圆与三角形或平行四边形（解析版）-2021年中考数学专项训练（河南专用）

专题05圆与三角形或平行四边形

1.如图Z-05-1,在圆内接四边形A8CQ中，ZB=100°,则/£>的度数为（B）

图Z-05-1

A.70°B.80°C.90°D.100°

1.【解析】•.•在圆内接四边形A8c。中，ZB=100°,ZD=18O°-1OO°=8O0.

故：选B.

2.（2020娄底）如图Z-05-2,C、。两点在以A8为直径的圆上，AB=2,ZACD=30°,则A£）=（A）

图Z-05-2

3

Bc-D小

A.2

2.【解析】TAB是。。的直径，・・・乙4。8=90。.・・・乙4。0=30。，・・・乙48£>=30。...工8=2,・・*。=枭8

=1.

故：选A.

3.（2020荆州）如图Z-05-3,A8为。。的直径，。为。。上一点，过B点的切线交AC的延长线于点。，

E为弦AC的中点，AD=10,30=6,若点P为直径A3上的一个动点，连接EP,当AAEP是直角三角形

时，AP的长为4或64盘.

图Z-05-3

3.【解析】•过8点的切线交AC的延长线于点Q,/.AB=y]AD2-BD2=^102-62=8,

AP

当/AEP=90。时，'：AE^EC,经过圆心O,；.AP=AO=4；当/4PE=90。时，贝ijEP〃8D,二7^=

/\D

16

第，VDB2=CDAD,，。。=^^=制=鸟，,ACulO一黑=后，.\AE=^-,，¥="^，・・・AP=3.综上，

<1X-X1UDZycS1UZD

AP的长为4或

4.(2020•河南南阳)如图Z-05-4,已知。A的半径为4,EC是圆的直径，点8是。A的切线CB上一

个动点，连接A氏交。A于点。，弦E/〃AB,连接。凡AF.

(1)求证：ZkABC丝/XABF；

(2)当NCAB=时，四边形AOFE为菱形;

(3)当AB=时，四边形ACBF为正方形.

图Z-05-4

【解析】(1)由EF//AB,得NEFA=NFAB,ZCAB=ZAEF,又NAEF=NAFE,得：ZBAC=ZBAF,

又A2=A8,AC=AF,证得A48C也△A8F；(2)连接“根据AOFE为菱形，确定出/C42的度数：(3)

由四边形AC8F是正方形，得AB=4^AC=4挺.

【解答】解：(1),：EF//AB,

ZEFA=ZFAB,ZCAB=ZAEFf

9：AE=AF,

：.NAEF=NAFE,

：.ZBAC=ZBAF,

XAB=ABfAC=AFf

•二△ABC丝△ABF(SA5)；

(2)如图，连接尸C,

•.•四边形AQFE是菱形，

：.AE=EF=FD=ADf

'：CE=2AE,ZCFE=90°,

・・・NECF=30。,ZCEF=60°f

U：EF//AB,

：.NAEF=NCAB=60。，

故答案为：60°；

(3)由四边形ACB尸是正方形，得48=&/1。=40.

5(202。济源)如图2-05-5,^ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。与BC相交于点D,与CA的

延长线相交于点E,过点D作DFA.AC于点F.

(1)试说明DF是。0的切线;

(2)①当/C=。时，四边形AODF为矩形;

②当tanC=时，4c=34E.

图Z-05-5

【解析】(I)本题主要考察圆的切线知识，证明切线主要证明过切点的半径垂直过切点的直线；(2)

由四边形AOO尸为矩形,得/8。。=90。，，NB=45。，.•./C=N8=45。；(3)连接8E,在RtABEC中，tanC=

BE_2y[2CE_72

~CE~4C£

【解答】解：(1)证明：连接O£>,

OB=OD,

:.NB=NODB,

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZODB=ZC,

：.OD//AC,

'：DF±AC,

凡点。在。。上，

，力尸是。。的切线；

(2)45°,理由如下：

由四边形AOD尸为矩形，得N8OZ>90。，

：.ZB=45°,

/.ZC=ZB=45°,

故答案为:45°；

(3)—,理由如下，

2

连接BE,

是直径，

AZA8=90°,

E

'：AB^AC,AC=3AE,

：.AB=3AE,CE=4AE,

：.BE2^AB2~AE2=SAE2,

即BE=2丘AE,

*qBE141CE&

在RiABEC中，tanC-=----------=.

CE4CE2

故答案为：—.

2

6.(2020洛阳)如图Z-05-6,AB是。。的直径，点C是。。上一点，AD和过点C的切线互相垂

直，垂足为D,直线DC与AB的延长线相交于点P.

（1）求证：AC2=ADAB.

（2）点E是NACB所对的弧上的一个动点（不包括4,B两点），连接EC交直径AB于点F,Z

DAP=M°.

①当/ECB=。时，XPCF为等腰三角形；

②当NECB=。时，四边形ACBE为矩形.

图Z-05-6

AnAr

【解析】（1）连接OC,为直径，AZACB=ZD=90°,/.AACD^AABC,；----------

ACAB

即：AC2=ADAB.（2）由APCD为等腰三角形，得PC=PF,；.NCFP=T7。,：.ZACF=45°,ZECB=90°~Z

ACF=45°,故答案为：45；②由4CBE是矩形，得尸与O重合，,NECB=90。一乙4。0=90。-32。=58。，

故答案为：58.

【解答】解：（1）连接0C,

•..co是切线,

・・・OC.LCD,

VAD±CD,

:.OC//AD,

：.ZACO=ZCAD,

♦：0A=03

：.ZACO=ZCAO,

：.ZCAD=ZCAO,

,：AB为直径，

AZACB=ZD=90°9

：.AACD^AABC,

.ADAC

・・耘一瓦’

即：AC2=ADAB.

(2)①45；②58,理由如下：

①:ZDAP=64°,

AZP=26°,ZCAB=ZDAC=32°9

・・・/C。是△ACF的外角，

:・/CFP>32。,BPZCFP^ZP,

由NPCB=NCA8=32。，知/FCP>NPCB丰/P,

由△PCO为等腰三角形，得PC=PF,

:.zcFP=n0,

，ZACF=45°,ZECB=9()°-ZACF=45°,

故答案为:45；

②由ACBE是矩形，得尸与0重合，

，ZECB=90°-ZAC0900-32°=58°.

故答案为：58.

7（2020西安）如图Z-05-7,△4BC内接于。。，过点B的切线BE〃AC,点P是优弧AC上一动

点（不与A,C重合），连接PA,PB,PC,PB交AC于D.

（1）求证：PB平分NAPC；

（2）当PD=3,PB=4时，求AB的长.

图Z-05-7

AnDJ~\

【解析】(1)连接05,证明・・・03平分NAPG(2)证明△ABDS/XQBA,，——=—-

PBAB

AQ1

即色一-----"8=2,即48的长为2.

4AB

【解答】解：（1）证明：连接。B,

E

B

则OB1.BE,

'JBE//AC,

：.OB±AC,

：.弧48=弧BC,

：.NAPB=NBPC,

.•.P8平分NAPC；

(2)由(1)知，NAPB=NBPC,

'：NBAC=NBPC,

NBAC=NAPB,

'：ZABD=ZPBA,

：./\ABD^>/^PBA,

.ABBD

•,莉—南’

即空=J-

4AB

：.AB=2,即48的长为2.

8.(2020北京)如图Z-05-8,AB为。O的直径，C为BA延长线上一点，CD是。。的切线，D为切点,

OF_LAD于点E,交CD于点F.

(1)求证：ZADC-ZAOF；

(2)若sinC=LBD=8,求EF的长.

3

图Z-05-7

【解析】（1）连接OD,根据CD是。O的切线，可推出/ADC+NODA=90。,根据OFJ_AD,ZAOF+ZDAO=90°,

根据OD=OA,可得/ODA=NDAO,即可证明；

（2）设半径为r,根据在RtZ\OCD中，sinC=1,可得0/）=八O0=3r，AC=2r＞由AB为。O的直

OEOA1

径，得出NADB=9。。，再根据推出OFJ_AD,OF〃BD,然后由平行线分线段成比例定理可得==不=彳,

BDAB2

求出OE,—,求出OF,即可求出EF.

BDBC4

【解答】（1）证明：连接OD,

〈CD是。O的切线，

AOD1CD,

:.ZADC+ZODA=90°,

VOF1AD,

・,.NAOF+NDAO=90。,

VOD=OA,

・♦・ZODA=ZDAO,

.\ZADC=ZAOF;

(2)设半径为r,

,〃1

一sinC=-

在RtAOCD中3，

OP

：.OC3,

,,OD=r,OC=3r)

VOA=r,

/.AC=OC-OA=2r,

：AB为。O的直径，

；.NADB=90。，

又TOFLAD,

.♦.OF〃BD,

OEOA

；.OE=4,

OFOC3'

~BD~~BC~4

OF=6，

••EF=0F-0E=2-

9.（2020湖北）如图Z-05-9,将ABC绕点B顺时针旋转60度得到也BE，点C的对应点E恰好落

在AB的延长线上，连接AD.

（1）求证：BC//AD；

（2）若AB=4,BC=1,求A,C两点旋转所经过的路径长之和.

【解析】（I）先利用旋转的性质证明aABD为等边三角形，则可证/DAB=60°,即NCBE=/DAB再根据平

行线的判定证明即可.

（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解.

【解答】⑴证明：由旋转性质得：三ADBE/ABD=NCBE=60”

AB=BD,:.AA80是等边三角形

所以/DAB=60°

ZCBE=ZDAB

BC//AD'

（2）依题意得：AB=BD=4,BC=BE=],

60^x460乃xl5

--------------1-------------=-71

所以A,C两点经过的路径长之和为1801803.

10.（2020江苏）如图Z-05-10,已知NMON=90°,OT是NMQV的平分线，A是射线上一点，

OA=Scm.动点尸从点A出发，以的速度沿A。水平向左作匀速运动，与此同时，动点。从点0

出发，也以lan/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接PQ,交OT于点8.经过。、P、。三点作

圆，交OT于点C,连接PC、QC.设运动时间为《s),其中0<f<8.

图Z-05-10

(1)求。P+OQ的值；

(2)是否存在实数，，使得线段OB的长度最大？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

(3)求四边形。PC。的面积.

【解析】(1)根据题意可得Op=8_〃OQ=f由此可求得OP+OQ的值；

(2)过B作由)j_0p,垂足为D,则B£)_LOP，设线段BD的长为x，可得BO=0£)=x，

,,PLBD

OB=6BD=GJTPD^-t-x'根据3O//OQ可得△PBOSAPQ。，进而可得切

OQ

2O,2

由此可得._8/一厂，由此可得OB=JE———=