学案乘法公式与全概率公式

乘法公式与全概率公式

【第一学时】

【学习目标】

1.通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养。

2.借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养。

【学习重难点】

1.掌握乘法公式及其推广。(重点)

2.会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率。(难点)

【学习过程】

一、新知初探

乘法公式及其推广

(1)乘法公式：PCAB)=P(A)PCB\A),其中尸(A)>0.

(2)乘法公式的推广：

设4表示事件，i=l,2,3,且P(4)>0,P(AIA2)>0,

则P(AiA2A3)=P(Ai)P(A2|AI)P(A3|AIA2)O

其中P(A3H1A2)表示已知Al与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示4A2A3同

时发生的概率。

二、初试身手

1.思考辨析(正确的打“『'，错误的打“X”)

(1)P(AB)=P(84)。()

(2)PCAB)=P(A)P(B)o()

(3)P(AM2A3A4)=P(Ai)P(A2IA1)P(A3IA1A2)P-《加),其中尸(Ai)>0,

P(A2A1)>0,P(A1A2A3)>0.()

12

2.已知尸(8|A)P(A)=5,则P(AB)等于()

5B2

A.$10

3.某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功

的概率是（）

12

IOB.lo

89

cJ—10D.To

=；,则P(=_

4.若P(B|A)

三、合作探究

类型1乘法公式及其应用

【例1】一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球（不放

回），求两次取到的均为黑球的概率。

类型2乘法公式的推广及应用

［例2］设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为盘若第一次落下未打

破，第二次落下打破的概率为7看若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9心试求透

镜落下三次而未打破的概率。

类型3乘法公式的综合应用

【例3】已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品。但采购员不知有几件次品，

为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废

品，则他拒绝购买这一批产品。求采购员拒绝购买这批产品的概率。

【学习小结】

1.乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)进一步揭示了P(A),P(B|A)及尸(AB)三者

之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想。

2.该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A,3不相互独立的

前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式。

3.注意P(A)P(B\A)与P(B)P(A\B)的等价转化。

【精炼反馈】

31

1.若P(8)=§,P(A|B)=],则尸(A8)为()

3「5

A-10B-6

C,2D,5

2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽一张，则第2次才抽

到A的概率是()

±B工

A13D-17

164

C,22?D,5?

3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一

粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是O

4.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没

有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为o

5.已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不

合格球的概率。

【第二学时】

【学习目标】

1.通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养。

2.借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养。

【学习重难点】

1.理解并掌握全概率公式。（重点）

2.了解贝叶斯公式。（难点）

3.会用全概率公式及贝叶斯公式解题。（易错点）

【学习过程】

一、新知初探

1.全概率公式

（1）P（B）=P（A）P（阴A）+尸（彳）PCB\A）；

（2）定理1

若样本空间。中的事件4,A2,4满足：

①任意两个事件均互斥，即4A=0,i,j=\,2,〃，/j；

②Ai+A2+...+4=。；

③尸（4）>0,z=l,2,...»no

则对Q中的任意事件B,都有8=84i+BA2+...+34。

2.贝叶斯公式

(1)一般地，当OVP(A)<1且P(B)>0时，有

P(A)P(B|A)

PCA\B)=

P(B)

（2）定理2若样本空间。中的事件4,A2,…，4满足：

①任意两个事件均互斥，即4A=0,i,j=\,2,…，〃，屎/；

②Ai+A2+…+4=。；

③1>P（A,）>0,i=\,2,no

则对。中的任意概率非零的事件8,有

P(4⑻

P®

二、初试身手

1.思考辨析（正确的打“4”，错误的打“X”）

(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A\B)o()

(2)P(B)=P(A)PCB\A)+P(A)P(B|A)o)

C)PMIR')_P(A8)_P(8)P(A|B)

1_P(B)~P(A)P(B\A))

已知事件A,B,且P(A)=1,P(B|A)1_2

2.=亍PCB\A)=亍则P(B)等于()

3B-I

A.5

1

C.3D-15

3.一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地

任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为。

4.对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%,而当机器发

生某种故障时，其合格率为55%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%。则已知

某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是o

三、合作探究

类型1全概率公式及其应用

【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品。

（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这

个产品是正品的概率。

类型2贝叶斯公式及其应用

【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病。在患有此种疾病的人群中，通过化验

有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应。某地区此种病的患

者仅占人口的0.5%。若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？

类型3全概率公式与贝叶斯公式的综合应用

【例3】假定具有症状S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d2,为三种，现从20000份患有

疾病4,di,心的病历卡中统计得到下列数字：

疾病人数出现S症状人数

d\77507500

di52504200

dy70003500

试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别

的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？

【学习小结】

n

1.全概率公式尸(B)=£p(A)P(B|Ai)在解题中体现了化整为零的转化化归思想。

2.贝叶斯概率公式反映了条件概率尸(阴A)=今黑，全概率公式P(A)=\P(Bi)P

)/=1

CA\Bi)及乘法公式PCAB)=P(B)P(A|3)之间的关系。

_P(BA)_P(B/)P(A|5)

即P(刚4)

-P(A)-P(A)

【精炼反馈】

1.有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的

概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为()

A.0.65B.0.075

C.0.145D.0

2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0