数字信号处理课后答案

4-1

(1)证明：

设随机变量当+券的概率密度函数为P(x，X"),有

0000

+%]=JJ(x+y)p(x,y,ri)dxdy

008

=jJxp(x,y,ri)dxdy+Jjyp(x,y.ri)dxdy

-oo-oo—oc-oc

=E[X,I]+E[yn]

(2)证明:

E[axn]=jaxp{x,n)dx=a^xp(x,n)dx=aE[xlt\

-00-00

4-2

(1)证明：

因为=E[y(n)],4=ax(〃)],即=E[W(n)]

且E[y(n)]=£Jx(«)+W)l=+母W(")]

所以〃,=4、+〃w

(2)证明：

=£[(x(n)-//J2]=E[x2(n)]-^

.=仇”(〃)-〃w)4=a*(〃)]_〃,/

B；=E[(X«)-A,V)2]=仇/(〃)]一4；

E[y2(n)]=E[(x(n)+W(n))2]

=£[A-2(/?)]+£[W2(rt)]+2E[x(n)W(n)]

=E[x\n)]+E[W\n)]+2E[x(n)]E[W(n)]

2

=E[x\n)]+E[W(n)]+2^w

4."=3x+〃W)=〃「+

仇：/(〃)]一42

=f[x2(n)]+E[W2(n)]+2〃幺一(4,++2人网)

22

=E[x\n)]-^+E[W(n)]-^w

所以b；=b,2+bw2

4-7

已知

y(〃)=X(/2)-0.8ly(〃—2)

两边取Z变换得

y（z）=x（z）-o.8ir（z）z-2

（i+o.8iz-2）y（z）=x（z）

有

”(Z)==-----?~~-

X(Z)(1+0.81Z-2)

代入Z=e，。，得

1

H(ejaf)=-------------

(l+0.81e%。)

又因为

p»(<y)Px,(«y)

所以有

z、4

P、*3)=1,2

l+0.81"2〃"

又因为自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以

1r4gywm

夕”(加)=/一’[〃»(◊)]=2万1|l+0.81e-2/12do)

4-8

(1)二阶滑动平均(MA)模型

y(n)=x(n)+bxx(n-1)+b2x(n—2)

两边取z变换，有

y(z)=x(z)+旬x(z)z~+dx(z)z-2

y(z)=(i+4z-i+4z-)X(z)

H(Z)==\+b,z-'+仇z-2

x(z)12

代入z=，3,得

Jraja,2j(a

H(e)=l+b,e-+b2e-

又因为

Py3)=附(十)[Pu(<y)

所以输出随机信号的功率谱密度为

4V(⑼=|1+匕£""+86-2及『无

自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以输出随机信

号的自相关序列为

%(M=尸[〃”(⑼]=^尸][1+*o+%-2a『卜冬j"*小+如-12/切勿

(2)一阶自回归(AR)模型

y(n)=x(n)+a[y(n-1)

两边取Z变换，有

y(z)=x(z)+a,y(z)z

,

(l-alZ-)Y(Z)=X(Z)

X(Z)l-a,Z-'

代入Z=，3,得

1

H(eJ6>)=—

l-V"

又因为

⑷=1"(/)「p.3)

所以输出随机信号的功率谱密度为

2

p.{,co)、=------।----a2

»ml-qe*'r

自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以输出随机信

号的自相关序列为

1

%（根）=♦[p力（⑼]=成Keimmd（o

（3）二阶自回归（AR）模型

y（〃）=x（〃）+a}y（n-l）+a2ys-2）

两边取Z变换，有

_|-2

y（z）=x（z）+a,y（z）z+«2y（z）z

_2

（1-«/-'-«2z）y（z）=x（z）

H(z)==2

lBi-«,z-'L2z-

代入Z=小,得

1

H(〃3)=----：----—

J,2},a

\-a,e-°-a1e-

又因为

所以输出随机信号的功率谱密度为

2

P,：v(M=

自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以输出随机信

号的自相关序列为

12-.2n

%、.(/〃)=[p».(<y)]=cr^F''jdco

ja2j(02兀

\-a,e--a2e--Jn

(4)滑动平均(MA)模型一般形式

y(n)=£b「x(〃-i)

z=0

两边取Z变换，有

y(z)=x(z)z"=x(z)£^..z-/

/=0i=0

"的4”

代入Z=小,得

/1=0

又因为

=［"(*)「“KM

所以输出随机信号的功率谱密度为

|/=0

自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以输出随机信

号的自相关序列为

6v（加）=尸［p»3）］=

(5)自回归(AR)模型的一般形式

N

y（〃）=x（n）+^ak-y（n-k）

k=l

两边取Z变换，有

NN

y（z）=x（Z）+Z4•y（z）z"=x（Z）+y（z）Z4•z"

k=\k=\

N

（i-Zq-zT）y（z）=x（z）

A=1

y（z）i

”（Z）

X（Z）N

1-Zv及

k=\

代入Z=e初,得

1

Hd）=N

l-»k”

k=\

又因为

⑷=1"(/)「p.3)

所以输出随机信号的功率谱密度为

P,,3)=

自相关序列与功率谱密度函数为一对傅里叶变换对，所以输出随机信

号的自相关序列为