(α)=.*α)-g(α)=f^a)-加)，

F(b)=∕b)-g(。)=/8)-fid),又由于y(α)≠fijτ),从而F(α)与FS)一定异号,显然

F(X)在[a,b]±连续的，从而满足中值定理的条件，故存在托四垃使得

麓)=g(f).

考点9求复杂函数的极限

43.求Iim-JI+tanx-√kι皿

LOec-\

√l+tanx-Jl-tan%2tanX

解：linfʌ--------------------------

=Iim-J,

•l。e-1LOM-√l÷tanx+Vl-IanX)

2tanX

=Iim,.XIim=1

v-*0(-√l+tanx+√1-tanx)λ~*°X

小+^Γet'dt

44.求IimJ)、

L+心χe×

解「JiW∙=Iim--~~—=—

2x2)eχl∙r-**»(x+2r)2

45.求Iim屁+尤-1+x+I

Vr2+sinX

^4r+X-1+x+1

[.√4X2+X-1+%+1

解:

Iim_1----•=Iim----j——W:

2X心2

*f心√χ÷sinxT-Λ∕X+sinX

X

=IimN“H-T=j∣

XT-心1+且

46.求1⅛D(COSX+尤SinX)手

工)

JLK]n(cosx+xSin

ln(cossinx)

解:cosɪ+XSinxV=1ime^Iime'

v→0

In(COSx+xSinx)-Sinx+sinx+xCOSX

I⅛n1κm

2Λ(COSX+Xsinx)

e*

CoBXi

ι-902(∞sκ~M雷口可2

47.即(%)在％=2处连续，且42)=3,求IimAx)

解：IimXX)/(X)

X+2

113

[则危)=-7(2)=-

48求蚓JX叫QM

解:IimX-X2]∣Q(l+

∙v→*r沪端-*

Lln(I+/)ι+g

=lɪmɔ=Um

/个)rTTo2t

11

=Iim----------=—

1创2(l+f)2

考点10利用导数的定义,求极限或导数

49.已知函数*x）可导，且Iim川+2x）-∕（l-=一∣,则曲线y=）y在点（1,火1））

.4。2x

处的切线斜率为

解：Iim幺1土皿二止NI=3/，⑴=-1,所以/⑴=-2,即曲线y=∣χ）在点

Ix23

（1,41））处的切线斜率为应选B.

50.函数/U）在点元=4处可导，且取得极大值，则则八/）工;0+3〃）二

A.0B.1C.-3-D.-3

22

解：由函数Zu）在点X=XO处可导，且取得极大值得"%）=0,而

^/(⅞)-∕⅛÷3∕z)=_*∙,(χ°)=。,应选A

51.设函数/(x)在点X=1处可导，且Iim川\”工)~KU=-L,则/(口等于

5/05x2

A-B—C--D--

2442

解：根据导数的定义解题，

lim`l-25x)-川)=2.Mm*+25x)-/⑴=〃，(口=_L,所以可知

5√h)Sx25,个)25X2

/'(I)=I

52.已知『'(1)=1,则Iim"1_251)-.1)等于()

5x个0Sx

(A)1(B)-1(C)2(D)-2

f(l-25x)-f(l)...但+(-25x)]-f(l)

解：根据导数的定义，hrm~=-2Iim~

5价0Sx5.小0-25X

=-2f'(l)=-2,选(D).

53.若Iim"%+A)—/(∕—*)=A则A=()

Th

(D)#(%)

,,

(A)∕(⅞)(B)2∕(Λ0)(OO

解：血(件身)一〃％一与,

1/,=Iij%+AA/("i)2=2∕(Λ0)

a-*ħ72h

考点11简单函数求导数或微分

54.y=In(InX),则dy=

解：4=⅛n(lnx)=4

2

,

55.设式x)=Jesintdt,则df(x)=

λr2

解：4(X)=2xesinxdx

“、反Jrlnɪt,

56.设y=----,求y

才

.,(xlnx)'(1+X)-XlnXQnx+1)(1+x)-xInX1+%+Inx

解n：-

>V=(1+X)2—(l+x)2^(1+X)2

J.

tan—

57.设y=2",求y'.

解：y-2，.(tanɪ),.In2=2%.sec2-.(ɪ)1.In2

JCXX

lan—11Ian-、11

=2λ.sec2—.(—O.In2=-2-v.sec`—..In2

XXXx~

58.设穴外W(D

解：先确定ɪ=1时函数的表达式，再求导代入即可.yu)=也就是说，当X>2或

者X<O时，f(x)=±二2；当O<X≤2时，f(x)=-二2。不难看出%=1时的表达式

XX

是T(X)=--，再求导，∕,(X)=-EV)=-ɪ.再将X=1代入可知/⑴=-2.

考点12简单函数求高阶导数

59.已知/"I).=XlnX,则/)(X)=

解：f"'2∖x)=x∖nX~fn-l∖x)=1+InX二/">(x)=-

60.已知/(x)是某一多项式函数，且次数为10,则/2°U)(X)=

解：fix)是10次多项式函数，有/⑼(X)=C,所以/2。U)(X)=0

70.设y=In(X+-Jl+*2),求y

解：因为y'=----/-<(χ+

罚)7+若=+

i+√ι+7k

I

2x

所以y'=(!(■『!=)=-在+*、=--------i

71.设y=x2ex,则丁⑹工=Q的值为()

答案：30

解：y=2xex+xiex=(2x+£)/；

y,=(2+2x)ex+(2x+x1)ex=(2+4x+f)e`；

y,=(4+2x)ex+(2+4x+Λ2X=(6+6LY+jr)ex；

y4>=(6+2x)eκ+(6+6x+x1)ex=(12+8x+x2)er；

y,=(8+2x)ex+(12+8x+Λ2)ex=(20+IOx+x2)ex；

y6)=(10+2x)eκ+(20+IOx+x2)ex=(30+I2x÷x2)ev.

所以y6)*=o=30

72.函数Sinx的三阶导数是()

AsinxB-sinxC.cosxD.-cosx

解：sinx的一阶导数为CoSX,二阶导数为-SinM三阶导数为-cosx

考点13.参数方程确定函数求导

I-1

产=则去

73.设函数NtQ为参数）,

sinii,

、J'~7Γdu

dysmf

解：电=争=-L-=-zsint;

dxdx1

由ti

=Q(詈)=sin=("Sin〃X<=-smf+fcαβf

=_sin<+tcoB⅜_F(Sin↑+rcost)

,2

X-Xn「t在点(。，处切线方程为

74.曲线PD

—y—-

"

砂

施

脩=

Z小=4也而点(0,1)对应的参数工=1,所以Z=4,

加

切线方程为y=4x+1

75.设函数y=y(x)由参数方程｛"=蚂"')确定，则答=

)

［尸arcta∏f*

11+F1+/

ʌ,2B.Gc-=—D.

2t24广4广

解：％1+P=1

,选C.

Z一Z27ɪ

1+/

X=arctantdy

已知参数方程｛')

76.2,

Iy=1-ln(l+r)dx

A、-ItB、ItC、2t2D、-2t2

解：也=1+广.=2.古姆A

l+la

IX=arctantd2y

77.已知参数方程｛)

∣y=1-ln(l+Z2)(beE

A、4B、2C、-4D、-2

答案：C

解：宠=T^=2,:今=f=-2(l+rj).故富u=-4选C.

ι+ι2ι+r,

考点14隐函数求导或求微分

78.设方程X=y'确定y是尤的函数，则√y=.

解：两边取自然对数得InX=yIny,再两边微分得L⅛=(1+∖ny)dy

所以√y=——：-----dx

(14∣n›)χ

79.设函数y=y(x)由方程y=I-X。'确定,

解:两边微分得√y=dx-xeydy，即(xe'+1)Jy=-ddx，

dyeydy

所以,=-,,而X=O,y=l,故，=-e.

dxxe'+IdxX=O

80.函数y=MX)由方程Ina2+y)=x2>,+SinX确定，求处

dxχ=o

解：方程两边微分得工土@=2yχdx+JCdy+∞sxdxf

χ-+y

-X2=(1(2)%+cosX-言卜

而T=O时，y=l,有√y=公，所以^^r-1

dx\,=0

81.设函数y=«x)是由方程fev+y?=1确定的函数，求微分dy.

解：对方程两边同时求微分有：2xevt∕r+x2e'c∕y+2ydy=0,

整理后可得：(dev+2y)dy=-2x^dx，从而有dy=---------dx.

82.函数y=T(X)由方程肛+Injc=1确定，则该曲线过点(1,1)的切线方程为()

A>y+2r-3=0B、y+2x+3=0

eʌ2>,+%-3=0D、2y+x+3=0

答案：A

解：孙+Inx=1两边同时对X求导有，y+xy'+ɪ=O-y'=-ZZ/1

=-2，

JtK3^1

所以切线方程为y-1=-2(x-1)二2x+y-3=O.故选A.

考点15复合函数求导数或微分

83.设函数AX)可微，则y=Xl-ex)的微分力=

A.(1+e^')∕(l-ex)dxB.(1-e')/(l-ex)dx

C.-exf'(∖-ex)dxD.exf∖∖-ex)dx

解：)，=川-〃)二办=/'(1-1)"(1-07)=，了(1-8')去,应选D

求y,■

解：两边取自然对数得Iny=21n∣x∣-ln∣l-^∣+—In|2+%|—In|2-ɪ|,

两边对X求导得-V=---JL+——+—?—

yXl-xX2+Jr)X2-X)

+-------+--------

理+冷X2-Λ)J

85.已知y=χ∕n"),且/(无)=InX,求变.

dx

解：型=∕DD'=^invcosV,(^inv)

dx

=^sinxcosXInesinx=e."COSxsinx

1

86.设y=(1+X)`,求力.

ɪirɪ

解：d)^=d(i+x)τ=凉nd+"=de。”

V

1-ln(l+x)

in(l+x)Γ1

e*d—ln(l+X)(i+x)il+a----------dx

JC

二…⅛rj⅛斗∙

87.设〉=esin2(?+l),求y'.

解：y=GSbλ'+∣>)=/('+∣>[sirr2(x2+1)]'

22

=/"+i)?Sin(J2+DcOS(X+1)X(ɪ+1)'=Zresin2(£+1)

考点16.求曲线的切线或法线方程或斜率问题.

88.设曲线方程盯+Iny=1确定y=MX)，则曲线上点M(1,1)处法线方程为

解：两边微分得x√y+ydx+~dy=Q~^=-一匚所以切线斜率为-1,法线斜率为

ydx1+ɪʃ2

2,法线方程为y=2x-1

89.已知函数连续且lim4a=2,则曲线y=Ax)上对应X=O处的切线方程是

XToX

解：S∕(0)=Iimf(x)=Iim×IimX=0；

x—0X-*0XX-*O

所以Z=∕,(0)=Iim"λ""Cl’=Iim上鱼1=2；切线方程为y=2x

LOx-0LoX

90.求曲线y=/+Xcos3%在点(0,1)处的切线方程和法线方程.

解：Jy'=e`+cos3x-Xsin3x,则在点(0,1)处切线的斜W率J为/%IΛ=-U训皿=2，相应的有

ɪ,所以切线方程为y-1=2x,即2x-y+1=0；法线方程为

k法=

ʃ-1=-ɪ%,即％+2y-2=0.

2

91.曲线y=X2在点(1,1)处的法线方程为()

X3

My=X(B)ʃ='2+2

X3X3

(Oy=I-(D)y=

2222

解：根据导数的几何意义，切线的斜率攵=y'∖v_.=2x∣=2,故法线方程为

JIΛ-1IA-1

—(x-1),即y二-三^l-

ʃ-1=选⑻.

222

92..曲线y=%”通过(1,1)点的切线方程为.

解：因y'=(Z),=©吟'=^ln∖(lnχ+1)=χt(In%+1),

故切线斜率k=H(InX+1)]IE=1,

所以切线方程为γ-1=1.(Λ-1),即y二%.

考点17.指出函数在给定的区间上是否满足罗尔定理,拉格朗日定理或满足定理求定理中的

J值

93.函数*%)=In%在区间口，2]上满足拉格朗日公式中的。等于()

(A)In2(B)Inl(c)Ine(D)—

In2

解：对函数/(x)=InX在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理，

/2)-火1)=/'(£)(2-1),即E2-0=L故f=2-.选(D)∙

Ftn2

94.下列函数在给定区间上满足罗尔中值定理的是().

A.∕Λ)=%3+4x2-7x-10,[-1,2]B.∕x)=∣x-1|,[-1,3]

1

CJu)=In(I+x),[0,1]D.,A%)=√,[-l,1]

解：验证端点函数值是否相等排除