茆诗松概率论与数理统计教程

茆诗松概率论与数理统计教程汇报人：AA2024-01-19目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念假设检验与区间估计方差分析与回归分析初步概率论基本概念01样本空间所有可能结果的集合，常用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的集合。基本事件只包含一个样本点的事件。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件，即S本身。不可能事件空集∅，不包含任何样本点的事件。样本空间与事件概率定义01事件A发生的可能性大小的度量，记为P(A)。02概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。03等可能概型每个基本事件发生的可能性相同，此时概率可定义为事件包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数。概率定义及性质事件的独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则称事件A与B相互独立。多个事件的独立性对于n个事件，如果任意k个（k≤n）事件的交的概率等于这k个事件概率的乘积，则称这n个事件相互独立。条件概率在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。计算公式为P(A∩B)/P(B)。条件概率与独立性如果事件B1,B2,…,Bn构成一个完备事件组（即两两互不相容且并集为必然事件），则对任意事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。该公式用于计算复杂事件的概率。在全概率公式的条件下，可以推导出贝叶斯公式P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]。该公式用于在已知某些信息（即事件A发生）的情况下，更新对原因（即各Bi）的信念或概率估计。全概率公式贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式随机变量及其分布02随机变量定义及分类定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。分类随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量取值可数，而连续型随机变量取值不可数。离散型随机变量的分布律描述了随机变量取各个值的概率。分布律定义二项分布、泊松分布、几何分布等。常见离散型随机变量分布非负性、规范性（所有取值的概率之和为1）。分布律性质离散型随机变量分布律常见连续型随机变量分布正态分布、均匀分布、指数分布等。概率密度函数性质非负性、规范性（在整个实数轴上的积分为1）。概率密度函数定义连续型随机变量的概率密度函数是一个非负可积函数，其在某区间内的积分值表示随机变量落在该区间内的概率。连续型随机变量概率密度函数随机变量函数分布030201随机变量函数的定义：设X是一个随机变量，g(X)是X的函数，则g(X)也是一个随机变量，其分布称为随机变量X的函数分布。离散型随机变量函数分布：通过分布律的变换求得。连续型随机变量函数分布：通过概率密度函数的变换求得，需注意变换后的概率密度函数可能需要进行归一化处理。多维随机变量及其分布03联合分布函数定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限的或可列无限的，则称(X,Y)是离散型的二维随机变量，称P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...为二维随机变量(X,Y)的联合分布律。如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)可表示为F(x,y)=∫∫f(u,v)dudv，则称(X,Y)为连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。联合分布律联合概率密度二维随机变量联合分布边缘分布函数条件分布律条件概率密度边缘分布与条件分布二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数定义为FX(x)=P{X≤x}，关于Y的边缘分布函数定义为FY(y)=P{Y≤y}。对于离散型二维随机变量(X,Y)，在已知{X=xi}的条件下，随机变量Y的条件分布律为P{Y=yj|X=xi}=pij/pi.，其中pi.是X的边缘分布律。对于连续型二维随机变量(X,Y)，在已知{X=x}的条件下，随机变量Y的条件概率密度为fY|X(y|x)=f(x,y)/fX(x)，其中fX(x)是X的边缘概率密度。独立性如果二维随机变量(X,Y)的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称二维随机变量(X,Y)是相互独立的。相关性如果二维随机变量(X,Y)不是相互独立的，则称它们是相关的。相关系数ρXY用于量化这种相关性，ρXY=0表示不相关，-1≤ρXY≤1。独立性及相关性设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=∬f(x,y)dxdy，其中积分区域由Z=X+Y≤z确定。Z=X+Y的分布设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则Z=max{X,Y}的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=FX(z)FY(z)，其中FX(z)和FY(z)分别是X和Y的边缘分布函数。Z=max{X,Y}的分布多维随机变量函数分布数理统计基本概念04样本从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。总体研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。样本容量样本中包含的个体数目，通常用n表示。总体与样本0102统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量的性质包括无偏性、有效性、一致性等，用于评价统计量的优劣。统计量及其性质大数定律当样本容量足够大时，样本均值趋近于总体均值。t分布用于描述样本均值与总体均值的差异程度，尤其在总体方差未知时。中心极限定理当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，无论总体分布是什么。抽样分布定理VS用样本统计量的某个值来估计总体参数的方法，如最大似然估计、矩估计等。区间估计根据样本统计量的分布性质，构造出包含总体参数的置信区间的方法。置信区间具有一定的置信水平，如95%置信区间表示有95%的概率包含总体参数的真值。点估计参数估计方法假设检验与区间估计05010203原假设与备择假设在假设检验中，原假设（$H_0$）通常表示总体参数等于某个特定值或属于某个特定范围，而备择假设（$H_1$）则表示总体参数不等于该特定值或不属于该特定范围。检验统计量与拒绝域检验统计量是根据样本数据计算出的一个统计量，用于判断原假设是否成立。拒绝域是检验统计量取值的范围，当检验统计量落入拒绝域时，我们拒绝原假设。显著性水平与P值显著性水平（$alpha$）是事先设定的一个概率值，表示当原假设为真时，错误地拒绝原假设的概率。P值是在原假设下，观察到的样本数据（或更极端的数据）出现的概率。当P值小于或等于显著性水平时，我们拒绝原假设。假设检验基本原理单侧检验与双侧检验单侧检验只关注参数的一侧，例如只关注参数是否大于或小于某个特定值。在单侧检验中，拒绝域只位于参数空间的一侧。单侧检验双侧检验关注参数的两侧，即参数是否不等于某个特定值。在双侧检验中，拒绝域位于参数空间的两侧。双侧检验置信区间是一个估计总体参数的区间，该区间以一定的置信水平包含了总体参数的真值。置信水平通常表示为$(1-alpha)$，其中$alpha$是显著性水平。枢轴量法是一种构造置信区间的方法，它利用样本数据与总体参数的函数关系，构造出一个枢轴量，并根据枢轴量的分布性质确定置信区间的端点。置信区间枢轴量法区间估计方法第一类错误第一类错误是指在原假设为真时，错误地拒绝原假设的概率，即显著性水平$alpha$。要点一要点二第二类错误第二类错误是指在原假设为假时，未能拒绝原假设的概率，通常表示为$beta$。第二类错误与样本量、总体分布以及备择假设与原假设之间的差异程度有关。假设检验中两类错误方差分析与回归分析初步06方差分析的目的通过比较不同组别数据的方差，推断各组之间是否存在显著差异。方差分析的基本思想将总变异分解为组间变异和组内变异，通过比较组间变异与组内变异的相对大小，判断因素对指标的影响是否显著。方差分析的前提条件各总体应服从正态分布，且各组方差相等。方差分析基本原理单因素方差分析如比较不同品种农作物的产量、不同教学方法对学生成绩的影响等。单因素方差分析的应用场景仅考虑一个因素对指标的影响，通过比较不同水平下指标的均值差异，判断该因素对指标的影响是否显著。单因素方差分析的概念建立假设、构造检验统计量、确定拒绝域、作出决策。单因素方差分析的步骤双因素方差分析同时考虑两个因素对指标的影响，通过比较不同水平组合下指标的均值差异，判断这两个因素对指标的影响是否显著。双因素方差分析的步骤建立假设、构造检验统计量、确定拒绝域、作出决策。双因素方差分析的应用场景如研究不同品种和施肥量对农作物