数理统计基础讲诉

数理统计基础讲诉汇报人：AA2024-01-19contents目录绪论概率论基础统计量及其抽样分布参数估计假设检验方差分析与回归分析初步01绪论数理统计学的定义与特点定义数理统计学是应用概率论对数据进行收集、整理、分析和推断的数学学科。特点以概率论为基础，研究随机现象的统计规律性；通过对数据的分析和处理，揭示事物之间的内在联系和变化规律。早期萌芽17世纪中叶，随着概率论的发展，人们开始用数学方法处理一些简单的统计问题。近代发展19世纪末到20世纪初，随着大样本理论的建立和完善，数理统计学逐渐发展成为一门独立的学科。现代进展20世纪中叶以来，随着计算机技术的飞速发展和广泛应用，数理统计学在理论和应用方面都取得了巨大的进展。数理统计学的发展历史在经济学、社会学、心理学等领域中，数理统计学被广泛应用于数据的收集、整理和分析，以揭示社会现象的内在规律。社会科学在物理学、化学、生物学等自然科学领域中，数理统计学为实验设计和数据分析提供了重要的方法和工具。自然科学在质量控制、可靠性工程、生物医学工程等领域中，数理统计学发挥着重要的作用，有助于提高产品质量和工程效益。工程技术数理统计学在金融领域的应用日益广泛，如风险评估、投资组合优化、股票价格预测等。金融领域数理统计学的应用领域02概率论基础事件在一定条件下，并不总是发生（或说必然发生）的现象。概率反映某一事件发生的可能性的大小。事件的运算包括事件的包含、相等、和事件（并）、积事件（交）、差事件（A-B，包含A不包含B）、互斥事件（交集是空集，并集不一定是全集）、对立事件（交集是空集，并集是全集）等。事件与概率如果每个样本点发生的概率相等，则称这种概率模型为古典概率模型，简称古典概型。古典概型如果每个样本点发生的概率只与其几何度量（如长度、面积、体积等）成比例，则称这种概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型古典概型与几何概型条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性如果两个事件相互独立，则一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。条件概率与独立性随机变量及其分布定义在样本空间上的实值函数，把随机试验的结果映射为实数。离散型随机变量及其分布律取值有限或可列的随机变量称为离散型随机变量。描述离散型随机变量取值概率的规律称为离散型随机变量的概率分布律，简称分布律。连续型随机变量及其概率密度取值充满某个区间(或整个实数轴)的随机变量称为连续型随机变量。刻画连续型随机变量的取值规律需要引入概率密度函数。随机变量03统计量及其抽样分布统计量是基于样本数据计算出来的数值，用于描述样本特征或推断总体特征。统计量应具有代表性、无偏性、一致性和充分性等性质。统计量的概念与性质统计量性质统计量定义均值方差标准差偏度与峰度常用统计量及其意义01020304反映数据集中趋势，刻画总体平均水平。衡量数据波动程度，描述数据的离散程度。方差的算术平方根，用于标准化处理。描述数据分布形态的统计量，偏度反映分布对称性，峰度反映分布尖峭程度。抽样分布的概念与类型由样本统计量所形成的概率分布。抽样分布定义根据样本量大小及总体分布形态，抽样分布可分为正态分布、t分布、F分布和卡方分布等类型。抽样分布类型VS当总体服从正态分布时，样本均值服从正态分布，样本方差服从卡方分布。两个正态总体的抽样分布当两个总体分别服从正态分布时，样本均值之差服从正态分布，样本方差之比服从F分布。单个正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布04参数估计点估计定义点估计是用样本统计量来估计总体参数，因为样本统计量为数轴上某一点值，估计结果也以一个点的数值表示，所以称为点估计。矩估计法矩估计法是用样本矩作为相应的总体矩的估计量，其思想是任何一个总体，它的各阶矩总是存在的。最大似然估计法最大似然估计法是一种具有理论性的点估计法，此方法的基本思想是当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。点估计的概念与方法无偏性无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。有效性有效性是指对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效。一致性一致性是指随着样本量的增加，点估计量的值越来越接近被估总体的真实值。估计量的评价标准区间估计的概念与方法枢轴量是样本和总体参数的函数，其分布不依赖于任何未知参数。通过构造枢轴量，可以求解置信区间。枢轴量的构造与求解区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差得到。区间估计定义根据样本统计量的抽样分布和对概率的陈述，可以确定一个具有较大概率的包含被估参数的区间，这个区间就是置信区间，相应的概率就是置信水平。置信水平与置信区间单个正态总体参数的区间估计对于单个正态总体，可以构造适当的枢轴量，利用标准正态分布的性质进行区间估计。两个正态总体参数的区间估计对于两个正态总体，可以分别构造枢轴量，然后利用t分布或F分布的性质进行区间估计。在构造枢轴量时，需要考虑两个总体的方差是否相等。正态总体参数的区间估计05假设检验根据问题的要求对总体参数提出假设，然后利用样本信息判断假设是否成立。建立假设、选择检验统计量、确定拒绝域、计算检验统计量的值、作出决策。基本思想步骤假设检验的基本思想与步骤单个正态总体参数的假设检验单个正态总体均值的假设检验：当总体方差已知时，使用Z检验；当总体方差未知时，使用t检验。单个正态总体方差的假设检验：使用卡方检验。两个正态总体均值之差的假设检验：当两总体方差已知且相等时，使用Z检验；当两总体方差未知但相等时，使用t检验；当两总体方差不等时，使用Welcht检验。两个正态总体方差之比的假设检验：使用F检验。两个正态总体参数的假设检验非参数假设检验的特点不依赖于总体分布的具体形式，适用于各种类型的数据。要点一要点二常见非参数假设检验方法符号检验、秩和检验、游程检验等。这些方法主要利用样本数据的秩或符号等信息进行推断。非参数假设检验方法简介06方差分析与回归分析初步原理方差分析是通过研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。步骤建立假设、构造检验统计量、确定显著性水平、作出决策。方差分析的基本原理与步骤一元线性回归分析是研究一个因变量与一个自变量之间是否存在线性关系，如果存在，找出它们之间的定量关系表达式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。原理确定自变量和因变量、绘制散点图、判断是否存在线性关系、求回归直线方程、检验回归方程的显著性。步骤一元线性回归分析的基本原理与步骤多元线性回归分析是研究一个因变量与多个自变量之间是否存在线性关系，如果存在，找出它们之间的定量关系表达式，即建立数学模型并估计其中的未知参数。与一元线性回归分析相比，多元线性回归分析可以研究多个自变量对因变量的影响，以及自变量之间的交互作用。多元线性回归分析