湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷

湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高二年级12月联考数学试题命题学校：新洲一中邾城校区命题人：卢有勇审题人：黄陂一中蔡劲松一、单项选择题：（每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复平面内复数的共轭复数为，若，则复数对应的点所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（）A． B．C．或 D．与的位置关系不能判断3．已知抛物线（）上的点到焦点的距离为3，则（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知，，，的夹角为，则（）A．1 B． C．2 D．45．是圆上的动点，若到两条直线：和：的距离之和与动点的位置无关，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知，分别为双曲线：（，）的左右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．已知点为椭圆（）的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（）A． B． C． D．8．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．若事件和事件互斥，则B．若事件和事件对立，则C．若，则事件和事件独立D．若三个事件、、两两独立，则10．设、分别是双曲线：（）的左、右焦点，过作轴的垂线与交于、两点，若为正三角形，则下列说法正确的是（）A． B．C．双曲线的焦距为 D．的内切圆与轴相切于点11．在边长为2的正方体中，动点满足（），则下列说法正确的是（）A．若，则直线与所成的角为B．三棱锥的体积为定值C．若，则直线与平面所成的角为D．若，则三棱锥的外接球的表面积为12．已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，，是抛物线上异于坐标原点的两点，则下列结论正确的是（）A．若直线过点，则B．若直线过点，则的最小值为4C．若直线过点，则直线，的斜率之和D．若直线过点，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．14．已知样本，，，，的平均数为5，若，，，，的平均数为34．则样本，，，，的方差为______．15．已知圆台上、下底而的圆的半径分别为3和6，该圆台的体积为，则该圆台的侧面积为______．16．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题解决，如与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．依上思想，已知，，则的最小值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）（1）已知抛物线（）的焦点坐标为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，求弦长；（2）已知双曲线：（，）的实轴长为2，且它的渐近线与圆相切，求双曲线的焦点到渐近线的距离．18．（本小题满分12分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中的值，并估计该100名学生身高的80%分位数：（2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，再从这6人中任选2人出来，求这2人来自不同小组的概率．19．（本小题满分12分）如图：平行六面体中，，且，，记，，．（1）将用，，表示出来，并求；（2）求异面直线与所成角的余弦值．20．（本小题满分12分）圆过、两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．21．（本小题满分12分）如图，为圆柱底面的直径，是圆柱底面的内接正三角形，和为圆柱的两条母线，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦、，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高二年级12月数学答案1．A2．C3．B4．C5．D6．C7．D8．D9．ABC10．BD11．BD13．14．915．16．17．（1）由抛物线（）的焦点为，得抛物线的方程为直线过点且倾斜角为，则直线的方程为，联立得：，则（2）双曲线的实轴长为则双曲线：，则渐近线方程为：，故，故双曲线的渐近线方程为：，取右焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（若直接运用结论：双曲线的焦点到渐近线的距离为不扣分）18．（1）由频率分布直方图可知，解得．身高在的人数占比为，身高在的人数占比为，所以该100名学生身高的80%分位数落在内，可知恰好为区间的中点，故该100名学生身高的80%分位数为177.5．（2）组人数为，组人数为，组人数为，由题意可知组抽取人数为，组抽取人数为，组抽取人数为．6人中任选2人的方法数为15，这2人来自不同小组方法数为，故这2人来自不同小组的概率．19．（1），，，，，．．（2），，，，．异面直线与所成角的余弦值为，20．解：（1）两点，的中垂线方程为：，联立，解得圆心，，故圆的方程为：（2）由直线且被圆截得的弦长为6，故圆心到直线的距离为，A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，，此时直线的方程为：A．若直线不过原点，设直线为：，，此时直线的方程为：，故直线的方程为：，，21．（1）证明：因为为圆柱底面的直径，所以．因为为圆柱的母线，故，又，故平面．由和为圆柱的两条母线知四边形为矩形，因此，故平面．又因为平面，所以平面平面．（2）由题意知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，令，故，，，是圆柱底面的内接正三角形，故，故，过作，垂足为，，，故点的坐标为，，由平面，可设平面的法向量为，设平面的法向量为，由，，即，令，则，设二面角的平面角为，故二面角的正弦值为．22．（1），，又，，故椭圆的方程为（2）法一：当直线的斜率不存在时，设，，代入，得：（舍），此时：当直线的斜率存在时，设：，联立得：，，，，，，代入整理得：，，当