高等数学方明亮版课件19连续函数的运算与初等函数的连续性

高等数学方明亮版课件19连续函数的运算与初等函数的连续性目录连续函数的运算初等函数的连续性闭区间上初等函数的连续性函数的一致性与连续性CONTENTS01连续函数的运算CHAPTER总结词函数加减运算的连续性详细描述对于任意两个连续函数f(x)和g(x)，它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)以及差函数r(x)=f(x)-g(x)也是连续函数。在定义域内的任意一点x0，只要f(x0)和g(x0)都存在，则h(x0)=f(x0)+g(x0)和r(x0)=f(x0)-g(x0)也都存在。函数的加减运算总结词函数乘法运算的连续性详细描述对于任意两个连续函数f(x)和g(x)，它们的积函数p(x)=f(x)*g(x)也是连续函数。在定义域内的任意一点x0，只要f(x0)和g(x0)都存在，则p(x0)=f(x0)*g(x0)也存在。函数的乘法运算函数除法运算的连续性总结词对于任意两个连续函数f(x)和g(x)，当g(x)≠0时，它们的商函数q(x)=f(x)/g(x)也是连续函数。在定义域内的任意一点x0，只要f(x0)和g(x0)都存在且g(x0)≠0，则q(x0)=f(x0)/g(x0)也存在。详细描述函数的除法运算总结词复合函数运算的连续性详细描述如果y=f(u)，u=g(x)都是连续函数，则复合函数y=f[g(x)]也是连续函数。也就是说，如果自变量在某个区间内发生连续变化，因变量的值也会随之发生连续变化。复合函数的运算02初等函数的连续性CHAPTER123一次函数形式为$y=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。在定义域内，一次函数是连续的，即当$x$的值在定义域内变化时，$y$的值也连续变化。一次函数在定义域内的任何一点都可导，且导数等于斜率$a$。一次函数的连续性二次函数的连续性01二次函数形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数。02二次函数在定义域内是连续的，但可能在极值点处不可导。二次函数的极值点为$x=-frac{b}{2a}$，在极值点处，函数值可能不连续。03三角函数形式为$y=sinx$、$y=cosx$、$y=tanx$等。三角函数在其定义域内是连续的，即当角度$x$在其定义域内变化时，函数值也连续变化。三角函数在其定义域内可导，且导数与函数形式有关。三角函数的连续性对数函数形式为$y=log_ax$，指数函数形式为$y=a^x$。对数函数和指数函数在其定义域内是连续的。对数函数和指数函数在其定义域内可导，且导数与函数形式有关。010203对数函数与指数函数的连续性03闭区间上初等函数的连续性CHAPTER闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数具有一致连续性，即对于任意两个接近的点，函数值也接近。闭区间上的连续函数具有有界性，即函数在闭区间上存在上界和下界。闭区间上的连续函数具有零点定理，即如果函数在区间两端取值为异号，则函数在此区间内至少有一个零点。010203闭区间上的连续函数在其定义域内取得最大值和最小值，即存在最大值和最小值。如果函数在闭区间的两端取值为异号，则函数在此区间内必存在最大值或最小值。如果函数在闭区间内单调，则函数在此区间内必存在最大值或最小值。闭区间上连续函数的最值定理闭区间上连续函数的介值定理介值定理如果一个连续函数在一个闭区间上取值能够介于两个常数之间，那么在这两个常数之间至少存在一个数，使得函数值为该数。应用利用介值定理可以解决一些实际应用问题，例如求解方程的近似解、确定函数的零点等。04函数的一致性与连续性CHAPTER对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-f(x_0)|<varepsilon$。如果函数在某区间上一致连续，则该函数在该区间上具有连续性。一致性的定义与性质一致性的性质一致性定义如果函数在某区间上一致连续，则该函数在该区间上的一致收敛性也成立。一致连续如果函数在某区间上一致收敛，则该函数在该区间上的一致连续性也成立。一致收敛一致连续与一致收敛的关系在数学分析中，一致连续和一致收敛的概念是重要的，它们在解决一些数学问题时非常有用。例如，在求解微分方程、积分方程、级数等数学问题时，常常需要用到