第13章 轴对称压轴题考点训练-2023年初中数学8年级上册同步压轴题（教师版含解析）

第十三章轴对称压轴题考点训练1．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】解：延长交于点，∵将沿，翻折，顶点，均落在点处，∴，，∴，∵，∴，由三角形外角定理可知：，，∴即：，∴，∴，故选：．2．将长为2、宽为a(a大于1且小于2)的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下个边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当n＝3时，a的值为()A．1.8或1.5 B．1.5或1.2 C．1.5 D．1.2【答案】B【详解】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、2﹣a，由1＜a＜2，得a＞2﹣a；第2次操作，剪下的正方形边长为2﹣a，所以剩下的长方形的两边分别为2﹣a、a﹣(2﹣a)＝2a﹣2，①当2a﹣2＜2﹣a，即a＜时，则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a﹣2，剩下的长方形的两边分别为2a﹣2、(2﹣a)﹣(2a﹣2)＝4﹣3a，则2a﹣2＝4﹣3a，解得a＝1.2；②2a﹣2＞2﹣a，即a＞时则第3次操作时，剪下的正方形边长为2﹣a，剩下的长方形的两边分别为2﹣a、(2a﹣2)﹣(2﹣a)＝3a﹣4，则2﹣a＝3a﹣4，解得a＝1.5．故选：B．3．如图，在中，，平分，过点A作于点D，过点D作，分别交、于点E、F，若，则的长为(

)A．10 B．8 C．7 D．6【答案】D【详解】如图，延长、交于点G∵平分，于点D∴，D是的中点∵E是的中点，F是的中点，是的中位线，是的中位线∴又∵∴∴∴∴故选：D.4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点的周长为已知，故选B5．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】D【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D．6．已知一个等腰三角形内角的度数之比为，则它的顶角的度数为(

)A． B． C． D．【答案】D【详解】根据等腰三角形的角分为顶角和底角，分类讨论为：设顶角为x，底角为4x，则根据三角形的内角和可得x+4x+4x=180°，解得x=20°；设底角为x，顶角为4x，则x+x+4x=180°，解得x=30°，则顶角为4x=120°.故选D.7．在正方形ABCD所在平面上找点P，使得△PAB、△PBC、△PCD、△PDA均为等腰三角形，则满足条件的点P(

)个．A．10 B．9 C．5 D．1【答案】B【详解】如图，共有9个符合要求的点P，故选B.8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____．【答案】2n．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，以此类推△AnBnAn+1的边长为2n．故答案为：2n．9．如图△ABC中，∠BAC=78°，AB=AC，P为△ABC内一点，连BP，CP，使∠PBC=9°，∠PCB=30°，连PA，则∠BAP的度数为_______．【答案】69°【详解】在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD=AB=AC，∴∵∴∴又∵∴△BDC≌△BPC，∴PC=DC，又∵∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∴故答案为69°.10．在锐角△ABC中，∠ABC=60°，BC=2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是_____．【答案】．【详解】如图，在BA上截取BE=BN，连接CE．∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠EBM=∠NBM，在△BME与△BMN中，，∴△BME≌△BMN，∴ME=MN．∴CM+MN=CM+ME≥CE．∴CM+MN有最小值．当CE是点C到直线AB的距离时，CE最小，∵∠ABC=60°，BC=2cm，∴当CE⊥AB时，可得CE=，∴CM+MN的最小值是．故答案为：．11．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________．【答案】5cm【详解】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，∴OA、OB关于OC对称，∴P点在OB上，∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，∵PN=OP=×10=5cm，∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，故答案为5cm．12．如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90o，AC=BC=4，点D是AB的中点，E，F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，∠EDF=90°；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积为___________.【答案】或【详解】解：①E在线段AC上．在△ADE和△CDF中，∵AD=CD，∠A=∠DCF，AE=CF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴同理△CDE≌△BDF，∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半．∵CE=1，∴CF=4﹣1=3，∴△CEF的面积=CE•CF=，∴△DEF的面积=××﹣=．②E'在AC延长线上．∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=，∴∠DCE'=∠DBF'=135°．在△CDE'和△BDF'中，∵CD=BD，∠DCE′=DBF′，CE′=BF′，∴△CDE'≌△BDF'(SAS)，∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'．∵∠CDE'+∠BDE'=90°，∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°．∵DE'2=CE'2+CD2﹣2CD•CE'cos135°=1+8+2××=13，∴S△E'DF'=DE'2=．故答案为或．13．已知，在等腰中，于点D．以为边作等边，直线交直线于点F，连接．(1)如图1，与在直线的异侧，且交于点M．①求证：；②猜想线段之间的数量关系，并证明你的结论：(2)当，且与在直线的同侧时，利用图2探究线段之间的数量关系，并直接写出你的结论．【答案】(1)①见解析；②EF+AF=BF，理由见解析；(2)BF+EF=AF，理由见解析【详解】证明：(1)①∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF(SSS)∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF；②EF+AF=BF，理由如下：如图，在CF上取FG=FE，连接EG，由(1)得∠ACF＝∠AEF，BF＝FC，∵△AEC是等边三角形∴∠AEC＝∠ACE＝60°，CE＝AE，∴∠FCA+∠ECF=60°，∴∠AEF+∠ECF=60°，∵∠ECF+∠EFC+∠AEC+∠AEF=180°，∴∠EFG=60°，∵FE=FG，∴△EFG为等边三角形，∴EG=EF，∠FEG=60°，∴∠AEF+∠AEG=60°，又∵∠CEG+∠AEG=∠AEC=60°，∴∠FEA=∠GEC，∴△FEA≌△GEC(SAS)，∴AF=GC，∴EF+AF=FG+CG=FC=BF，∴EF+AF=BF；(2)BF+EF=AF，理由如下：如图，在AF上截取FH=FC，连接CH，∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD∴BF＝FC，∠BFD=∠CFD∵△ACE是等边三角形，∴AE=AC=AB=CE，∠EAC=∠ECA=60°∴∠ABE=∠AEB，∠EAF=∠EAC-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠CAD--∠EAF=2∠CAD-60°，∴∵∠AEB=∠AFE+∠EAF，∴∠AFE+60°-∠CAD=120°-∠CAD，∴∠AFE=60°，∴∠CFD=60°，∴∠EFC=120°，又∵FH=FC，∴△FHC是等边三角形，∴CH=CF，∠FHC=∠FCH=60°，∴∠ACH+∠ECH=∠ECF+∠ECH=60°，∴∠ACH=∠ECF，∴△ACH≌△ECF(SAS)，∴AH=EF，∴EF+CF=FH+AH=AF，∴BF+EF=AF．14．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．(1)求∠CAM的度数；(2)若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；(3)当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】(1)30°；(2)见解析；(3)是定值，理由见解析【详解】解：(1)是等边三角形，．线段为边上的中线，，．故答案为：30°；(2)与都是等边三角形，，，，，．在和中，，；(3)是定值，，理由如下：①当点在线段上时，如图1，由(2)可知，则，又，，是等边三角形，线段为边上的中线，平分，即，．②当点在线段的延长线上时，如图2，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，．③当点在线段的延长线上时，如图3，与都是等边三角形，，，，，，在和中，，，，同理可得：，，，，．综上，当动点在直线上时，是定值，．15．如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线(