同济版高等数学课后习题解析

书后部分习题解答

P21页

,、，.\+a+a~+•••+a

3.(3)hm------------------(M<1,河<1)

X*l+b+b~+---+b"

知识点：1)等比级数求和a+aq+aq2+...+a/-i=型二^2。(共n项)

"q

2)用P14例4的结论：当<1时，limq"=O

1100

1c，1+l

1—a

..\+a+a~----1-a"i—a1—b

解：hm--------；---------=lim\=-----

l+b+b~+---+b"\-h\-a

\-b

5.(1)判断下列数列是否收敛，若收敛，则求出极限：

设a为正常数，x0>0,x“+|=-(x„+—)

2

证：由题意，x„>0,x„+l=-(x„+—)>--2x„--=y/^(数列有下界)

2X”2\x„

2

又X"+I-X"='1(X"+幺)一X"=na—~X"W°(因x“+|之&)(数列单调减少)

2%2x„

由单调有界定理，此数列收敛；记limx〃=b,对七出=’(%+4)两边取极限，得

“T82X,,

b=-{b+^-),解得b=&i(负的舍去)，故此数列的极限为JZ.

2h

=/、川旧.x"”—(n+l)x+”..[1+(%-l)],,+l—(n+1)%+n

P35页4.(8)极限hm-------——:-----=hm-~~-——-----——-----

5(x-1)2—(x-1)2

(若以后学了洛必达法则(Q型未定型)，则lim*""一("+?x+〉

0—(1)2

1.(〃+l))xw—(〃+1)[.(〃+l)nxn~]n(n+1)、

=lim=lim-----------=--------)

xf2(x-l)I22

书后部分习题解答2

P36页

1

8.已知当元一>0时，(1+。％2)3一]〜COSX-1,求常数。・

知识点：1)等价无穷小的概念；

2）熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。

!12

应…21.(1+。/)3-12aX2ale3

解：由题意：lim-----------=lim—~~—=----=1得a=——

3cosx-1K%232

.（1+cix^）3—11+cix^—12a

或lim-----------=lim--------------；------------；----=----=］

1。cosx-1\13

-y［（1+ax2）3+（l+af）3+i］

（根式有理化）

P42页3（4）

关于间断点：f（x）=-sin一

xx

x=（）为第二类间断点

说明：lim'sin,不存在（在xf0的过程中，函数值不稳定，不趋向与8）

Xf0XX

P43页7（1）证明方程2*—4犬=0在（0,L）内必有一实根。

2

知识点：闭区间（一定要闭）上连续函数的根的存在定理

证明：设/（x）=2*—4x,易知，/（x）在［0,；］上连续；（注:设函数，闭区间）

/（0）=1>0,/（l）=V2-2<0,

故由根的存在定理，至少在（0,；）内存在一点使/（g）=o,

即方程2*-4x=0在（0,；）内必有一实根.

P61页

3.设了‘（/）存在，求:

⑴iim/(^o)-/Uo-Ar)⑵Vimf(xo+h)-f(xo-h)

AxfoAr/?->oh

⑶lim/Uo+3O-/(xo)

/->0t

分析：因f\xa）存在，则极限lim/（/+©）―/」o）的值为尸（与）o

把（1）（2）（3）化为相应可用极限的形式

lim/—,)

解:(1)=Hm=/u)

-Ax-(—Ax)

所/…=］而"％+力)一小。)一/"一")+"%)

20h20h

lim/(^o+3?)-/(xo)二愿『—.3=3/5)

/->0t

x,x<0

8.用导数的定义求/0)=<在元=0处的导数.(可参看P51例1-2)

ln(14-x),x>0

.,/、「/(x+Ax)—f(x)

知识点：1)导数在一点％处的定义：/'(%)=hm土口0-----八储0;

-TOZLr

2)点/处的左右导数的定义与记号：

左导数1(X。)=lim/(/+.)-/(/)

-—Ax

右导数/：(/)=lim/(/+©)T(Xo)

八°AD+

3)分段函数在分界点(具体的点)处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做■

解：因/(O)=0(先写出x=0处的函数值)

又尸(。)=]而当*9=的生於=1

AX->O_AxAi。-AX

(在x=O处的左导数定义)

(在x=()处的右导数定义)

而£(0)=力(0)故/''(0)=1

/XW]

10.设函数/(x)=〈'一，为了使函数在X=1处连续且可导，应取什么值？

ax+h,x>1

题型：分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。

解：由题意，函数在％=1处连续，则/(I-0)=/(1+0)=/(1)=1,即

/(I+0)=lim/(x)=lim(or+/?)=〃+/?,得a+/?=l

xfi-x-^r

又函数在X=1处可导，则£(1)=力(1)

而/，⑴=Hm加+-)=lim"红二1=2

AXAr->0-AX

工,.，(1+Ax)—f(1).Q[\+Ax)+h—1.

f+(1)=hm---------------=hm----------------=a(用到了〃+/?=1)

右->0-AxArT(rAx

故。=2,Z?=-1

书后部分习题解答3（关于隐函数求导）

P62页

14.设e取一/+,3=0,求今

分析：1）隐函数求导；2）由x=（）代入方程要求出y的值。

解：方程两边对X求导:

”5步2皿备。得:务委与

又由x=0代入方程，得y=—l,所以:

2

20.已知孙-sinQ^2)=o,求dy\

dx1(0,-1)'

要点：求隐函数二阶导数的方法。

解：方程两边对X求导：

(1•y+x•—)-cos(豉2)•2冲•—=0(1)

dxdx

把X=0,y=—1代入式(1),1

（。一）=、

(或由式(1)解得：少=-------J——

(2)

dx2nycos(^y_)-x

再把点代入得白1。i）=一£）

（求隐函数二阶求导的方法）

方法1：式（1）两边对X求导，（记生=y',=

axdx~

把x=°，y=f如。:代入，得碧,。f=-专

(代入：一一?-----+0+0-(-1)-2^(---)2-1-(-1)-2^-(-1)-/=0)

27r27r27r

方法2：式(2)对x求导：

d2y_y'[2^ycos(^2)-x]-y\27ty'cos(^y2)-2^rysin(^y2)-l^ryy'-1]

dx1[2zrycos(^f2)-x]2

点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有。处的值）即可.

P62页15题.利用对数求导法求导

说明：1）一定要用对数求导法求导；2）取对数后，先化简.

解：取对数：lny=21nx+g［ln(l—x)—ln(l+x)］(化简)

两边对x求导：=2-+-(-----—)

yx21-x1+x

所以：y'-x2(--12)()'代入)

V1+xx1-x

书后部分习题解答4(关于中值定理与未定式极限)

P82页

1.检验罗尔定理对函数/(x)=(x-l)(x—2)(x-3)是否成立？

分析：1)即检验是否符合罗尔定理的条件；

2)若符合，《是否存在？

解：易知/(x)=(x-l)(x—2)(x-3)在上连续，(1,2),(2,3)内可导，且

/(1)=/(2)=/(3)=0,故符合罗尔定理的条件。

,V3

又由/'(X)=3X2—12X+11=0,得”2土片,故有/'©)=0&e(l,2)

/(与)=0胃2e(2,3),符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)成立。

4.(3)证：|arctana—arctan&|<|a—ZJ|

证：设/(x)=arctanx,当a=6时，等式成立；

若a<b,则易知/(x)=arctaiu在［a,加上连续，在(a,份内可导，则由拉格朗日定理

1

存在火(a在),使f(b)-f(a)=-a)=(b—a)

1+片

取绝对值，=—二S-a)<\b-a\

1+11।

同理a>b,可证arctaiYZ-arctan&|<|^-Z?|

综合：有卜1日@112-01'戊@闭<|。一4

6.设函数/(x)在闭区间［1,2］上可微，证明：/(2)—/(1)=号。，其中1<J<2.

提示：对/(x),g(x)=/用柯西中值定理.

其中层.

8.证明:3arccosx-arccos0x-4x3)=71,|x

题型：证明函数为常数;

用到的知识：书78页定理3.4(3)的结论，若/'(X)三0,贝ij/(x)三C.(C=/(x。))

证明：设/(x)=3arccosi^-arccosGx-")，贝!)

/'(X)=3(—.)+,•/(3-12x2),

Jl-/yjl-(3x-4x3y

整理，当卜|<；，尸(幻=0,故/(幻三C,又/(0)=3・5一]=》

3

所以：3arccosx-arccos0x-4x)=TI当

P89页(用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算)

tanx

2(3)lim

XT三tan3x

2

s「tanx「sinxcos3x「lcos3x

解：lim-------=lim--------------=lim-------------

_>£tan3xXT三sin3xcosx(-1)•cosx

x222

7t

(用到连续性与极限的运算，相当于X=不代入)

2

“、「Insin/nr.八、

(5)lim----------(m>0)

x->o+Insinx

cos/nx

i.---------m

解：Hm皿也竺=1而迎J

x->o+Insinxcosx

sinx

(整理，等价无穷小的代换)

3.(2)lim(cotx--)(函数差的极限，一定要整理成函数商的极限)

10X

51、vxcosx-sinx..xcosx-sinx/巾十"/人十大।山小花、

解：lim(cotx一一)=lim-------；--------=lim---------z-------(用了等价无穷小的代换)

x-oxx->oxsinxx

4.(3)limtlnC-)]"(募指函数的极限)

XT0+X

1limAln[ln(—)]

解：lim[ln(-)]A=et->o+

XTO+x

先求limxln[ln4)]=lim"产=-叫x=ii(—_=o

++lim4m

x—>oxXTO+1.v->o1x—>o]nx

XX2

(用至nn(')=—lnx,1-0+时，111》——，无穷大量的倒数为无穷小)

X

故lim[ln(-)]x=e°=1

*fO+X

(4)lim(-arctanx)x

XTXC冗

2limxln(—arctanx)

解：lim(—arctanx)r=ex^兀

XT+OO冗

cln(—)+ln(arctanv)------------5

而limxln(—arctanx)=lim——--------------=limarctanx1+x

XT4001X->4<X>JX—>+00j

—XZ—X71

=lim------------=——(用至(jlim------=-1,limarctanx=­)

XT”(1+x)arctanxTI网(1+x)”一制2

故lim(—arctanx)'=e

XT饮兀

2

L3依士心“,任4al.ln(14-x)-(6TX+Z?x)c

7.试确定常数Q,〃，使得hm---------%--------=2.

x2

1+

_mvln(l4-x)—{ax+bx)-i+x^hx)

解：因hm二———---------=lim-^----------,

zox*T02x

又xfO,上式分母2xf0,且极限存在，则必须分子」一一a-2hx^0

1+x

得。=1；贝IJ

---------2b

-(t/+2bx)2

lim^^----------=lim(1+x)-1-2/75

A->02X2——2~2

书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限）

P82页

1.检验罗尔定理对函数/（x）=（X—1）。—2）（x-3）是否成立?

分析：1）即检验是否符合罗尔定理的条件；

2）若符合，自是否存在？

解：易知/(x)=(x-l)(x—2)(x—3)在[1,2],[2,3]上连续，(1,2),(）内可导，且

/(1)=/(2)=/(3)=0,故符合罗尔定理的条件。

巧

又由/(%)=3%2—12x+ll=0,得J=2±、，故有/'C|)=0;&e(l,2)

./(统)=0;。2e(2,3),符合罗尔定理的结论.

故罗尔定理对函数，(幻=。一1)。一2)。一3)成立。

4.(3)证：|arctaiYz-arctan&|<|<2-Z?|

证：设/(x)=arctanx,当〃=人时，等式成立;

若a<b,则易知/(x)=arctanr在［a,加上连续，在(a,切内可导，则由拉格朗日定理

1

存在六(a,b),使于⑥-/(a)=rG)(b—a)=(b-a)

1+十

1

取绝对值，得,「以2助-21'媒21¥/|=(b-d)<|Z?-a|

1+十

同理a>b,可证arctaiYz-arctan&|<|々一.

综合：有|arctana-arctaM-母

3/W

6.设函数/(x)在闭区间［1,2］上可微，证明:/(2)-/(1)=,其中

2g

提示：对/*),g(x)=x?用柯西中值定理.

8.证明：3arcco&r-arccos0x-4x3)=7t,其中

题型；证明函数为常数;

用到的知识：书78页定理3.4(3)的结论，若/'(x)三0,则/(幻三C.(C=/(x(,))

证明：^f(x)-3arccosx—arccos0x-4x3),贝I]

1

rw=3(—^=)+GT"),

71-(3X-4X3)2

整理，当W<；，/'(x)=0,故/(x)三C,又/(0)=3・、一^=万

当卜唱.

所以；3arcco&r-arccos0x-4x3)=zr»

P89页(用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等，目的简化计算)

c,c、i.tanx

2(3)hm-------

x_>£tan3x

2

皿..tanxsinxcos3x「lcos3x

解：hm-----=hm----------=lim---------

X^Ltan3xxf巴sin3xcosxV(-1)-cosx

222

,,一71

(用到连续性与极限的运算，相当于％=二代入)

2

一、..Insin/ra:.小

(5)lim-------(m>0)

Insinx

cosmx

.•m

切Insinsin

解：hm------IT-IX=hm包"四ITIX—

*->o+Insinx^->o+cosx

sinx

(整理，等价无穷小的代换)

3.(2)lim(cotx--)(函数差的极限，一定要整理成函数商的极限)

1°X

5/1、「xcosx-sinx「xcosx-sinx,十小,人丁士.小心、

解：lim(cotx——)=lim----；------=lim-------；-----(用了等价无穷小r的代换)

iox工->°xsinxiox

4.(3)limLln(-)Jv(寡指函数的极限)

XT0+X

1limA'ln[ln(-)]

解：Iimfln(一)「二63x

10+x

1(1)

先求limxln[lnd)]=lim=j(一_=。