新疆2021届高考数学第二次诊断性测试试卷(文科)(含答案解析)

新疆2021届高考数学第二次诊断性测试试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

-TT

1.命题“若。二三，则tana=1”的逆否命题是（）

4

A.若awF，则tana工1B.若a=三，则tanaH1

44

•TTTT

C.若tana#1,则aH—D.若tanaK1,则a=—

44

2.己知集合4={-1,0,1）,B={x|x2-l=0},则4nB=（）

A.{1}B.{1,0}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

3.已知点P（3,4）,Q（2,6）,向量定=（—l,Q,若丽〃前，则实数；l的值为（）

A.：B.2C.—；D.-2

22

4.设x,y为正实数，且满足xW2,y<3,x+y=3,贝!H/+y3的最大值是（）

A.24B.27C.33D.45

5.定义某种运算M=a0b,运算原理如图所示，则式子（2tcm?）0

/输入。b/

sin1+（4cos》0G）T的值为（）

A.4

/输出c，Al）//输出Hc-4/

1

B.8~~~

C.H

D.13

6.命题“若4>1则久>0”的否命题是（）

A.若x<1,则x<0B.若x<1,则%>0

C.若%>1,则％<0D.若％<1,贝ijx<0

7,椭圆W+^=l（a>b>0）的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为4在椭圆上存在点尸满足线

段4P的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（0,争B.（0,1]C.[V2-1.1）D.[i,l）

8.已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测

一台机器的费用为2000元，则所需检测费的均值为（）

A.6400元B.6800元C.7000元D.7200元

3

9.已知cosa=p则cos2a+sin2a的值为（）

D18623

A2BD型

*25-HC・病

10.李华通过英语听力测试的概率是3他连续测试5次，那么其中恰有2次获得通过的概率是(

AA.—80B.—C.—D.-

24324324315

11.双曲线--3y2=3右顶点到渐近线的距离为()

A.\B.fC.V3D.2

12.己知岫<谢•<1则函数朋=浦-司的零点的个数为(）

A.1B.2C.3D.4

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知一=b+4i(a,b6R),其中i为虚数单位，则|a+bi|=；

14.已知函数/(%)是(-8,+8)上的偶函数，若对于X20,都有f(x+2)=f(x),且当［0,2)时,

/(X)=log2(x+1).则/(一2017)=.

15.在AaBC中，B=三,AB=2,。为AB的中点，△BCD的面积为这，则AC=___.

34

16.在六棱锥P-4BCDEF中，底面是边长为近的正六边形，PA=2且与底面垂直，则该六棱锥外

接球的体积等于.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

x

17.已知数列｛an｝的前〃项和S”=i(aM-l)(nG/V)

(1)求由和Cl2的值.

(2)求证：数列｛%J为等比数列.

18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从48两地区分别随机调查了20个用户，以下茎叶图

记录了这40个用户对产品满意度的评分.

A地区B地区

468

351364

64262455

688643733469

9286518321

7552913

(I)通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即

可)；

(n)将用户对产品满意度的评分从低到高分为两个等级：

满意度评分低于80分高于80分

满意度等级不满意满意

根据茎叶图提供的数据，直接写出列联表中mb,c,d,m,〃的值.

地区和满意度等级列联表

满意不满意总计

A地区ab

8地区Cd20

总计mn40

能否有85%的把握认为用户对该公司产品的满意度与地区有关?

下面的临界值表，供参考：

P(K2>k0)0.150.100.05

2.0722.7063.841

2

2n(ad-bc)

(参考公式：K=(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d)

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,ii.^BAP=^CDP=90°.

(I)证明：平面PAB1平面PAD；

(II)若24=PD=DC=24B,^APD=90°,求二面角/一PB—C的余弦值.

20.抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆=9相交，公共弦MN的长为26，求该

抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.

21.已知函数/(X)=/-2/+1

(I)求函数在［-1,2］上的最大值和最小值；

(II)曲线f(%)上是否存在一点P,使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0?若存在，求出点

P的坐标；若不存在，说明理由.

22.在直角坐标系xO_y中，曲线G的参数方程为｛f?+靠%为参数)，以坐标原点。为极点，x轴的

正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为P=4s讥%

(1)求曲线G的极坐标方程和。2的直角坐标方程；

(2)曲线C1，C2分别交于A,8两点，求线段A8的长.

23.已知a>0,b>0.

(I)若唳y/3a+log9=2,求+匕2的最小值；

(口)若；+盛=2,求a+b的最小值.

【答案与解析】

1.答案：C

JTTT

解析：命题“若&=上，则tana=1”的逆否命题是"若tana#1,则

44

2.答案：C

解析：解：••・集合4={-1,0，1}，

B=[x\x2-1=0}={-1,1},

二4nB={1,1}.

故选：C.

利用交集定义直接求解.

本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.答案：B

解析：解：PQ=(-1,2);

■■■PQ//EF;

-l-A-2(-l)=0；

•­X=2.

故选：B.

先求出向量所坐标，由所〃前，根据共线向量的坐标关系便可建立关于;I的方程，从而可得出2的

值.

考查根据点的坐标求向量的坐标，向量平行的概念，以及平行向量的坐标关系.

4.答案：C

解析：解：•.・x+y=3,

•••y=3—x.

4x3+y3=4x3+(3-x)3=3x3-9x2+27x-27=/(x).

22

Af(x)=9x-18x+27=9(x-l)+18>0.

••・函数f(x)在(0,2]上单调递增，

.•.当x=2,y=l时，f(x)取得最大值,/(2)=33.

故选：C.

由％+y=3,可得y=3—x,4x34-y3=4%34-(3—%)3=3x3—9x2+27x—27=/(%).利用导数研

究其单调性即可得出.

本题考查了利用导数研究函数单调性极值与最值，属于基础题.

5.答案：D

解析：解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序框图运行的结果是计算并输出M=Q«)b=

(a(b+1)a>b

(b(Q+1)a<b'

•・•2tan-=2>sin-=1,4cos-=2<(-)-1=3,

423

•••(2tan^)8sin,+(4cos；)®(|)-1

=2014-203

=2x(l+l)+3x(2+l)=13.

故选：D.

模拟程序框图的运行过程,得出该程序框图运行的结果是计算并输出M=a^b=?：：：

的值，利用特殊角的三角函数值计算比较，即可求值得解.

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，从而得出该程序框图运行的

结果是什么，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：命题“若x>1则x>0”的否命题是“若x<1,则x<0”,

故选：D.

根据否命题的定义写出.

本题考查四种命题的关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键.

7.答案：D

解析：解：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点尸，即尸点到P点与A点的距

离相等

而|F/|=~~c=~

\PF\G[a—c,a+c]

于是丁£[Q—c,a+c]

222

即QC—c<b<acc

(ac—c2<a2—c2

la2—c2<ac+c2

c„c1

.萨T或产2

又eG(0,1)

故选：D.

由题意，椭圆上存在点尸，使得线段AP的垂直平分线过点F,即尸点到尸点与A点的距离相等，根

据|PF|的范围求得田川的范围，进而求得:的范围即离心率e的范围.

本题主要考查椭圆的基本性质.属基础题.

8.答案：C

解析：解：设检测机器所需检测费为X,则X的可能取值为4000,6000,8000,

P(X=4000)=|X[=M

P(X=6000)=-x-xi+-x-xi+-x-xi=-,

'754354354310

P(X=8000)=1-P(4000)-P(6000)=1--^-^=^,

E(X)=4000x-+6000x-+8000x-=7000,

vJ101010

故选：c.

设检测机器所需检测费为X,则X的可能取值为4000,6000,8000,分别求出相应的概率，由此能

求出所需检测费的均值.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列的性

质等基础知识，考查对立事件概率计算公式运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

9.答案：A

解析：解：COSa=I，

•••sin2a=1—cos2a=—,

25

贝！]cos2a+sin2a=1-2sin2a+sin2a=1—sin2a=1-=^.

故选：A.

由cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2a的值，原式第一项利用二倍角的余弦函数公

式化简合并后，将sin2a的值代入计算即可求出值.

此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关

键.

10.答案：A

解析：

本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，属于基础题.

由题意可得他连续测试5次，那么其中恰有2次获得通过的概率是盘©)2(1一》5-2,计算求得结果.

解：记李华连续测试5次，获得通过的次数为X,每次通过的概率为%

则获得通过的次数X满足二项分布X〜

恰有2次获得通过时，X=2,

所求概率P(X=2)=废©)2(1一｝5-2=果.

故选：A.

11.答案：B

解析：

本题主要考查了点到直线的距离公式，先由题目所给双曲线方程得到右顶点和准线方程，利用点到

直线距离公式求出即可得到结论.

解：••・双曲线方程为y2=i,

则双曲线的右顶点为(遮,0),渐近线方程为y=±^x,

则由双曲线的对称性可知到两直线距离相等，

为公篇1号

故选B.

12.答案:B

解析:试题分析：函数的定义域是(0,+8),y=：/-恤鼠岗盟㈤，令y=0,则#=恤霹;

在同一直角坐标系中做出函数y=4'和y=M司的图象可知，两个图象有2个交点，所以原函数

的零点由2个，故选艮

考点：1.函数的零点；2.函数的图像.

13.答案：5

解析：解：••・牛=b+4i(a,beR),其中，为虚数单位,

ai+3i2

=3—ai=b+43

i2

・•・Q=3,b=—4,

\a+bi\=yja2+b2=+16=5.

故答案为：5.

推导出"衅_=3一出=力+43解得Q=3,b=-4,由此能求出|a+的值.

本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.答案：1

解析：解：由已知函数是偶函数，且x20时，都有/(%+2)=f(x),

当时，

［0,2)/(%)=log2(x+1).

所以

f(—2017)=f(2017)=/(2X1008+1)=/(l)=log22=1.

故答案为：1.

利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得/(-2017)=/(1),代入已知解析式，求解即

可得到答案.

本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力，转化思想的运用，属于基

础题.

15.答案:V7

解析：解：在AABC中，B=^,AB=2,。为AB的中点，△BCD的面积为挈，/\

可得=抑。.乎，\

BD=1,S^BCD=\BC-BD-sinB14=

解得BC=3,

在44BC中，可得心=AB2+CB2-2AB-CB-cosg

=4+9-2x2x3x|=7,

则4c=V7,

故答案为：A/7.

由三角形的面积公式，解方程可得BC,再在△ABC中，运用余弦定理，计算可得所求值.

本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题.

16.答案：4757T

解析：解：六棱锥P-ABCDEF中，底面是边长为近的正六边形，PA=2且与底面垂直，

可得P。是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为近的正六边形的对角线差为：2近，

可得PD=J22+(2V2)2=V12=2V3>

外接球的半径为：V3.

外接球的体积为：=|X7Tx(V3)3=4V37T.

故答案为：4V3TT

求出六棱锥外接球的半径，然后求解该六棱锥外接球的体积.

本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，空间想象能力.

17.答案：解：(1)・.<“=；(每一l)(n€NX),

.,.当n=l时，的=；(%-1),解得的=-，，

当n=2时，+a2=^(.a2-1),解得(^=

证明：(2)当n?2时，an=Sn-Sn_i=｝(an-l)-；(an_i-1)=；即一；斯-1，

即3a九—一。九一1,

则W

an-l$

二数列｛斯｝是公比q=-的等比数列.

解析：(1)分别令n=l,2即可求的和a2的值.

(2)根据等比数列的定义即可证明数列｛aj为等比数列.

本题主要考查数列的递推公式的应用，结合等比数列的定义以及a0=Sn-Sn-i是解决本题的关键.

18.答案：解：(I)通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于8地区用户满意度评

分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，8地区用户满意度评分比较分散.

(n)地区和满意度等级列联表

满意不满意总计

A地区101020

B地区51520

总计152540

依=4°崇°；。比黑:2667>2.072,

所以有85%的把握认为用户对该公司产品的满意度与地区有关.

解析：（I）通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于8地区用户满意度评分的平

均值；A地区用户满意度评分比较集中，8地区用户满意度评分比较分散;

（II）列列联表，利用公式解得K2ss2.（访7>2.072,则有85%的把握认为用户对该公司产品的满意度与

地区有关.

19.答案：证明：（I）因为NBAP=/COP=90。，所以4B14P,CD1PD,

V.AB//CD,所以4B1PD

又因为4Pu平面PAO,PDu平面PAO,APQPD=P.

所以4B1平面P4O,又ABu平面尸48,

故平面PAB1平面PAD；

解：（n）取AO的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系，令PA=2a,

则P0=0D=04=&a,

则4（缶,0,0）,B（V2a,a,0）,C（一夜a,2a,0）,P（0,0,Via）

所以PA=(y/2a,0,—\l2d),PB=(V2a,a,—\/2a),PC=(—V2a,2a,—\l2d)

令平面PAH的法向量为元i=（Xi，Vi，Zi）,

则有=所以r=（1,0,1）

〔PB.%=0

令平面PBC的法向量为五2=（%2，y2，z2）>

则有得•二;所以元2=

则cosB=|,故二面角A-PB-C的余弦值为一|.

解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.

(I)推导出AB_L4P,CD1PD,从而4BJ.P。，进而4B_L平面PA。，由此能证明平面P4B1平面

PAD.

(11)取4。的中点0,建立如图所示的空间直角坐标系，令PA=2a,贝IPO=。。=04=&a，求

出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出二面角2-PB-C的余弦值.

20.答案：解：•••抛物线与圆/+y2=9相交，公共弦MN的长为2遍，

二设M(一通,瓶)、/V(V5,m).

将M、N坐标代入圆方程，得5+m2=9,解得m=±2,

M(-V5,2)>N(V5,2),或M(一遍2)、N(75,-2),

设抛物线方程为/=2ay(a。0),

■:点M、N在抛物线上，

5=2aX(+2),解得2a=±|,

故抛物线的方程为/=|y或/=_|y.

抛物线/=打的焦点坐标为(0己,准线方程为y=-|；

抛物线/=-5y的焦点坐标为(0,-1),准线方程为y=

Zoo

解析：根据公共弦长为2遮，设而)、N(m,V5),代入圆方程解出血=±2,从而得出点M、

N的坐标.再设抛物线方程为/=2ay(a*0),代入M、N坐标解出。值，即可得到抛物线的方程，

进而可得抛物线的焦点坐标与准线方程.

本题已知抛物线与圆相交所得的弦长，求抛物线的方程.着重考查了直线与圆的位置关系、抛物线

的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题.

21.答案：解：(I)/'(x)=3/-4x,由((x)=0得%=0,x2=1

当x在上变化时，/(x)和/'(%)的变化情况如下表

X-1(TO)0(0,)(，2)2

f(x)+0—0+

f(x)-2增函数1减函数—增函数1

由表格可知，函数/Q)在［-1,2］上的最大值为1,最小值为-2.

(〃)由(/)知:/(X)=3x2-4x,

・•.”(x)e［一支+8),即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是［一%+8)

•••直线2x+y+3=0的斜率为-2,且一2C

•••曲线上不存在点P,使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0.

解析：(I)求出函数的导数，令导数大于0