空间向量及其运算的坐标表示 课件

第一章1.3空间向量及其运算的坐标表示1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一空间向量的坐标运算问题导学

思考设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？答案m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.梳理(1)空间向量a，b，其坐标形式为：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0__________________模|a|＝______________________

夹角cos〈a，b〉＝

知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a1b1＋a2b2＋a3b3＝0类型一空间直角坐标系与空间向量的坐标表示题型探究

解如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上.∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上，∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0).在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0).建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便为宜.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.反思与感悟C类型二空间向量平行、垂直的坐标表示(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.反思与感悟跟踪训练2

在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点.证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，

类型三空间向量的夹角与长度的计算解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.反思与感悟跟踪训练3

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥P-ABCD的体积；解∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，在Rt△POB中，∠PBO＝60°，(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解如图，以O为原点，OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，∵异面直线所成的角为锐角或直角，当堂训练

1234561.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(

)A.(16,0,4) B.(8，－16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)解析4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).D2.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(

)A.4B.15C.3D.7C123456解析∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.1234563.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(

)A.(1,1,1) B.(－4,6，－2)C.(2，－3,5) D.(－2，－3,5)解析若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.B解析依题意(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，D1234561234561234566.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，则x＝___.解析∵(a＋b)·