中考数学全程演练第24课时 直角三角形和勾股定理

第24课时直角三角形和勾股定理(60分)一、选择题(每题5分，共25分)1．[2015·毕节]下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 (B)A.eq\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5) B．1，eq\r(2)，eq\r(3)C．6，7，8 D．2，3，42．如图24－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 (A)A.eq\f(36,5) B.eq\f(12,25)C.eq\f(9,4) D.eq\f(3\r(3),4)【解析】在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(9×12,15)＝eq\f(36,5)，则点C到AB的距离是eq\f(36,5).故选A.图24－1第2题答图图24－23．[2014·甘孜]如图24－2，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为 (D)图24－2A．1 B．2C．3 D．44．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图24－3，则三角板最长边的长为 (D)A．3cm B．6cmC．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)cm图24－3第4题答图【解析】如答图，过点C作CD⊥AD于点D，∴CD＝3.在直角三角形ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6eq\r(2)，故选D.5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图24－4那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是 (C)A.eq\f(24,7) B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(7,24) D.eq\f(1,3)图24－4【解析】在Rt△BCE中，设CE＝x，则BE＝EA＝8－x，根据勾股定理有(8－x)2＝x2＋62，解得x＝eq\f(7,4)，∴tan∠CBE＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(\f(7,4),6)＝eq\f(7,24).二、填空题(每题5分，共25分)6．[2015·内江]在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝__6eq\r(3)__.7．[2014·凉山]已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或eq\r(7)__.图24－58．将一副三角尺按图24－5所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是__eq\f(49,2)__cm2.图24－5【解析】∵∠B＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝7cm，易证AC＝CF，∴S△ACF＝eq\f(1,2)AC·CF＝eq\f(1,2)AC2＝eq\f(1,2)×72＝eq\f(49,2)(cm2)．图24－69．[2014·无锡]如图24－6，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__.图24－6【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝eq\f(1,2)AC＝5，∴AC＝10.在直角△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(102－62)＝8.10．[2015·遵义]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－7①)．图24－7②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝__12__.图24－7【解析】∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2NF·KF＝GF2－2CG·DG，∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－2CG·DG＝3GF2＝12.图24－8三、解答题(共20分)图24－811．(10分)如图24－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．【解析】要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长，在Rt△BCD中，DC＝5cm，∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∵在Rt△CBD中，CD＝5cm，∴BD＝10cm，∴BC＝5eq\r(3)cm，图24－9∴AB＝2BC＝10eq\r(3)cm.图24－912．(10分)如图24－9，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，又∵CD＝3，∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(20分)13．(6分)[2014·荆门]如图24－10，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 (A)A．4eq\r(2)dm B．2eq\r(2)dmC．2eq\r(5)dm D．4eq\r(5)dm图24－10第13题答图【解析】如答图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22＋22＝4＋4＝8，∴AC＝2eq\r(2)，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4eq\r(2)dm.14．(6分)[2015·台州]如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8cmB．5eq\r(2)cmC．5.5cmD．1cm【解析】易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为eq\r(62＋52)＝eq\r(61)≈7.8，故折痕长不可能为8cm.15．(8分)[2015·铜仁]如图24－11，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 (B)A．3 B.eq\f(15,4)C．5 D.eq\f(15,2)【解析】设ED＝x，则AE＝6－x；∵四边形ABCD为矩形，图24－11∴AD∥BC，图24－11∴∠EDB＝∠DBC，由题意得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x，由勾股定理得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝eq\f(15,4)，∴ED＝eq\f(15,4).(10分)图24－1216．(10分)[2015·潍坊]如图24－12，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则__Sn＝eq\f(\r(3),2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(n)__.(用含n的式子表示)图24－12【解析】∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝1，AB＝2，根据勾股定理得AB1＝eq\r(3)，∴S1＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2＝eq\f(\r(3),2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(1)；∵等边三角形AB1C1的边长为eq\r(3)，AB2⊥B1C1，∴B1B2＝eq\f(\r(3),2)，AB1＝eq\r(3)，根据勾股定理得AB2＝eq\f(3,2)，∴S2＝eq\f(1,