也说数学文化

圆的文化意义圆的构造简洁、匀称，圆的外观赏心悦目。圆的周边光滑且到圆心等距离。圆的设计简单、制作方便又省料。圆的内涵丰富，组合与变形又五彩缤纷。圆具有浓厚的文化色彩，具有强大的社会文化功能。环视现实生活，到处充满着圆的形状：圆的图案设计、建筑造型，生产用品，圆的器械设备、设施，圆的交通工具……。仰望天星空，月亮、太阳，圆圆的图形，日复一日地以圆环轨道运动着。因此，圆在人们的心中无时不有，无处不在。圆与人们的生活紧密相连，与人的生命息息相关。圆在人们的精神生活领域中不可或缺。人们追求圆满的生活、圆满的人生。圆在科学发现领域中也起着不可估量的作用，天文学家经过长期的观察发现：北部夜空的众星以北极星为中心旋转。群星中的绝大多数始终在圆形轨道上运行。数学、力学、电学、光学的发展都离不开圆的推动。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求……”这样，挖掘若干数学题材的文化意义，并在数学教学中加以渗透就显得十分必要。本文将结合我们承担的全国教育科学“十五”规划教育部重点课题：“文化传统与数学教育现代化”的研究，从文化的视角对圆作出较为全面的分析与探讨。1圆对数学自身发展的作用1.1圆揭示了数学自身的规律圆周长与直径长之比是一个恒定的值π，称为圆周率。任意一个三角形有唯一一个外接圆和一个内切圆。任意一个矩形有唯一一个外接圆。三角形每边上的高线是在其他两边上射影所得六点共圆。互为共轭双曲线的四焦点共圆。以椭圆的任意焦半径为直径的圆与大辅助圆相切。以双曲线任意焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切。以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切。XYOY1.2XYOYXYXYXO由两个同心圆生成椭圆与双曲线（图1，图2）。由圆生成三种圆锥曲线：如图3，给定圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)A(a,0)，B(b,0)(b≠0,b≠a)是x轴上的两个定点，P是圆O上的一个动点，Q是P在y轴上的射影，直线AP与BQ的交点为M，则点M的轨迹：(1)当时为抛物线，(2)当且时为椭圆,当为圆；(3)当时为双曲线（证明详见参考文献[5]）。在平面上滚一个轮子，位于轮子的圆周上的一个固定点的轨迹就是摆线或旋轮线。钟摆的摆锤的运动轨迹是摆线。摆线形齿轮避免滑动，力可以从一个齿轮平滑地传递给另一个齿轮，摆线是研究齿轮面曲线的理论工具。故宫太和殿的“大屋顶”两侧的曲线是旋轮线。旋轮线大屋顶可以使降落在大屋顶上的雨水用最快的速度流走，对保护房顶有利；旋轮线大屋顶的屋檐是向上翘的，上翘部分对柱子有一个向里的推力，而屋顶对柱子有一个向外的推力，两者正好平衡，对房子的稳定性有好处。圆的渐开线也是研制齿轮理论的工具，还可应用于制作渐开线变压器。球面积的研究与圆有关，球面积是球大圆面积的4倍。球体积的研究从圆开始。截面是圆面与圆环面等积，从而得出球体积的公式。在欧拉方程eix＝cosx＋isinx中，令x＝π得eiπ＋1＝0因式中有π，故必与圆有关。由圆生成三角函数。欧拉在《无穷小分析引论》中指出：三角函数是一种函数线与圆半径的比。非欧几何以圆面为非欧模型。直线是圆心在无穷远点，半径为无穷大的圆。2圆对人类物质文明的影响2.1圆在机械动力中的运用大型机器的搬迁，甚至是整幢大厦的迁移，目前仍然是使用古老的滚筒（现用圆柱形钢管），使其向前移动，到达指定地点。滚筒的运用是古代人类智慧的产物，它可节约90%的劳力，克服人类自身力量不能达到的境地。金字塔、神庙、巨型雕像等宏伟建筑的建造，离不开滚筒这一运输工具。随着圆形车轮的改造发展，从马车、自行车到汽车、火车等交通运输工具日益发达，甚至连飞机的起落架也离不开圆形轮胎。圆形的车轮滚滚向前，它们改变人类历史的进展，改造人们的生活方式和思维习惯。大型起重机的前身是组合滑轮。目前小作坊、小工厂使用滑轮的频率仍然很高。因为滑轮经济实惠，效能高。轮船、汽车等的方向盘是圆的，它便于操作，感觉自然、流畅。圆形的风车将其轴心（圆心）固定，风车受风力、水力作用自动操作。柴油机启动时，受叶轮的惯性作用，不停地旋转。排风扇、电风扇都是圆形的，它们在电力的作用下均匀旋转。钟表面的设计一般是圆的，因为分针、时针绕中心旋转而成的就是圆的。2.2圆在建筑力学中的运用现代的马路底下到处预埋着各类管道：进水管道、下水管道、煤气管道、通信管道、电力管道等。首先圆形管道具有刚性，能经受内外力的挤压，不变形、不破裂；其次圆形管道衔接方便，管道畅通，不易阻塞。古罗马的竞技场等运用了圆、半圆、半球和弧，反映了当时古罗马的主流数学思想。古罗马人最早在大型建筑中采用拱顶，在拱顶结构中，每一块石头都不会弯曲，石头之间只有压力。拱底会产生侧向推力。在一系列拱顶中，侧向推力相互抵消，在设计拱顶结构的桥梁时，两端的拱顶要支撑在坚硬的岩床上。2.3圆在生活中的运用陶瓷产品以圆形为主，它包括碗、盆、水缸、罐子，还有装饰品等。制作毛坯时，它是以某曲线绕轴旋转而成。出土文物中，有大量的陶瓷物品，其制作工艺在古代已达到很高的水平。另外，锅、茶杯、热水瓶、硬币等都是圆形。2.4圆在生态中的表现台风以滚动的方式在海面、陆地上移动。枫树粒子以旋转的方式在地面上传播。激流以漩涡的方式滚滚向前。在平静的水面上，丢下一粒小石子，湖面上荡漾起环形水波纹，从中心向外扩散，形成一系列的同心圆。随着波的传播，这些圆的周长递增，而对应的振幅递减。海啸是一种长周期的水波。波在三维空间中的传播可以形成球面波，产生一系列同心球。从太阳出发射向地球的阳光就是一个球面波，根据球面波的几何性质反推出在太阳表面的辐射强度。利用这个方法，可以获得9300万英里以外的太阳的信息。紫外线、x射线、γ射线波长较短，红外线、微波、无线电波波长较长，它们都以球面波的方式传播。3圆对人类精神文明的影响精神文化（或观念文化）是人类在社会生活中形成的人的心理以及进一步加工形成的理论化、系统化的观念形态，包括人们的心理和社会意识形态两个层次。“月上柳梢头，人约黄昏后”、“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”。古代诗人、词人常常借圆月抒发情怀，把对亲人的思念寄托在茫茫苍穹中的浩浩明月。中国的传统节日中秋、除夕家人大团圆，合家幸福美满。中华人民共和国国徽，象征各族人民大团结，团结在中国共产党周围。文化的本性是沟通和被理解。奥运会的五环会徽，象征全球五大洲各国人民，通过体育竞技构筑友谊。体育是世界语言，五环是世界体育符号语言。天圆地方是中国传统思想。在自然界和人们的生活、生产中，有圆必有方，有方必有圆，内圆外方，外圆内方，上（半）圆下方等现象比比皆是。圆是西藏民族同神交流、与天地对话的一种方式，一种途径。圆是西藏宗教的象征。以中原为圆心，皇权（独裁）为半径，形成闭关锁国的圆，由盛唐到晚清，中国一步一步走向衰弱。以自我为圆心，欲望为半径，成为贪得无厌的圆。贪官污吏们是历史的真实写照，他们必然自取灭亡。以民心为圆心，民主为半径的圆是开放的圆、进步的圆、文明的圆。4圆对人类行为方式的影响行为文化是人类处理个人和他人、个体和群体之间关系的文化产物，包括人们的行为方式、个人对社会事务的参与方式，以及作为这些方式的固定化、程式化的社会经济制度、政治法律制度。圆具有均匀对称、不偏不倚、公正公平客观的品质。因此国际上重大会议都以圆桌会议的形式举行，此举在于不分大国、小国，强国、弱国，国家之间一律平等。内方外圆的做人准则，表达一种对自己严格，对他人宽容的风范，并且以礼相待，以理服人，团结一切可以团结的人，不迁就，不逢迎。没有规矩，不成方圆。凡事都有规范，在法律框架内，人们才能参与各种社会事务活动。建章立制，才能安邦治国，政治家们以政治上的圆熟手腕统治国家、地区，达到安抚民众、稳定政局、发展经济，提高人民的物质文化水平。人们以各种圆形物质装饰自己的身体，如戒指，手镯，耳环等。表达人们向往美的生活。姑娘明媚、清澈、圆圆的大眼睛，是美的化身。而人们怒目瞋视时的圆眼睛，却在表达极度愤怒的心情。斐波那契数列与黄金分割比的联姻一、问题探究《普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）》习题2.1B组第3题：已知数列的第1项是1，第2项是1，以后各项由给出。⑴写出这个数列的前5项；⑵利用上面的数列，通过公式构造一个新数列，试写出数列的前5项。如果我们将这一问题作进一步的探究，会有意想不到的结果。问题1：写出数列的前15项（甚至更多），你有什么发现？，，，，，，，，，，，，，，……我们可以发现，随着的增大，越来越接近1.618，即黄金分割比。问题2：能否把与之间的关系转化为数列本身的递推关系？。问题3：当足够大时，与的近似值之间有什么关系？我们还可以用什么方法求这个近似值？当时，可认为与相等，若设==，则在递推式中，当时，有，即，解得。问题4：若我们一直利用递推式，可得到什么呢？时，，又黄金分割数为。我们看到，由无数个1以连分数的形式就可以表示无理数黄金分割比与黄金分割数。从上面看出来，黄金分割数是，即得近似值，而即为斐波那契数列。二、延伸阅读：1.斐波那契数列(Fibonacci)列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci）是意大利数学家，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下：月份01234567⋯大兔对数011235813⋯小兔对数10112358⋯兔子总对数1123581321⋯如果用Fn表示第n个月兔子的总对数，那么Fn能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89⋯．这个数列显然有如下的递推关系：Fn=Fn-1+Fn-2（n>1,n为正整数），F0=0，F1=1(1)满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和(an=an-1+an-2)。通项公式为:它的通项公式又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。值得一提的是，斐波那契数列有许多重要而有趣的应用。例如，优选法中的分数法正是基于此数列；大自然中植物的叶序、菠萝中的鳞状花萼、蜜蜂进蜂房的方式数、艺术上的黄金分割点等都与斐波那契数列有着密切的联系。斐波那契数列的应用Fibonacci数列在数学上有着广泛的应用．对于解决较为复杂的组合问题起到了很大的作用。例如求用n只1×2的骨牌完全覆盖2×n的棋盘的不同覆盖数f(n)．此问题通过讨论得到两种情况，如图所示因此，f(n)=f(n-1)+f(n-2),初始条件f(1)=1，f(2)=1。若用常规方法很难求解，利用Fibonacci数则可轻易的得出它的通项公式。斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。2黄金分割黄金分割又称黄金律，是指事物各部分之间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0．618或1618：l，即长段为全段的0．618。0．618-一个极为迷人而神秘的数字，古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。黄金分割实际上是一个数学比例关系如下图所示。把长为1的线段分成两部分，使较长一部分恰好是全长与较短部分的比例中项即：1：x=x：1-x，x2+x+1=0，解得：x=，0.618：1称为黄金分割比，0.618称为黄金分割数，c点称为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点。此分割被称为黄金分割。图黄金分割黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割律。3.3黄金分割的应用在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩，而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使楼群变得雄伟雅致，古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。埃及的金字塔、巴黎圣母院、印度的秦姬陵、上海的东方明珠电视台等都是按照黄金分割来设计的。在艺术方面，油画“蒙娜丽莎的微笑”是达·芬奇最著名的作品之一，它的构图就完美地体现了黄金分割在油画艺术上的应用，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面的位置完美地体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美，使它成为一幅传世名作，古希腊最经典的作品雕像维纳斯女神，它的上半身与下半身之比率正好是0.618。植物界也有采用金分割的地方。如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。普通的树叶的宽与长之比接近0.618，翩翩起舞的蝴蝶双翅展开后的长度与身长之比也接近于0.618。打开地图，你就会发现，那些好茶产地大多位于北纬30度左右，特别是红茶中的极品“神红”产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上，这不免让人联想起了与北纬30度有关的地方奇石异峰、名川秀水的黄山庐山、九寨沟等，衔远山、吞长江的三峡淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。4.结论由递推关系式表示数量关系的Fibonacci数列在以前并没有引起多大重视和震动，随着电子计算机的广泛应用，Fibonacci数列这个古老的数学问题越来越受到人们的重视。费氏数列的多项性质运用在生活中一定能带来很多方便之处。费氏数列的前后项的比是黄金比例，这样的特性就可以再生活中需要用到黄金比的地方却又很难测出准确值时使用。另外的一些特性也都在数学、几何、美学甚至生物和营建都有很多的应用空间。数学和音乐2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。尔后，他又在琴弦上做试验，进一步发现只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。他继而发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。千百年来，研究音乐和数学的关系在西方一直是一个热门的课题，从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人都潜心研究过音乐与数学的关系。数学几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，透入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀更留下“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。现代作曲家巴托克、勋伯格、凯奇等人都对音乐与数学的结合进行大胆的实验。希腊作曲家克赛纳基斯（1933~）创立“算法音乐”，以数学方法代替音乐思维，创作过程也即演算过程，作品名称类乎数学公式，如《S+/10-1.080262》为10件乐器而作，是1962年2月8日算出来的。马卡黑尔发展了施托克豪森的“图表音乐”（读和看的音乐）的思想，以几何图形的轮转方式作出“几何音乐”。数学是研究现实世界空间形式的数量关系的一门科学，它早已从一门计数的学问变成一门形式符号体系的学问。符号的使用使数学具有高度的抽象。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。数学给人的印象是单调、枯燥、冷漠，而音乐则是丰富、有趣，充溢着感情及幻想。表面看，音乐与数学是“绝缘”的，风马牛不相及，其实不然。德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：“音乐，就它的基础来说，是数学的；就它的出现来说，是直觉的。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成也可以由数学公式组成。”数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律：而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然音响的抽象，并通过联系着这些符号的文法对它们进行组织安排，概括我们主观世界的各种活动罢了，正是在抽象这一点上将音乐与数学连结在一起，它们都是通过有限去反映和把握无限。数学和音乐位于人类精神的两个极端，一个人全部创造性的精神活动就在这两个对立点的范围之内展开，而人类在科学和艺术领域中所创造出来的一切都分布在这两者之间。音乐和数学正是抽象王国中盛开的瑰丽之花。有了这两朵花，就可以把握人类文明所创造的精神财富。被称为数论之祖的希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯认为：“音乐之所以神圣而崇高，就是因为它反映出作为宇宙本质的数的关系。”世界上哪里有数，哪里就有美。数学像音乐及其它艺术能唤起人们的审美感觉和审美情趣。在数学家创造活动中，同样有情感、意志、信念、冀望等审美因素参与，数学家创造的概念、公理、定理、公式、法则如同所有的艺术形式如诗歌、音乐、绘画、雕塑、戏剧、电影一样，可以使人动情陶醉，并从中获得美的享受。古希腊欧几里德在《几何原本》所建立的几何体系，谌称为“雄伟的建筑”，“庄严的结构”，“巍峨的阶梯”。它使得多少科学少年为之神往！数学中优美的公式就如但丁神曲中的诗句，黎曼几何学与肖邦的钢琴曲一样优美。当你读到某函数可演算为无穷级数形式的时候，你的胸坎顿时也会充满一种人与天地并立的浩然之气。当你面对圆周率Л=3.141592653……时，也许不会引起你的任何美感，但是当你知道这个数表示一切你所见到的和未见到的，小至墨水瓶盖大至一个星球之圆形的周长与直径之比值时，你会为之赞叹！无穷级数的和谐和对称性就具有一种崇高美，读它就像读一首数学诗，它仿佛是漂浮在蔚兰天空的一片白云，无边无际。犹如宋朝朱敬儒的名句所道出的境界：“晚来风定钓丝闲，上下是新月。千里水天一色，看孤鸿明灭。”反观数之美也蕴含于音乐艺术之中，验证了莱布尼茨的名言：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”众所周知，古今中外的音乐虽然千姿百态，但都是由7个音符（音名）组成的，数字1～7在音乐中是神奇数字：数字1

万物之本。《老子》云：“道生一、一生二、二生三、三生万物。”整个宇宙就是一个多样统一的和谐整体。这也是一条美感基本法则，适用于包括音乐在内的所有艺术及科学之中。古希腊数学家尼柯玛赫早就提出“音乐是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调。”简言之，便是“一”变“多”，“多”变“一”的原理。中国俗语也说：“九九归一”。文艺复兴时期以来五百年的专业音乐在内容上和形式上尽管存在天壤之别，但都共同遵循这个原理。音乐上许多发展乐思的手法，如重复、变奏、衍生、展开、对比等等，有时强调统一，有时强调变化，综合起来，就是在统一中求变化，在变化中求统一。单音是音乐中最小的“细胞”，一个个单音按水平方向连结成为旋律、节奏，按垂直方向纵合成为和弦，和声。乐段（一段体）是表达完整乐思的最小结构单位。数字2

巴洛克、古典、浪漫派音乐使用大小调调式体系，形成音阶与和声学的二元论（dualistictheory）。数字3

三个音按三度音程叠置成为各种各弦。三和弦是最常用的和声建筑材料。爱因斯坦认为不管是音乐家还是科学家都有一个强烈的愿望，“总想以最适合的方式来画出一幅简化的和易于领悟的世界图像。”数字“2”与“3”在音乐中概括了最基本的节拍类型二拍子与三拍子以及曲式类型二段式三段式；T2=D3是开普勒行星运动第三定律的数学公式，表示行星公转周期（T）的二次方与它同太阳距离（D）的三次方相等。开普勒从大量十分零乱的观测资料中发现了这个自然规律，它是那样简洁、优美，被人称为奇妙的“2”与“3”。T2=D3令人感到一种多么简洁的美感！数字4

人声天然地划分为四个声部，任何复杂的多声部音乐作品都可以规范为四部和声。我们平时所弹奏的钢琴作品的曲式结构，大多数都是“古典四方体”方整结构，即4+4+4+4……，4小节为一乐句，8小节为一乐段。数字5

五度相生律（毕达哥拉斯律）及五度循环揭示了乐音组织的奥秘，而和声五度关系法则是构筑和声大厦的基石。数字6

六和弦、六声音阶、一个八度之内有六个全音，常用的调是主调及其五个近关系副调。数字7

更显神秘莫测，常用的七声音阶由七个音级组成，巴洛克时期以前采用中古教会七种调式，19世纪民族乐派之后中古教会七声调式部分地得到复兴。太阳光谱由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色组成，以牛顿为代表的科学家，曾对“七音”与“七色”之间奥妙的对应关系进行过有趣的探索。人体生理结构分为七大系统。旧约圣经中上帝创造世界用了七天，因此一个星期有七天。就连神话中的牛郎织女也选“七夕”（农历七月初七晚上）来相会。化学元素是物质世界的基础，门捷列夫发现的“元素周期表”的结构图中有七个横行，七个周期，还有七个主族，七个副族。任何空间物体、图形都可以简化、抽象为点—线—面—体几何图形，显示出数理统一与和谐的美。同样任何钢琴作品也可据此进行简化和抽象。例如：横向时间系列分为乐句—乐段—乐章—套曲；纵向空间系列分为音级—音程—和弦—和声；钢琴织体层次分为单音一单声部一声部层（或伴奏层）织体类型。某些数列广泛地应用于音乐之中，如等比数列1、2、4、8、16、32用于音符时值分类及音乐曲式结构中；菲波那齐数列用于黄金分割及乐曲高潮设计中。菲波那齐是13世纪意大利数学家，他于1228年提出一个兔子繁殖数问题：“如果有一对小兔，两个月后就能生，每月生一对，生下来的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少对？”打从那以后，人们越来越注意这个数学题的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这便是奇妙的菲波那齐数列。这个整数列有三个特点：（1）任何相邻两个数，其第一个数与第二个数的比值约等于0.618，相邻两个数的位置越靠后，比值越接近，称为黄金比率。（2）任何相邻三个数，其中前两个数之和等于第三个数，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此类推。（3）任何相邻三个数，其中第一个数和第三个数的乘积与第二个数的平方相差1。从自然界到日常生活处处都存在菲波那齐数列，存在黄金比率。某些花的花瓣数是菲波那齐数：水仙花3瓣，金凤花5瓣，翠雀花8瓣，金盏花13瓣，紫苑花21瓣，雏菊花34，55或89瓣，向日葵的花盘上面有21个顺时针旋形与34个逆时针旋形；在动物中还可以发现一些软体动物的甲壳花纹、昆虫翅膀对的数目在一定程度上符合这个数列；一些无机物质的原子排列、分子的缔合形式也与这个数列接近。人体最理想的比例（最靓的身材）应是上半身及下半身（以肚脐为界）的比值与黄金比率相吻合，例如一个模特的身高为1.618米，则上半身为0.618米，下半身为1米。如果再细分，上半身的黄金点在咽喉，面部的黄金点是眼睛，下半身的黄金点在膝盖。建筑物廊柱间的比例，绘画、摄影构图地平线的分割，主体在画幅中的位置，一本书长与宽的比例如果符合黄金比率的话就显得美，如果改为1：1则显得呆板，单调。文学、戏剧与诗歌写作中的起、承、转、合原则，所谓“转”便是转折、对比，是写作的关键所在。“转”在整个结构部位中接近黄金分割点。菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右（见本教程曲44，第一个8小节乐段）；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。本教程曲46《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。每段又由等长的两个4小节乐句构成。全曲共分6句，24小节。理论计算黄金分割点应在第14小节（24×0.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、Aˊ在各自的第二乐句第2小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，使乐曲的内容与形式更加完美。大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位置在中部或发展部越靠后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。如本教程曲64莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160×0.618=98.88）。据美国数学家乔·巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。然而美国的另一位音乐家认为。“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主部与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织，形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金比例。我们再举一首大型交响音乐的范例，俄国伟大作曲家里姆斯－柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到处都存在数的美，对于我们的眼睛，尤其是对我们学习音乐的人的耳朵来说，“美是到处都有的，不是缺乏美，而是缺少发现”如今人们记录音乐最常用的方法是简谱和五线谱,它们都与数学有密切的联系.简谱不正是用阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7来表示do、Re、Mi、Fa、Sol、La、Si的吗?难怪有人开玩笑说,学音乐要上达到8.为什么呢?因为阿拉伯数字8在五线谱中也发挥着重要的作用,它常常在器乐谱中以或的面目出现,这就是移动八度记号.如果标记在五线谱的上方,那么虚线内的音符要移高一个八度演奏,而标记在五线谱的下方,显然虚线内的音符要移低一个八度演奏.另外还要下达到0,因为在简谱中0表示休止符.再看简谱和五线谱上,一般都会出现这样的标记,这种标记就是用来表示音乐进行的快慢的,即音乐的速度.比如,132就表示以四分音符为单位拍,每分钟132拍.此外,在每一首乐曲的开头部分,我们总能看到一个分数,比如,2/4、3/4、3/8、6/8等,这些分数是用来表示不同拍子的符号,即是音乐中的拍号(theTimeSignature),其中分数的分子表示每小节单位拍的数目,分母表示单位拍的音符时值,即表示以几分音符为一拍.拍号一旦确定,那么每小节内的音符就要遵循由拍号所确定的拍数,这可以通过数学中的分数加法法则来检验.比如,和就符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数,因为1/2+1/4+1/4=4/4,1/2+1/8+1/8=3/4;而又因为1/16+1/2+(1/4+1/8)=15/16≠4/4,1/8+1/2=5/8≠3/4,所以不符合由拍号4/4和3/4分别所确定的拍数.这些看似简单的要求正是音乐作曲的基础.钢琴键盘上的数学.看一下乐器之王———钢琴的键盘吧,其上也恰好与斐波那契数列有关.我们知道在钢琴的键盘上,从一个C键到下一个C键就是音乐中的一个八度音程(如图1).其中共包括13个键,有8个白键和5个黑键,而5个黑键分成2组,一组有2个黑键,一组有3个黑键.2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契数列中的前几个数.音乐中的等比数列.如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合,那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了:1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.再来看图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个C键振动次数的2倍,因为用2来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的.我们容易求出分割比x,显然x满足x12=2,解这个方程可得x是个无理数,大约是1106.于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的1106倍,而全音的音高是那个音的音高11062倍.实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[3].音乐中的数学变换.数学中存在着平移变换,音乐中是否也存在着平移变换呢?我们可以通过图2的两个音乐小节[2]来寻找答案.显然可以把第一个小节中的音符平移到第二个小节中去,就出现了音乐中的平移,这实际上就是音乐中的反复.把图2的两个音节移到直角坐标系中,那么就表现为图3.显然,这正是数学中的平移.我们知道作曲者创作音乐作品的目的在于想淋漓尽致地抒发自己内心情感,可是内心情感的抒发是通过整个乐曲来表达的,并在主题处得到升华,而音乐的主题有时正是以某种形式的反复出现的.比如,图4就是西方乐曲WhentheSaintsGoMarchingIn的主题[2],显然,这首乐曲的主题就可以看作是通过平移得到的.如果我们把五线谱中的一条适当的横线作为时间轴(横轴x),与时间轴垂直的直线作为音高轴(纵轴y),那么我们就在五线谱中建立了时间-音高的平面直角坐标系.于是,图4中一系列的反复或者平移,就可以用函数,,近似地表示出来[2],如