概率论与数理统计2.8随机变量的独立性

概率论与数理统计2.8随机变量的独立性汇报人：AA2024-01-19目录CONTENTS随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验01随机变量及其分布随机变量的定义与性质定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，随机变量的取值小于等于x的事件是一个可测事件。离散型随机变量是指其取值是有限个或可列个的随机变量。定义离散型随机变量的分布律可以用概率质量函数来描述，即随机变量取各个值的概率。分布律离散型随机变量及其分布律定义连续型随机变量是指其取值是连续不断的随机变量，其取值充满某个区间。概率密度连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，它描述了随机变量在各个取值的概率分布情况。连续型随机变量及其概率密度VS随机变量的函数是指通过某种规则或运算将随机变量转换成另一个随机变量的过程。分布随机变量的函数的分布可以通过原随机变量的分布以及转换规则来求得，常见的转换规则包括线性变换、指数变换等。定义随机变量的函数的分布02多维随机变量及其分布二维随机变量设$X$和$Y$是两个随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量。联合分布函数对于任意实数$x$和$y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x$和$y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。010203二维随机变量及其联合分布边缘分布函数条件分布函数边缘分布与条件分布设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，关于$Y$的边缘分布函数为$F_Y(y)$。若对于固定的$y$，$F_Y(y)>0$，则称$frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$为在$Y=y$条件下$X$的条件分布函数，简称条件分布。二维随机变量$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的分布函数分别称为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布函数，简称边缘分布。设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$。如果对所有的$x,yinR$，都有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。如果两个随机变量相互独立，则一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。相互独立的定义相互独立的性质相互独立的随机变量$Z=X+Y$的分布设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，其联合概率密度为$f(x,y)$，则$Z=X+Y$仍为连续型随机变量，其概率密度为$int_{-infty}^{infty}f(z-y,y)dy$或$int_{-infty}^{infty}f(x,z-x)dx$。要点一要点二$Z=frac{X}{Y}$的分布（$Yneq0$）设$(X,Y)$是二维连续型随机变量，其联合概率密度为$f(x,y)$，且$Yneq0$，则$Z=frac{X}{Y}$仍为连续型随机变量，其概率密度为$int_{-infty}^{infty}|y|f(zy,y)dy$。两个随机变量的函数的分布03随机变量的数字特征数学期望描述随机变量取值的“平均水平”，是随机变量所有可能取值的加权平均数，权数为每个取值的概率。方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度，即随机变量取值的波动性或分散程度。数学期望与方差协方差与相关系数衡量两个随机变量的总体误差，反映两个随机变量变化趋势的相似程度。如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增加，另一个减少），则协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即两者都增加或都减少），则协方差为正值；如果两个随机变量变化趋势相互独立，则协方差为零。协方差是协方差的标准化形式，消除了量纲的影响，更直观地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。相关系数矩描述随机变量分布形态的特征数，包括原点矩和中心矩。原点矩反映随机变量取值的平均水平，中心矩反映随机变量取值的波动性或分散程度。协方差矩阵由多个随机变量的协方差组成的矩阵，用于描述多个随机变量之间的线性相关关系。协方差矩阵的对角线元素为各个随机变量的方差，非对角线元素为不同随机变量之间的协方差。通过协方差矩阵可以方便地计算多个随机变量的相关系数矩阵，从而更全面地了解多个随机变量之间的相关关系。矩与协方差矩阵04大数定律与中心极限定理定义大数定律是描述随机事件在大量重复试验中呈现出的规律性，即当试验次数足够多时，随机事件发生的频率趋于一个稳定值。种类常见的大数定律有伯努利大数定律、辛钦大数定律和切比雪夫大数定律等。应用大数定律在保险、金融、医学等领域有广泛应用，如用于评估风险、计算保费和制定医学诊疗方案等。大数定律中心极限定理中心极限定理在统计学、质量控制、信号处理等领域有广泛应用，如用于参数估计、假设检验、过程控制等。应用中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它指出当大量独立同分布的随机变量之和进行标准化处理后，其分布将趋近于标准正态分布。定义中心极限定理有多种形式，如林德伯格-列维中心极限定理、德莫弗-拉普拉斯中心极限定理等。种类05数理统计的基本概念研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个随机变量及其分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用$n$表示。样本容量总体与样本统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量不依赖于任何未知参数。抽样分布统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的可能取值及其概率。常见的抽样分布有$chi^2$分布、$t$分布和$F$分布等。抽样分布的性质决定了统计推断的可靠性和精度。了解抽样分布的性质有助于选择合适的统计方法和确定置信区间。统计量与抽样分布06参数估计123方法定义性质点估计点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计的结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。点估计的方法主要有矩估计法和最大似然估计法。矩估计法是通过样本矩来估计总体矩的方法，而最大似然估计法则是通过最大化样本数据的似然函数来得到参数的估计值。点估计具有无偏性、有效性和一致性等性质。无偏性是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值；有效性是指无偏估计量中方差最小的估计量；一致性是指随着样本量的增加，点估计量的值逐渐接近被估参数的真实值。定义区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。方法区间估计的方法主要有置信区间法和预测区间法。置信区间法是通过构造一个包含总体参数的置信区间来进行区间估计，而预测区间法则是通过构造一个包含未来观测值的预测区间来进行区间估计。性质区间估计具有置信水平和置信区间的性质。置信水平是指总体参数落在置信区间内的概率；置信区间则是由样本统计量构造的一个区间，用于估计总体参数的可能取值范围。区间估计07假设检验1234原假设与备择假设显著性水平与第一类错误检验统计量与拒绝域P值与第二类错误假设检验的基本概念原假设$H_0$是研究者想要拒绝的假设，备择假设$H_1$是研究者想要支持的假设。检验统计量是根据样本数据计算出的用于判断原假设是否成立的统计量，拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。显著性水平$alpha$是事先给定的一个概率值，用于控制第一类错误（即错误地拒绝原假设）的概率。P值是在原假设下，观察到的样本数据或更极端情况出现的概率。第二类错误是错误地接受原假设。单样本t检验用于检验单个正态总体的均值是否等于某个给定值。单样本Z检验当总体