两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数4.6两角和与差的正炫、余炫、正切

数学与统计学院数学与应用数学（1）班冯丽月20130621139一、教材分析教材的地位和作用：

两角和与差是高中数学必修四的内容，其中两角和与差的正弦、余弦、正切公式是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角等公式的“源头”，两角和与差的正弦、余弦、正切公式是本章的重要内容对于三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简和求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。本课时主要讲授两角和与差的正、余弦及正切公式以及它们的简单应用。根据课程标准和学生的认知水平我制定了三维教学目标,分别是：知识与技能、过程与方法、情感与态度。

二、教学目标（一）知识与技能

1、了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系；2、掌握用向量方法建立两角和与差的正、余弦公式通过简单运用，让学生初步理解公式的结构及其功能。（二）过程与方法

1、通过让学生经历两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探索，培养学生动手实践、探索、研究的能力；2、通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力。

（三）情感与态度

1、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神；2、提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识以及数学素质。为了今后的学习，根据课程标准及教材的基础掌握，我确定了相应的教学重难点、教学方法及教具。三、教学重、难点及教学方法（一）教学重点两角和余弦公式的推导。（二）教学难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明以及相关图形的结构、公式的运用。（三）教学方法引导发现式教学法。（四）教具准备

多媒体课件、三角板、圆规等。

五、教学过程

（一）创设问题情景，引入新课（预计7分钟）（二）层层递进，引入新知（预计18分钟）（三）基本练习（预计10分钟）（四）变式练习（预计6分钟）（五）小结（预计3分钟）（六）布置作业（预计1分钟）（一）创设问题情景，引入新课（预计7分钟）思考：等式成立吗？假如

由老师给出几个特殊的角，引导学生来思考，之后老师带领同学一起来验证。

显然那么让学生先自己画一画图，再来看所给出的图形，由学生们回忆一下之前所学过的知识，再带着知识一起探讨整个过程。问题情境我们在初中已经求过数轴上两点间的距离公式，知道这实际上就是求数轴上这两点所表示的两个数的差的绝对值。现在考虑坐标平面内的任意两点（如图）,从点分别坐X轴的垂线，与X轴交与点；再从点分别坐Y轴的垂线,与Y轴交于点。直线与相交于点Q。那么

于是由勾股定理，可得：

由此得到平面内两点间的距离公式：yx老师给学生足够的思考空间，尊重他们不同的想法，不同方法的比较，培养学生思维的灵活性和发散性。

并提醒学生在构图时多注意角的构造，和为什么要做单位圆。另外，请同学们下去思考有没有其他方法可以证明。

（二）层层递进，探索新知（预计18分钟）接下来，继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦用的三角函数来表示的问题。

如图所示，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与-β，使角α的始边为Ox，交于⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角-β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，这时点P1，P2，P3，P4的坐标是什么？它们之间有什么关系？解：P1(1，0),

P2(cosα,sinα)

P3(cos(α+β),sin(α+β）)P4(cos(-β),sin(-β))由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2展开并整理，得

2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ所以

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ口诀：余弦余余正正，前加后减记为（）注：此公式对于任意的角都成立。由上述公式立即给出一个例子，为了让学生加强对公式的理解与记忆。例子由学生来做，老师巡视，注重差生，最后再由老师给出正确结果。例1.已知，是第四象限角，求的值。解由于，是第四象限角

故

所以由公式可得：

角的替换时，由老师带领学生共同回顾

把公式中的换为，就有

从而有

口诀：余弦余余正正，前减后加运用公式把换为，换为，又可得到再把此式中的换为，就有则就可得到诱导

公当为任意角时任然成立。式记为（）角的替换时，由老师带领学生共同回顾

再运用和诱导公式，可得：即口诀：正弦正余余正，前加后加把公式中的换为，又可得到即记为（）记为（）

由老师带领学生回顾

然后教师引导学生思考，在推出公式

后很自然的就会想到正切公式，但由于时间关系，正切公式由同学们下去抽时间讨论推出结果，下节课来讲。这主要是引导他们利用同角三角关系来化弦为切，这样以后老师直接提醒，让学生自己推导出来。

当时，用则有若，则将分子、分母都除以有即因所以把中的换为，又可得到即以上的公式我们称作和角公式；类似地公式我们称为差角公式。公式间联系：记为记为练习题先由学生自己做，老师巡视，多注重差生；若有问题，老师再带着学生一起来做。做基本练习是为了加深对刚所学公式的理解和记忆，并提醒学生注意：不仅要掌握公式的运用，还要注意它们的逆用及变形。（三）基本练习（预计10分钟）例1已知，是第四象限角。求的值。解由为第四象限角且知于是此题是公式的逆用，目的在于培养学生的逆向思维，也锻炼了他们的运变能力及学会对公式灵活运用。例2利用和差角公式计算下列各式的值。（1）（2）（3）解（1）由公式可知（2）由公式可知

（3）由公式可知此题由老师给出其他做法的提示，有学生自己下去思考完成。例3求的正弦、余弦、正弦值。解变式联系难度提高了，由教师讲解一题，其余由学生自己做，可讨论，注意做题时角的范围。（四）变式练习（预计6分钟）1.已知都是锐角，求的值。解由得又由，则得由余弦的差角公式得培养学生的创新意识，再次让学生体会角的任意性，并探索三角公式之间的内在联系；培养学生敢于挑战数学问题中的困难的能力。2.已知，求的值。解由题意知

从而