小学奥数题库《几何》几何图形三角形4星题（含详解）全国通用版

几何-几何图形-三角形-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

三角形B1.了解三角形的特征和三角形的分少考

类

2.知道三角形的内角和定理和三边

关系

3会.计算三角形的面积

知识提要

三角形

・概念

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

・三角形的分类

按边分：等腰三角形（包括等边三角形）、不等边三角形

按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形

・三角形有关定理

三角形的内角和：三角形的内角和为180。

三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边

・三角形的面积计算公式

三角形的面积=底X高+2

精选例题

三角形

1.如图，直角三角形4BC中，4B的长度是12厘米，4c的长度是24厘米，D、E分别在

AC.BC±..那么等腰直角三角形8DE的面积是平方厘米.

【答案】80

【分析】过。点作BE垂线DF,那么BF=FD=FE.

因为△ABCsAFDC,所以

DFAB1

FC=^4C=2

2

那么BF=FE=EC所以=那么

BE2=^BC2=JX(122+242)=320,

S△BDE—80.

2.将下列图左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操

作），见下列图中间.再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸

板（第二次操作），见下列图右边.这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了刀.

【答案】4095

【分析】第一次操作，剪了3刀，得到4个小三角形.

第二次操作，剪了3X4刀，得到4X4个小三角形.

第三次操作，剪了3X4X4刀，得到4X4X4个小三角形.

第四次操作，剪了3X4X4X4刀，得到4X4X4X4个小三角形.

第五次操作，剪了3X4X4X4X4刀，得到4X4X4X4X4个小三角形.

第六次操作，剪了3X4X4X4X4X4刀，得到4X4X4X4X4X4个小三角形.

因此前六次操作，共剪了3X（1+41+42+43+44+45）=4095刀.

3.如图，在正方形4BCD中，E、尸分别在BC与C。上，且CE=2BE,CF=2DF,连接

BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQ4和PCNG,设正方形MGQ4

的面积为Si,正方形PCNG的面积为Sz,那么Si：$2=.

B

【答案】9:4

【分析】连接8久EF.

设正方形边长为3,那么

CE=CF=2,BE=DF=1,

所以，

EF2=22+22=S,BD2=32+32=18.

因为

EF2-BD2=8X18=144=12”

所以

EFBD=12.

由梯形蝴蝶定理，得

SAGEF'SAGBD：SADGF-SnBGE

=EF2:BD2:EF-BD:EF-BD

=8:18:12:12

=4:9:6:6,

所以，

66

S»BGE=4+9+6+6s梯形8DFE=膏梯形BDFE.

因为

9

S△BCD=3x3+2=—,S△CEF=2x2+2=2,

所以

5

S梯形BDFE=S△BCD-S△CM=5，

所以，

653

5AeG£=^X-=-.

由于ASGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以

36

CW=-X21=-

55

69

ND=3--=

55

所以

AM:CN=DN:CN=3-2,

那么

22

Si：S2=AM:CN=9:4.

4.4BCC是边长为12的正方形，如下图，P是内部任意一点，BL=DM=4、BK=DN=5,

那么阴影局部的面积是

【答案】34

【分析】（方法一）特殊点法.由于尸是内部任意一点，不妨设P点与4点重合（如下列

图），那么阴影局部就是A4MN和A4LK.而△4MN的面积为（12-5）X4+2=14,

△ALK的面积为（12-4）X5+2=20,所以阴影局部的面积为14+20=34.

（方法二）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、可得下列图所示:

那么有：

C112

sAPDC+S△PAB—玲ABCD=万'12=72.

同理可得：

S△PAD+S△PBC=72;

而

s△PDM：SAPDC=DM:DC=4:12=1:3,

即

1

S△PDM=△PDC；

同理：

155

s△P8L=△pAB，S△PND=适S△PDA，SAPBK=适SAPBC；

所以：

15

(S△PDM+S△PBL)+(S△PND+S△PBK)=§(SAPDC+S△p/jg)+适(SAPDA+S△PBC)

而

(SAPDM+S△PBL)+(S△PND+S△P8K)

=($△PNM+S△PLK)+(S△DNM+S△BLK)；

阴彩面积

1

S△DNM=S△BLK=5X4x5=10；

所以阴影局部的面积是:

sAPNM+S△PLK

15

=§(S△PDC+S△PAB)+记(SAPDA+S△PBC)一(S△DNM+S△BLK)>

即为：

15

-X724--X72-10X2=24+30-20=34.

5.将一个正方形沿对角线剖分为4个直角三角形，然后按照如下图方法移动4个直角三角

形，中间空白处形成的正方形的对角线长为厘米.

【答案】2

【分析】

如图，原正方形的边长为8,变换后BD=BC+CD,新正方形的边长为4C,

AC=AB+BC,其中48=。。=1cm.所以，新正方形的面积与原正方形相等.图中阴影局

部两个小三角形面积也相等，所以中间空白处形成的正方形的对角线长为1+1=2cm.

2

6.如图，48C。是梯形，AD||BC,AD-.BC=1:2,的尸$ADOE=1：3,SASEF=24cm,求

△AOF的面积.

【答案】6cm2

【分析】初看之下，48CD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形40EF内似

乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为民F这两

2

个点的位置不明确.再看题目中的条件，SUOF：SADOE=1：3,S&BEF=24cm,这两个条件中

的前一个可以根据差不变原理转化成AADE与A/IDF的面积差，ABEF那么是ABCF与

△8CE的面积差，两者都涉及到E、尸以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过E、尸分

别作梯形底边的平行线.

如下列图，分别过&尸作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为儿再过B作

4。的垂线.

3

由于S△w：SADOE=1:3,所以S&DOE=3sXAOF,故SADOE-SAAOF=2s^AOF.根据差不变

原理，这个差等于△/DE与的面积之差.而△4DE与有一条公共的底边

AD,两个三角形/。边上的高相差为儿所以它们的面积差为故

1

2sA4。尸—xh.

再看△BEF,它的面积等于是ABCF与△9CE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的

底边BC,BC边上的高也相差九，所以这两个三角形的面积之差为］Cxh,故

SABEF=：BCxh.

由于4。:8。=1:2,所以BC=24D,那么S人BEF=X/i=X/iX2=4SUOF，所以

SAAOF=SABEF+4=6cm2.

7.如图：在梯形4BC£＞中，上底是下底的!其中「是BC边上任意一点，三角形4ME、三

角形BMP、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.

【答案】21

【分析】如图,

设上底为2a,下底为3a,三角形/BE与三角形的高相差为九.

由于

S△ABF-S△ABE=S△BMF-S&A^E=20-14=6,

所以

1

-x2ah=6.

即

ah=6.

又

sACDE-S△CDF=S△DEN-SACFN

1

=-x3ah

1

=-x3x6

=9,

所以

sADEN=12+9=21.

8.如下列图所示，把边长为6厘米的等边三角形剪成四局部，从三角形顶点往下1厘米处，

呈30°角剪下，使中间局部形成一个小的等边三角形.请问：所有阴影局部的面积是中间小

等边三角形面积的几倍？

Icm

1cm

【答案】ii倍

【分析】如下列图所示，将三角形的3个角分别接出3个小的等腰三角形.

30

中间小的正三角形的面积与接出的三个等腰三角形面积的和相等(是接出的每个等腰三角形的

面积的3倍).

根据在正六边形中学过的知识，一个顶角为120°.腰长1厘米的等腰三角形的面积，与边长

是1厘米的正三角形的面积相等.如果把它设为S,边长为6厘米的正三角形的面积是

(6X6)5=365,那么阴影局部的面积是36S-3s=33S.因为中间小正三角形的面积是3S,

所以答案是33S+3s=11(倍).

9.右图是由9个等边三角形拼成的六边形，中间最小的等边三角形的边长是1,问：这个六边

【答案】30

【分析】设第二小的等边三角形边长为凡那么第三大的等边三角形边长为a+1,次大的

等边三角形边长为a+2,最大的等边三角形边长为a+3,它也就是2a,因此a=3,从而六

边形的周长是

2X3+2X(3+1)+2X(3+2)+(3+3)=30

10.如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三

角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果.

【答案】见解析.

【分析】分割的方法不唯一，如下图.

11.如图，四边形48C。和四边形CEFG都是正方形，三角形4FH的面积为6平方厘米，求

三角形CCH的面积.

【答案】6

【分析】通常求三角形的面积，都是先求它的底和高.题目中没有一条线段的长度是的，所

以我们只能通过创造等积的方法来求.直接找三角形"DC与三角形4F”的关系还很难，而且

也没有利用“四边形48CD和四边形CEFG是正方形〃这一条件.我们不妨将它们都补上梯形

DEFH这一块.寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DE凡4之间的关系.经过验算，可以

知道它们的面积是相等的.从而得到三角形"DC与三角形4FH面积相等，也是6平方厘米.

12.如下图，在长方形4BCC中，AE-.ED=AF:AB=BG.GC.的面积为20,△FGD的

面积为16,那么长方形48CC的面积是多少？

【答案】52

【分析】设4尸为a、AB为b,AE为a、ED为b,BG为a、GC为b（AF和4E并不相等

都设为a,是因为这里一个是“a”,一个是，a，；或者认为一个是a,一个是ax：但由于运算

的过程当中，每个图形的面积都会涉及到长、宽两边的线段的乘积，所以最后产生的影响都会

消掉，所以不会出错），那么可以列出2个等式：

b(a+b)--a2--b2--(h-a)(a+b)=20

11,1'

b(a+b)--a(a+b)-产--(ft-a)a=16

化简得：

(ab=20

[b2=32-

所以长方形"BCD的面积

b(a+b)=ab+/?2=20+32=52.

13.如下图，三角形4BC的面积为1,I）、E、尸分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的

面积？

BD

【答案】7

【分析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如图1所示.

由于以E、F分别是3条边上的三等分点，而△ABC的面积为1,所以AABE、△BCF、

△的面积都是g,这3个三角形的面积之和就等于大△4BC的面积，它们的重叠局部是

3个小三角形：A/IME、ABNF、&CPD.因此阴影△MNP的面积就等于这3个小三角形

的面积之和.

假设SACPD=T,由于D是8c上的三等分点，可知SABPD="2"（如图2所示）.

困2图3

由燕尾模型可得/叱=箓=2，所以SAAPC="6"；而|^空=器=2,所以SA“BP="12"（如

图3所示）.

因此，整个ZMBC的面积是“12"+"6"+"2"+T="21"，那么T=],即$皿°=白

类似地，小△BNF和小A/IME的面积都是《，那么阴影局部的面积就是3=；.

14.一张正方形纸片上被针扎了2013个孔，这些孔和正方形顶点中任意三点都不共线.引假

设千条互不交叉的直线段，它们的端点都是这些孔或正方形的顶点，以将这些正方形分割成一

些三角形，并且这些三角形内部和边上都不再有孔.请问：一共得到多少个三角形？一共引了

多少条线段？（如图是示意图）

【答案】4028,6040

【分析】设共有n个三角形.从“角的度数”这个角度考虑：

所有三角形的内角度数之和S,有两种算法：

①每个三角形的内角和是180度，故S=180n；

②每一个内部的点，都会产生360度；每一个正方形的顶点，都会产生90度，故

5=360X2013+90X4;

所以

180n=360X2013+90X4,

解得

n=4028.

接下来算线段数：线段都是三角形的边，4028个三角形共有4028X3（条）边，其中外围4条

边不是新引的线段，所以新引线段所产生的边有（4028X3-4）（条）；但是每条线段被两个三

角形的边共用，所以新引的线段共

（4028X3-4）+2=2014x3-2=6040（条）.

15.如下图，Z4=ZB=6O°,且ZB=24,BD=16,AC=S,而且三角形CCE的面积等于四

边形48EC的面积.请问：DE的长度是多少？

【答案】14

【分析】如下列图所示，延长4c和BD交于点F.

由于Z4=，B=6O°,因此△AB尸为等边三角形，那么

AF=BF=AB=24.

而BQ=16,AC=8,由此可得。尸=16,DF=8f所以&CDF是△4BF的

16x82

24X24=?

又知△CDE的面积等于四边形ABEC的面积，△CDE的面积是△ABF的

那么

27

DP.DE=-：—=4:7,

vlo

因此CE=14.

16.如下图，三角形4。氏三角形COE和正方形48CD的面积之比为2:3:8,三角形BCE的面

积是4平方厘米.四边形/8CE的面积是多少平方厘米？

【答案】52

【分析】根据题目给的比例关系，设SZMDE=''2",SACDE="3‘；SAADB=S4CDB="4".从

E向BC做垂线，与BC延长线相交于点G,与4D延长线相交于点凡如下列图所示，

那么

BCXEGBCx(EF+FG)

sABCE=2=2

BCxEF+BCxFG

2

ADXEFBCXDC

=22

=S△ADE+S△BCD

="6”.

所以

S△BDE=S△BCD+S△CDE-S△BCE=T，

那么“1”=4平方厘米.

而四边形48CE总面积为“13〃，所以它的面积是52平方厘米.

17.如下图，三角形的面积为1.D、E分别是48、4c的中点，尸、G是BC边上的三等

分点，请问：三角形DE尸的面积是多少？三角形QOE的面积是多少？

A

13

【答案】4;20-

【分析】注意到。、E分别为48、4c的中点，那么CE就是AABC的中位线，连结CD,

如图1所示.

图1

那么XDEF与△CDE面积相等，因此

1111

sADEF=S△CDE=/△ACD=5X5XS△ABC=1

图2

而DE=gBC,FG=；BC,因此

OEDE3

~OF=7G=2f

即有

OE33

EF=3+2=5,

.,.।、，.5ADOE3,一八

转化为面积比雇）二g.而S△DEF=%，所以

J△DEFJr

3313

SADOE=jXSADEF=jX,=

20,

18.直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角

形的面积之和大多少？

【答案】122平方厘米

【分析】延长4R、DQ,过E、F分别作4R、DQ的平行线，在大正方形内交成四个全等的

直角三角形和一个小的正方形CHMN,四个全等的直角三角形和四个白色的三角形的面积之

和相等，所以三个正方形的面积之和与4个三角形的面积之和的差为：两个小的正方形与最小

的正方形的面积和即：

SARPB+SPQDC+SNMHG=9X9+5X5+(9-5)X(9-5)=122(平方厘米)

19.如下图，E。垂直于等腰梯形48CD的上底4,并交BC于G,4E平行于BD,

ZDCB=45°,且三角形48。和三角形ECC的面积分别是75、45,那么三角形4E。的面积

是多少？

【答案】30

【分析】的ACDE的底边是EC,高是CG；所求的△4ED的底边是EC,高是4"它们

有公共的底边E2另一个的三角形是△48,如果能找到一个以E。为底边的三角形，它的

面积等于△48C的面积，那么底边ED就成了这三个三角形的公共底边.

图I

如图1,连结BE.由于4EIIBC,把A4BD作等积变换，变成4BDE,此时△BDE以DE

为底边以8G为高，且面积是75.这样一来，这3个三角形有相同的底边DE.于是来看看它

们的高BG、CG、4。之间有什么关系.

由于四边形4BCD是等腰梯形，如图2所示，再作分别从4、D出发与BC垂直的垂线4H、