圆锥曲线的方程（单元测试卷）（解析版）

《2020—2021人教版高中数学新教材（选择性必修）配套提升训练》

专题15《圆锥曲线的方程》单元测试卷

一、单选题

1.（2020•辽宁省高三月考（文））若抛物线＞2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是

（）

A.6B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

抛物线）2=4%的焦点尸。,0）,准线为x=—l,山M到焦点的距离为10,

可知历到准线的距离也为10,故到”到的距离是9,故选C.

22

2.（2019.涟水县第一中学高二月考）椭圆上+匕=1的焦距为2,则加的值等于（）

m4

A.5B.3C.5或3D.8

【答案】C

【解析】

若椭圆的焦点在x轴上时，则有2＞/比一4=2,解得，”=5；

若椭圆的焦点在＞轴上时，则有2A/匚£=2,解得m=3.

综上所述，，律=5或3.

故选：C.

3.（2018•镇原县第二中学高二期末（文））设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2,则抛物线的方程是

（）

A.y2=-8xB.y2=8xC.y2=-4xD.y2=4x

【答案】B

【解析】

:准线方程为x=-2

/.p=4

...抛物线的方程为y2=8x

故选B

4.（2020.天津高三一模）设尸为抛物线。：产=3%的焦点，过”且倾斜角为30的直线交C于A，3两点,

贝|“蜴=（）

A.B.6C.12D.7百

3

【答案】C

【解析】

由题意，得尸g,0）.又因为k=tan30°=3,故直线AB的方程为y邛―，与抛物线V=3x联

立，得16%2_168》+9=0，设4不，%）,3。2，%），由抛物线定义得，|48|=%+/+，=

5.（2018•镇原县第二中学高二期末（文））已知。+匕=9,。=3,则椭圆的标准方程是（）

A.二+£=1B.3

=1

2592516

「X2/mX2y2]x2y2

C.—+—=1或——+—=1D.---F—=1

25161625169

【答案】c

【解析】

由a+b=9，c=3,a2=b'+C2>可解得/=25，h2=16»

则当椭圆的焦点在x轴上时，此时椭圆的标准方程为：!J=l;

2516

22

当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：―+^-=1.

1625

故选：C

22

6.（2018.镇原县第二中学高二期末（文））双曲线三-二=19>0）的一条渐近线为0x+8y=0,则6=

12h2

()

A.3B.2C.V3D.272

【答案】D

【解析】

b

双曲线的焦点在X轴，。=2百，渐近线方程是y=±-x,而已知一条渐近线为0x+Gy=O,

a

k=$=—显,所以3=逅，解得：b=2母.

V332V33

故选：D

1）,离心率e=,，则椭圆的标准

7.（2018•民勤县第一中学高二期末（文））已知椭圆的一个焦点为F（0,

2

方程为（）

B.x2+^-=l22

A.—+y2=lC.土+E=1D.=

2243

【答案】D

【解析】

由题意知c=l,又离心率6=！，所以。=2,〃=/一,2=3,即所求椭圆的标准方程《+.=1，故

234

选D.

8.（2019•涟水县第一中学高二月考）设双曲线二—4=1（a>0,〃>0）的虚轴长为2,焦距为2&,则双

ab~

曲线的渐近线方程为（）

A.y=±^2xB.y=±2x

1

c.尸争D.y=±—x

-2

【答案】C

【解析】

由题意知2b=2,2c=26,

/.b=l,c=V3,a2=c2-b2=2,a=6,

，渐近线方程为y=土叽=±~^x=土^~x.故选C.

9.（2019•浙江省高二期中）如图，A，B,C是椭圆^+与=1（。＞匕＞°）上的三个点，A3经过原点O,

ab~

AC经过右焦点尸，若加'LAC且忸目=32丹，则该椭圆的离心率为（)

「V3D,也

Vx•------------

23

【答案】B

【解析】

取左焦点"，连接A耳,C耳,8耳，BFLAC,根据椭圆的对称性可得：A必耳是矩形,

Vi\CF\=m,\CFl\=2a-m,\BF\=\AFi\-3m,\AF\=2a-3m,\AC\=2a-2m,

222

心中，|A娟2+|AC「=|Cf；M|J：(3,„)+(2a-2m)=(2a-m)

解得：加=；,则|AfJ=a,|A耳=a

在/中|Af；「+|A尸「=|咐「即：a2+a2=(2c)2,a2=2c2,^=-

a~2

所以椭圆离心率为也

2

故选：B

10.（2018・安徽省合肥一中高三一模（文））已知椭圆「+；/=]3>1）的左、右焦点分别为6,F2,A是

Cl~

椭圆在第一象限上的一个动点，圆。与片A的延长线，片弱的延长线以及线段A6都相切，且“（3,0）为

其中一个切点.则椭圆的离心率为（）

A百R2血&D.逅

2323

【答案】B

【解析】

设圆C与耳A的延长线相切于点N,与A舄相切于点T，山切线长相等，得14vl=|4刀，

闺N|=|6M|,|鸟1=内明,6(-c,0),乙(c,0),

由椭圆的定义可得，+国=2a,

\FiN\=\FiM\=3+c=\AFl\+\AN\=2a-\AF2\+\AN\=2a+\AN\-(\AT\+\TF2\)

=2a—\F2M\=2a—(3—c),

贝ij2。=6,即。=3,

又6=1,所以0=〃2_尸=20，

因此椭圆的离心率为e=£=2叵

a3

故选：B.

二、多选题

11.（2019•山东省青岛二中高二月考）（多选题）下列说法正确的是（）

A.方程/+孙=工表示两条直线

x22

B.椭圆一一+-2v—=1的焦距为4,则〃?=4

\Q-mm-2

22

C.曲线5+三=移关于坐标原点对称

y-v?h

D.双曲线的渐近线方程为y=±±x

ab~a

【答案】ACD

【解析】

方程*=》即%（兀+y-1）=0,表小x=o,x+y—1=0两条宜线，所以A正确;

22

椭圆工+上=1的焦距为4,则10-〃7-（加-2）=4或m-2-（10-加）=4,解得机=4或加=8,

10—mm-2

所以B选项错误；

7922

曲线奈+与=孙上任意点尸（乐丁），满足获+,孙，尸（％、）关于坐标原点对称点p（-x，-y）也满足

[+金少㈠）㈠），即P（T,-y）在总+卷=孙上，所以曲线总+关于坐标原点对称，所

以C选项正确；

r2v2b

双曲线==/1即；IHO,其渐近线方程为y=±-x正确，所以D选项正确.

a~b-a

故选：ACD

12.（2019•山东省高二期中）已知椭圆C的中心在原点，焦点E，「2在丁轴上，且短轴长为2,离心率为逅,

3

过焦点片作y轴的垂线，交椭圆。于p,。两点，则下列说法正确的是（）

22

A.椭圆方程为幺v+%2=1B.椭圆方程为r工+y2=i

33

c.闸=¥D.AP^Q的周长为4G

【答案】ACD

【解析】

由已知得，2b=2,b=],£=直,

a3

又。2=6+。2,解得标=3,

.••椭圆方程为工+/=1,

3

如图:

.•.|尸@=空=*=半，AP6。的周长为4a=46.

故选：ACD.

己知双曲线C过点（3,、巧）且渐近线为y=±弓X,则下列结论

13.（2019•江苏省苏州实验中学高二月考）

正确的是（）

A.C的方程为三—丁=1B.C的离心率为百

3

C.曲线y=e-2—1经过。的一个焦点D.直线x——1=0与C有两个公共点

【答案】AC

【解析】

对于选项A：由己知y=±走x，可得y2=；%2,从而设所求双曲线方程为:/一丁二力，又山双曲线。

过点（3,、汇），从而:x3?->=4,即4=1,从而选项A正确;

对于选项B：由双曲线方程可知a=JJ,b=l,c=2,从而离心率为e=£=2=空，所以B选项

aM3

错误;

对于选项C：双曲线的右焦点坐标为（2,0）,满足y=e"2-1,从而选项C正确;

x-V2y-l=0

对于选项D：联立《,整理，得/一2夜y+2=0，由A=（2&）2-4*2=0,如直线与双

上一>2=]

13'

曲线。只有•个交点，选项D错误.

故选AC

三、填空题

14.（2019•江苏省高三三模）双曲线--的焦距为,

2

【答案】2G

【解析】

双曲线]一丁=1的焦距为2c=2，7寿=2百・

故答案为：2G.

15.（2019•重庆巴蜀中学高二期中（理））若双曲线与-!=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则。

的值为.

【答案】6

【解析】

22n

双曲线1■—3=1的左焦点为（―3,0）,即-5=-3,故，=6.

故答案为:6.

16.（2020.浙江省高三二模）已知椭圆C：工+二=],尸为其左焦点，过原点O的直线/交椭圆于A,B

97

两点，点A在第二象限，且NFAB=NBFO,则直线/的斜率为.

【答案】一立

3

【解析】

22

设4（%,%），则3（一%,一%），/<0,%>0且^-+2^_=i,

♦.•F为其左焦点，

F（-V2,0）,tanZBF（9=―%■后，直线48的斜率%=&.

\>-xQ+V2x0

经分析直线AF的斜率必存在，设为&=y。仄,

玉）+V2

则tanZFAB=\一'=.——-，

1+女#2x0~+v2x0+%~

又乙FAB=/BFO,：.「~产」——-=—匕=,

x0-+yj2xQ+yQ--xQ+y/2

/.x^+242xn+y^=2,又卷+写=1,%€（-3,0）,可解得：%=一手，%=当，

.♦.直线/的斜率为瓦=-立.

/3

故答案为：一也.

3

17.（2019.乐清市知临中学高二期末）已知抛物线>2=2x的焦点为尸，定点4（3,2）.若抛物线上存在一点

M，使|MA|+|MF|最小，则点/的坐标为,最小值是.

/7

【答案】（2,2）-

【解析】

根据题意，作|M”|垂直于准线，画出几何关系如下图所示：

根据抛物线定义可知，同=

因而当AM,H在同一直线上时，|肱4|+\MF\的值最小，

7

此时=

M的纵坐标为2,代入抛物线解析式可知4=2x,

所以M的横坐标为2,即M（2,2）,

故答案为：M（2,2）,—：

四、解答题

22

18.（2018•镇原县第二中学高二期末（文））已知双曲线，—£=1（。>0力>0）的一条渐近线方程是

y=&,它的一个焦点在抛物线24%的准线上.

（1）求双曲线的焦点坐标；

（2）求双曲线的标准方程.

2.,2

【答案】⑴F（±6,0）；（2）—r-^-=1

927

【解析】

因为抛物线V=24x的准线方程为x=-6,

则由题意得，点耳（-6,0）是双曲线的左焦点.

（I）双曲线的焦点坐标尸（±6,0）.

（2）由（1）得片+〃=。2=36，

又双曲线的一条渐近线方程是y=瓜,

所以2=百，解得片=9,/>2=27，

a

22

所以双曲线的方程为：--一二=1.

927

19.（2019•湖南省衡阳市八中高二月考）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在抛物线上，且

点M的横坐标为4,|MF|=5.

(1)求抛物线的方程；

(2)设过焦点/且倾斜角为45。的/交抛物线于A8两点，求线段A3的长.

【答案】(I)=4》；(2)8.

【解析】

(1)由题意得|〃/|=4+5=5,

，P=2,故抛物线方程为产=4-

(2)直线/的方程为y-0=tan45oyx—l),即y=x-l.

与抛物线方程联立，得,

y-=4x

消y,整理得/一6%+1=0,其两根为和%，且玉+々=6.

由抛物线的定义可知，［48|=七+々+。=6+2=8.

所以，线段AB的长是8.

20.(2020•陕西省西安市远东一中高二期末(理))已知抛物线C的顶点为坐标原点O,对称轴为x轴，其

准线过点(一2,—1).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线焦点尸作直线I,使得抛物线C上恰有三个点到直线/的距离都为2后，求直线/的方程.

【答案】(l)/=8x；(2)x±y-2=0

【解析】

(I)由题意得，抛物线的焦点在x轴正半轴匕设抛物线C的方程为y2=2px,

因为准线过点(-2,1),所以々=2,即〃=4.

所以抛物线C的方程为寸=8x.

(2)由题意可知，抛物线C的焦点为尸(2,0).

当直线/的斜率不存在时，C上仅有两个点到/的距离为2应，不合题意；

当直线，的斜率存在时，设直线，的方程为>=左(1-2),

要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线/的距离为2百，

过点P的直线平行直线/：y=左（％-2）且与抛物线c相切.

设该切线方程为丫=履+〃?，

代入y2=4x,可得4+（2kw-8）x+>=0.

由A=（2切L8）2—4/加2=0,得版=2.

1

由T一=2形，整理得相2=4二,

Zkm-2>解得&2=],即/：=±1.

因此，直线/方.程为x±y-2=0.

21.（2019•会泽县第一中学校高二月考（理））设抛物线C：/=2外（夕>0）的焦点为尸，M（p,p-1）是。

上的点.

（1）求C的方程：

⑵若直线/：y=丘+2与。交于A，5两点，且|A月•忸曰=13,求人的值.

【答案】（1）x2=4y（2）k=±l.

【解析】

（1）因为M（p,p-1）是。上的点，

所以p2=2p（p-l）,

因为P>0,解得，=2,

抛物线C的方程为£=4y.

⑵设8（电,％），

-y—_|_2

由42“得f-48=0，

x=4y

△=16k2+32>0

则王+/=4%，xtx2=-8,

由抛物线的定义知，|AF|=y+l,忸F|=%+1，

则|AF|.|M|=（X+1）（必+1）=（必+3）（展+3）,

=k2XyX2+3左（西+电）+9,

=4a2+9=13,

mk=±i.

22.（2018•民勤县第一中学高二期末（文））在直线/：x-y+9=0上任取一点过M作以耳（—3,0）,

6（3,0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程.

22

【答案】M（—5,4）,—+21=1

'74536

【解析】

设£（一3,0）关于/：X—y+9=0的对称点F（x,y）,

―上+9=0

22x=-9

则《=>V

y-0y=6

=—1

、％+3

F（-9,6）,连鸟尸交/于M，点M即为所求点.

F2F：y=-^（x-3）,即x+2y_3=0,

x+2y-3=0x--5

解方程组《x-y+9=0=,M（-5,4）,当点A/'取异于"的点时，间＞归图.

,y=4

满足题意的椭圆的长轴最短时，2a=|*|=J（—9-3）2+6z=66，

所以。=3/，c=3,〃=。2一。2=45-9=36.

22

椭圆的方程为：—+^-=1.

4536

23.（2019•安徽省高二期末（理