中考数学全程演练第32课时 相似形

第十单元相似形第32课时相似形(60分)一、选择题(每题5分，共30分)1．丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥，比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为1.04m，则大桥的实际长度约是 (D)A．104m B．1040mC．5200m D．520m【解析】设大桥的实际长度为x，依题意，得1∶500＝1.04∶x；得x＝1.04×500＝520(m)．图32－12．[2015·南京]如图32－1，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,DB)＝eq\f(1,2)，则下列结论中正确的是 (C)图32－1A.eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,2) B.eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ADE的周长,△ABC的周长)＝eq\f(1,3) D.eq\f(△ADE的面积,△ABC的面积)＝eq\f(1,3)图32－23．[2015·永州]如图32－2，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 (D)图32－2A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·AC D.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC)【解析】在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,AC)时，才能使△ADB∽△ABC，不是eq\f(AD,AB)＝eq\f(AB,BC).故答案选D.4．[2014·河北]在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图32－3①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．① ②图32－3乙：将邻边为3和5的矩形按图32－3②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是 (C)A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对图32－45．如图32－4，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为eq\r(5)，则下列结论中正确的是 (B)图32－4A．m＝5 B．m＝4eq\r(5)C．m＝3eq\r(5) D．m＝10【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中点，∴2EB＝AB＝CD，∴eq\f(S△OEB,S△OCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BE,CD)))eq\s\up12(2)，即eq\f(\r(5),m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，解得m＝4eq\r(5).∴m的值为4eq\r(5).图32－56．[2015·武威]如图32－5，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为 (D图32－5A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,9) D.eq\f(1,16)【解析】∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，∴BE∶BC＝1∶4，∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，△BED∽△BCA，∴eq\f(DE,AC)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,4)，∴S△DOE∶S△AOC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AC)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16).二、填空题(每题5分，共20分)7．[2015·东莞]若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是__4∶9__．8．[2015·金华]如图32－6，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是__5__.图32－69．[2015·梅州]如图32－7，△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是__AF＝eq\f(1,2)AC或∠AFE＝∠ABC__．(写出一个即可)图32－7【解析】图32－7①∵△AEF∽△ABC，∴AE∶AB＝AF∶AC，即1∶2＝AF∶AC，∴AF＝eq\f(1,2)AC；②∵△AEF∽△ACB，∴∠AFE＝∠ABC.∴要使以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF＝eq\f(1,2)AC或∠AFE＝∠ABC.10．[2015·泰州]如图32－8，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为__5__．【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，图32－8∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BD,BA).图32－8∵AB＝6，BD＝4，∴eq\f(6,BC)＝eq\f(4,6)，∴BC＝9，∴CD＝BC－BD＝9－4＝5.三、解答题(共20分)11．(10分)[2015·泰安]如图32－9，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图32－9解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴eq\f(BP,CD)＝eq\f(AB,PC)，∴AB·CD＝PC·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BP,BA).∵AB＝10，BC＝12，∴eq\f(10,12)＝eq\f(BP,10)，∴BP＝eq\f(25,3).图32－1012．(10分)[2015·滨州]如图32－10，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：图32－10(1)△ACE≌△BCD；(2)eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,FE).证明：(1)∵△ABC与△DCE都为等边三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))∴△ACE≌△BCD(SAS)；(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC＝∠AEC，在△GCD和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GCD＝∠FCE＝60°，,CD＝CE，,∠BDC＝∠AEC，))∴△GCD≌△FCE(ASA)，∴CG＝CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF＝∠ACB＝60°，∴GF∥CE，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AF,FE).(20分)图32－1113．(10分)如图32－11，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.图32－11(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．【解析】由两个角对应相等得两三角形相似，关键是得到∠BAC＝∠DAE.解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；(2)∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.图32－1214．(10分)[2014·资阳]如图32－12，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连结AD.图32－12(1)求证：△CDE∽△CAD；(2)若AB＝2，AC＝2eq\r(2)，求AE的长．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE，又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2eq\r(2))2＝OC2，∴OC＝3，则CD＝2.又∵△CDE∽△CAD，得eq\f(CD,CE)＝eq\f(CA,CD)，即eq\f(2,CE)＝eq\f(2\r(2),2)，∴CE＝eq\r(2)，∴AE＝AC－CE＝2eq\r(2)－eq\r(2)＝eq\r(2).(10分)15．(10分)[2015·巴中]如图32－13，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.(1)求证：直线CD为⊙O的切线；图32－13(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD图32－13解：(1)证明：如答图，连结CO，∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同，∴∠ABC＝∠AEC.又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC.∵OC＝OB，OD⊥BC，∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°.第15题答图∴∠ODC＋∠COD＝90°.∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，即OC⊥CD.第15题答图又OC为半径，∴直线CD为⊙O的切线；(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于