2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第一章1-3　空间向量及其运算的坐标表示

1.3空间向量及其运算的坐标表示A级必备知识基础练1.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,0)和向量a=(3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(7,10,24) B.(7,10,24)C.(6,8,24) D.(5,6,24)2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有()A.a=(1,2,3),b=(1,2,1)B.a=(0,3,3),b=(0,1,1)C.a=(0,3,2),b=0,1,32D.a=1,12,3,b=(2,1,6)3.已知点A(2,5,1),B(2,2,4),C(1,4,1),则向量AB与AC的夹角为(A.30° B.45° C.60° D.90°4.若向量a=(1,1,2),b=(2,1,3),则|a+b|=()A.7 B.22 C.3 D.105.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=2,则实数x=.

7.已知向量a=(x,4,1),b=(2,y,1),c=(3,2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.8.如图所示,在正四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标.B级关键能力提升练9.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,则实数z的值为(A.5 B.5C.5或5 D.10或1010.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为(A.12,3B.34,C.43,4D.43,11.(多选题)从点P(1,2,3)出发,沿着向量v=(4,1,8)方向取点Q,使|PQ|=18,则Q点的坐标为()A.(1,2,3) B.(9,4,13)C.(7,0,19) D.(1,2,3)12.(多选题)正方体A1B1C1D1ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是()A.AB1与BC1成60°角B.若CN=13NC1,面A1MN交CDC.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于2D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是13.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(1,2,3),若|PQ|=3|MN|,且PQ∥MN,则MN的坐标为,点Q的坐标为14.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,AC的长为2π3,A1B1的长为π3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B115.已知空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量aC级学科素养创新练16.(2021山东烟台检测)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小是,若D1E⊥EC,则AE=.

1.3空间向量及其运算的坐标表示1.D∵a=(3,4,12),且AB=2a,∴AB=(6,8,24).∵A(1,2,0),∴B(5,6,24),故选D.2.BD对于B,有a=3b,故a∥b;对于D,有b=2a,故a∥b;而对A,C中两向量,不存在实数λ,使a=λb,故不平行.3.C由已知得AB=(0,3,3),AC=(1,1,0),因此cos<AB,AC>=所以向量AB与AC的夹角为604.D∵a=(1,1,2),b=(2,1,3),∴a+b=(3,0,1),∴|a+b|=32+025.D设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,1∴MN=12,12,0,CC1AC=(1,1,0),BD=(1,1,0),A1B1MN·CC1=0,∴MN⊥CC1,故A正确;MN·AC=12-12=0,∴MN⊥AC,故B正确;易知∴MN∥BD,故C正确;设MN=λA1B1,得-12=0×λ,-12=λ,故选D.6.8由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=2,解得x=8.7.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=4,这时a又因为b⊥c,所以b·c=0,即6+8z=0,解得z=2,所以c=(3,2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,6,1),所以a+c与b+c所成角θ的余弦值cosθ=5-12+3388.解(1)∵BM=∴BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,∴c=AP=OP-OA=1∴BM=12a+12b+12c=12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,9.C因为OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λ又|AB|=52,而AB=OB-OA=(zx则x解得x=10,y10.C点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则QA=OA-OQ=(1λ,2λ,32λ),QB=OB-OQ=∴QA·QB=6λ43223,当λ=43时,QA·QB取得最小值,此时,Q4311.BC设Q(x0,y0,z0),则PQ=λv,即(x01,y02,z03)=λ(4,1,8).由|PQ|=18,得(-4λ所以λ=±2,所以(x01,y02,z03)=±2(4,1,8),所以x0=-12.ACD如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).对于A,AB1=(0,2,2),BC1cos<AB1,∴AB1与BC1成60°角,故A正确;对于B,∵CN=∴N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(1,2,0),A1N=2,2,32,A1E=(2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,∴∃λ,μ∈R,使得A1M=得-解得λ∴E0,43,2,∴CE=0,23,0,|CE|=23,故B错误;对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则MP=(1,y2,z),DB1=由MP·DB1=2+2y42z=0,∴点P的轨迹长为线段yz=1(1≤y≤2)的长度,为2,故C正确;对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB∴DE=23DB1=23×(2,2,2)=43,43,4则E43,43,23,F23,43,0,则EF=23,0,23,则cos=-43-43(故α=0,cosβ=|cos<EF,=-43+4故β=π2,即α+β=π2,故D正确.故选13.(1,1,1)(4,1,6)或(2,5,0)由已知得MN=(1,1,1),设Q(x,y,z),则PQ=(x+1,y2,z+3),由题意,得(解得x故点Q的坐标为(4,1,6)或(2,5,0).14.π4以O为坐标原点,OA,OO1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,12所以AA1=(0,0,1),B1C则AA1·B1C=02+0×(1)+所以cos<AA1,B1因此,异面直线B1C与AA1所成的角为π415.解(1)由题中条件可知,AB=(2,1,3),AC=(1,3,2),所以cos<AB,AC>=于是sin<AB,AC故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB||AC|sin<AB,AC>=14×32=(2)设a=(x,y,z),由题意得x解得x故a=(1,1,1)或a=(1,1,1).16.90°1在长方体ABCDA1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示