上海2022届高三数学·一模试卷（徐汇）

2021学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷

高三数学试卷

2021.12

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生

应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合"=3/一2%>0},N={xW«l},则MUN=.

2.若直线/的一个法向量是3=(1,-G),则直线/的倾斜角的大小为.

3.已知复数z满足i.z=l+i(i为虚数单位)，则口=.

4.已知某圆锥的底面圆的半径为灰,若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积

为.

5.若函数/(x)=a3+二为偶函数，则实数.

3

n

6.已知菱形A8CD的边长为1,=点£为该菱形边上任意一点，则通.通的

取值范围是.

22

7.设椭圆工+匕=1上的一点尸到椭圆两焦点的距离的乘积为S,则当S取得最大值时，

259

点尸的坐标是.

8.设xwR月/力0,则(x+2)d—i)5的展开式中常数项为.

X

n47r

9.设函数/(X)=COS(0X+W)(O<3<2),若将/(x)图像向左平移半个单位后，所得函

数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则①=.

10.秉承“新时代、共享未来”的主题，第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海

召开.某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安

排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符

合条件的不同安排方案共有种.

11.已知数列{““}和{bn},其中是收=1.41421356237…的小数点后的第n位数字，

(例如q=4,。6=3)，若仇=4，且对任意的“eN”,均有力用=%，则满足

2=〃-2019的所有n的值为.

log,x,x>0,

12.已知函数/（%）=设集合A=Kn<h<m,

|2x+l|,x<0.

若对任意的（a,8）eA,总有心/9）一匕一3。20成立，则机一〃的最大值为.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应

在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知则“a＜h”是“工＞!”的（）.

ab

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

14.如图，己知正方体A3CO-A与GR，M,N分别是A。，R3的中点，则（）

A.直线与直线相交，直线MV//平面ABCD

B.直线与直线平行，直线平面8。。耳

C.直线入。与直线。垂直，直线MN//平面

D.直线与直线异面，直线平面8力。用

15.已知曲线。：型+业1=-1,对于命题：①垂直于8轴的直线与曲线C有且只有一个交点;

43

②若6（玉，x）,鸟（々，％）为曲线C上任意两点，则有出二互＜0.下列判断正确的是（）.

%一“2

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

16.已知记max｛3,…,x"｝表示X],…，尤”中的最大值，min｛y,…,凡｝表示

X，…,％中的最小值.若/（x）=x2-3x+2,g（x）=2'-l,数列｛q｝和也｝满足

4+i=min｛/（4）,g（q）｝,%=max｛2,g（0）｝,at=a,bt=b,a、beR,

则下列说法中正确的是（）

A.若。之4,则存在正整数机，使得册+1＜册

B.若〃＜2,贝!Him=0C.若人之2,则lim"〃=0

D.若bwR,则存在正整数机，使得耙+心切

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必

要的步骤.

17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面A8CD是边长为2的正方形，

P4,平面ABC。，PC与平面A8CD所成角的大小为三，M为/

PA的中点./\

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；Jf

（2）求异面直线8M与PC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

18.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

一11Js---

已知向量根=（/,/sin2x+《-cos2x）,n=（/（x）,-l）,且

（1）求函数/（尤）在x«0,句上的单调递减区间；

（2）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C,其对应边分别为。、枚c,若有

/（A-^|）=L8c=6，求△ABC面积的最大值.

19.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）

某公司经过测算，计划投资A、B两个项目.若投入A项目资金x（万元），则一年创造的利润为

[10.0cx<20

/（万元）；若投入B项目资金x（万元），则一年创造的利润为二？-X-（万

2（20,x>20

元）.

（1）当投入A、B两个项目的资金相同且B项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资

金x（万元）的取值范围；

（2）若该公司共有资金30万元，全部用于投资A、B两个项目，则该公司一年分别投入A、

B两个项目多少万元，创造的利润最大.

20.(本题满分16分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分)

在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线x=-g相切，设该动圆圆心的

轨迹为曲线K，P是曲线K上一点.

(1)求曲线K的方程；

(2)过点A且斜率为左的直线/与曲线K交于5、C两点，若/〃。尸且直线OP与直线

网小

x=l交于。点，求的值;

|。叩。。|

(3)若点。、石在〉轴上，APZ组的内切圆的方程为(x-l)?+y2=i,求"DE面积的

最小值.

21.(本题满分18分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)

设有数列｛七｝对于任意给定的日旺N*),记满足不等式：x.-x,>r,.(j-/)

(JeN,,j*i)的《构成的集合为T(i),并称数列｛%｝具有性质X.

(1)若片=1,j