小学奥数最优方案与最佳策略解题思路

最优方案与最佳策略

【最优方案】

例1某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别

在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、

B、C、D四台不同设备上加工2、2,0、4小时。已知A、B、C、D四台设备，每

天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润

200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大

利润?

（中国台北第一届小学数学竞赛试题）

讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最

多为12小时，则行：（2a+2b）不超过12»

又（a+2b）不超过8,

4a不超过16.

4b不超过12o

由以上四个条件知，

当b取1时，a可取1、2、3、4；

当b取2时,a可取1、2、3、4；

当b取3时，a可取1、2。

这样，就是在以上情况卜,，求利润200a+300b的最大值。可列表如卜.:

b123

a1234123412

200a+300b500700900110080010001200140011001300

所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1100元。

例2甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂

的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月

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用彳的时间生产上衣，不的时间生产裤子，每月生产900套成衣；乙厂每月

用;的时间生产上衣，!■的时间生产裤子，每月生产1200套成衣。现在两厂

联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产

成衣______套。

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

错折：用厂每月用3,（即称21）的时间生产上—衣；乙厂每月用4方［即%20）

的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。

如果甲厂全月生产裤子，则可生产

2

900十5=2250（条）s

如果乙厂全月生产上衣，则可生产

4

1200-7=2100（件）o

把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2ioo套成衣，这时甲厂生产150

条裤子的时间可用来生产成套的成衣

2

150X-=60（套）。

故现在比过去每月可以多生产60套。

【最佳策略】

例1A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、...、1990这1990个数中划去

一个数，直到最后剩卜两个数互质，那么B胜，否则A胜。问：谁能必胜？制胜

的策略是什么？

（《中华电力杯》少年数学竞赛试题）

讲析：将这1990个数按每两个数分为一组：（1、2）,（3、4）,（5、6）,…,

（1989、1990）o

当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B

就一定能获胜。

例2桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根

或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？

（1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题）

讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根,

谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6,3根。

谁抢到第3根呢？向然是后取的人。即后取的可以获胜。

后者获胜的策略是，当先取的人每取•次火柴梗时，他紧接着取一次，每次

取的根数与先取的加起来的和等于3。

例3行分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球,

规定取得最后一球昔为胜。问：若要先取者为获胜，应如何取？

（上海市数学竞赛成题）

讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每

次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。

例：一项工程，甲、乙合做8天可以完成，乙、丙合做10天可以完成，现在先由

甲、乙、丙合做5天后，余下的再由乙做2天即可完成，乙单独做这项工程需要

几天？

思路解析：由题意可知，这类工程问题可以用“组合法”解题，昨天的文章中已经例

举过同类型的题，今天的这道题难度加大。

既然是用“组合法”，那我们按思路来解析：

先由甲、乙、丙合做5天，余下的由乙做2天完成

可以组合成：甲、乙合做5天+乙、丙合做2天十丙做3天。

完整解题如下：

解：设工程总量为“1”

14-8=1/8（甲、乙工作效率和）

14-10=1/10（乙、丙工作效率和）

（1-1/8x