陀螺何以进动而不倒

水平陀螺进动的初步分析一．问题的提出。1•陀螺如果没有自转，则在重力矩作用下将直接加速倒下。设陀螺所受重力矩为M,陀螺对通过支点的水M平轴的转动惯量为H,陀螺倒下的角加速度为^=。只要重力矩不变，则陀螺倒下的角加速度也不变。某H时刻的角速度为Q,则根据刚体转动的角动量定理，有MAt=HAQ。其方向水平如图1所示。ms.图12•当陀螺高速自转时，则有另外的现象：陀螺将产生进动。设陀螺所受重力矩为M,对自转轴的转动惯量为J，以角速度为3逆时针自转。其角动量为L二J®,则根据角动量定理，有：MAt=AJo其方向水平如图MAt2所示。他将只改变L的方向而不改变其大小，因此陀螺将水平进动。同时在△t时间内的进动角人申=「JoM所以得出其进动的角速度。或MAt=J®A申Jozmg图2以上两种情况都符合角动量定理。那么怎能说明陀螺必然产生水平进动而不加速倒下？又其水平进动的能量从何而来？上述的计算并没有回答。虽然如此，但是在没有办法的时候，我们也只能相信他。3•近一步在飞机和轮船等具有三个自由度的交通工具，其发动机在强制进动的情况下会产生陀螺力矩M=JoxQ，如下图例题所示：飞机的螺旋桨作为高速自转的陀螺沿x轴的方向自转，当飞机左转弯时即沿y轴方向转弯时，伴随有抬头，即沿z轴方向的转动运动。（飞机陀螺力矩1.gif）

（6）螺旋桨飞机前部的螺旋桨为一高速自转的转手，当飞机机动飞行时将强制其主轴转动，因而有陀螺力矩作用干机身，使飞机不能正确机动。试用数字埴写下表飞机左转弯时伴随有飞机右转弯时伴随有运动。运动。飞机进入俯冲时伴随有 运动。飞机由俯冲拉起时伴随有飞机侧滚时伴随有 运动。运动。1歸血:转巧）（6）螺旋桨飞机前部的螺旋桨为一高速自转的转手，当飞机机动飞行时将强制其主轴转动，因而有陀螺力矩作用干机身，使飞机不能正确机动。试用数字埴写下表飞机左转弯时伴随有飞机右转弯时伴随有运动。运动。飞机进入俯冲时伴随有 运动。飞机由俯冲拉起时伴随有飞机侧滚时伴随有 运动。运动。1歸血:转巧）吓，•际）/了1左转弯2右转弯了抬头4低头吕髓滚临无伴曬运动这种现象我们也可以用简单的实验来验证：取一个高速旋转的陀螺，如下图所示：（进动轴.gif）用手握住其外框的A.B两点沿y轴方向稍微转动一下外框，即强制其进动，则可看到整个陀螺沿z轴方向旋转,右侧向上，左侧向下，直到整个陀螺直立起来。如同上题中的飞机抬头一样，可见此陀螺力矩并非源于外界，而是陀螺内部相互作用的结果。即此力矩就来源于高速旋转的盘片。首先使盘片自身沿z轴翻转，才带动其轴和外框的旋转。如果我们把陀螺稍微改变一点方向，即如下图所示：（章动轴.gif）同样，握住A,B两点，顺时针稍稍转动外框，则整个陀螺便沿z轴方向旋转。这个实验分明就是，高速旋转的水平陀螺，在重力矩的作用下，由于章动，便会产生进动。即陀螺的进动是由章动转化而来。至于陀螺在强制进动的条件下，为什么会产生陀螺力矩则是下面要着重讨论的问题。．陀螺力矩的产生：

取一个单片高速旋转的陀螺（如上图），当我们强制其倒下时，逆着Ox轴的方向看去，如图3所示为陀螺的正面图，其支点O在纸里，其盘片以角速度3逆时针自转，其上的任一质点P的速度用v表示，陀螺沿重力矩的方向倒下形成章动，其角速度用Q］表示，由于章动是转动，所以陀螺上的每个质点的运动都是在此转动的基础上的圆周运动，他们的加速度的除了原有的向心加速度以外又增加了一个指向支点的向心加速度和一个旋转加速度（科里奥利加速度）a=20xv。由于章动轴向右。盘片逆时针旋转，所以其左半部向下运动其科1 1科里奥利加速度指向纸里，（用“X”表示），而右半部向上运动，其科里奥利加速度指向纸外，（用“・”表示）。此加速度是隐含与盘片自转和章动之中的。（章动科1.bmp）产生这种加速度的力偶,来源于盘片的刚性框架（下面简称刚架）对质点的作用。因此，根据达朗伯原理，陀螺内的所有质点都产生一个相反方向的力作用于刚架，对刚架的AB轴合成一个力偶，使陀螺的刚架带动所有质点绕支点O,产生向右的加速度（进动加速度）。具体计算如下：（章动陀螺力矩计算l.bmp）既然盘片上的每一质点都获得了科里奥利加速度a二20xv二2Qorsin*二20®x。科i i i 1可见盘片上各点产生的科里奥利加速度与其到AB轴的距离成正比。设盘片的质量面密度为p则每一质点都受到了盘片刚架所施加的力为：Af=2AmQ①x=2pAxAyQ①x。ii所以每一质点都施加于盘片刚架一个反作用力也为：

Af'=2pAxAyO］①x。此反作用力对于轴AB的力矩为:AM二2pAxAyQ①x2。1所以整个盘片质点对于AB轴的力矩为M=4pwQJRx2dxjRcos02dy10=8pwQ Rcos0cos0100=8pwQRJRR2sin20cos0d(Rsin0)10=8pwQRJ2R3sin20cos20d010=pwQR4J2sin2(20)d(20)10TOC\o"1-5"\h\z1 x=_pgR4J2(1-cos40)d(40)4 1 0x=—pwQR4[40-sin40]2410=1xpgR44 1=—R2=J1 1由此计算可以看出，进动力矩是与章动速度成正比的，即开始产生章动加速度时并无进动力矩，当章动速度产生以后才产生进动加速度，当章动速度很小时进动加速度也很小。可见进动总比章动晚半拍。进一步，当进动角速度Q产生以后，由于进动也是一种转动，盘片上各个质点又增加一个科里奥利加速度，如下图所示：（进动盘2.bmp）当然所有质点也会给A'B'轴一个反作用力矩M=J。为与章动所产生的陀螺力矩相区别我们称此陀螺力矩为回转力矩，此回转力矩试图抵消重力矩的作用，同样回转力矩又比进动速度晚半拍。这就好比LC振荡回路中的感生电动势与电容器两端电压，的关系，又如弹簧振子中的重力与弹簧的恢复力之间的关系。三．整个陀螺的运动过程可简述如下。由于重力矩的作用产生章动加速度。随着时间的积累产生了章动速度，同时产生了进动加速度，且进动加速度正比于章动速度。再经过时间的积累产生进动速度，同时产生回转力矩，抵消重力矩的作用。此过程与竖直悬挂的弹簧振子有着相同的规律。如图6所示。时间速度（加速度）— 位移速度（加速度）（弹力）I1时间 时间重力桓+积累=7士去积累_Mid迁回辖力拒 早功速度►章动位移（章动加速度）〔进动加速度） 进动速度〔回特力拒）图6其过程可大体叙述如下：随着陀螺产生了章动速度，便产生了进动加速度，随着章动速度的增大，进动的加速度也增大，进动速度增大，其回转力矩也不断增大，当回转力矩小于重力矩时章动仍在加速所以进动加速度仍在增大，进动达到其回转力矩等于重力矩时，章动速度达到最大值（相当与弹簧振子的速度达到最大值）。这时的进动加速度也达到最大值，即进动速度最快地增大。到此相当于弹簧振子的振动完成了1/4周期。其后回转力矩已大于重力矩，章动速度开始减小但方向不变，其进动加速度仍大于0，进动速度仍在增大，当章动速度减小到0时，停止向下的章动。进动加速度也见减小到0，进动速度达到最大（相当于弹簧振子的位移达到最大值），回转力矩也达到最大且远大于重力矩。到此相当于弹簧振子完成了半个周期的振动。此后由于回转力矩远大于重力矩，陀螺反向章动（上升），进动加速度反向，进动速度开始减小，但回转力矩仍大于重力矩陀螺仍加速上升，当进动速度减小到回转力矩等于重力矩时，章动速度达到最大（相当于弹簧振子上升速度达到最大值），进动减速的加速度也达到最大，完成了3/4个周期。此后章动速度继续减小，当陀螺返回到原来的高度时，进动速度也减小到0。完成了章动的一个周期。如此循环反复，形成了随着竖直方向，上下不断的章动，水平方向也不断地沿一个方向加速和减速。对于弹簧振子来说，由于阻力的作用弹簧最终停留在平衡位置，同样对于陀螺，由于阻力矩的作用陀螺章动幅度不断减小，水平方向的进动速度变化的幅度也不断减小，最终章动消失，而水平方向的进动速度也就不再变化形成匀速进动。章动的观察：由下文的定量计算表明，陀螺在开始时刻的章动幅度与自转轴的角速度的平方成反比，因此章动在自转速度较小,而释放陀螺后短时间内才明显出现的现象，故可如下操作。使陀螺高速旋转。用手按住陀螺支架底座，手掌要放平，以免影响陀螺进动。把陀螺放在支架上。与竖直方向成45—60°左右。释放。观察其是否能见到章动。每进动一周，握住并释放一次。当其自转速度减小到一定程度时，在释放以后便可看到章动现象。以后继续操作，可以看到，每次释放后陀螺的章动幅度都会增大一些。直到最后一次倒地。四．水平陀螺进动的定量计算：为了建立微小章动条件下的水平陀螺运动的牛顿定律方程，可以看出陀螺运动在水平面内的投影为一圆周，在竖直方向由于章动幅度很小可以认为在竖直方向的投影为一直线，所以我们采用圆柱坐标系。取单片陀螺。设其质量为m,对通过其中心且垂直于盘片的轴的转动惯量为J=2mR2。盘片到支点的距离为L（即自转轴长），厶其对支点的重力矩为M,其对通过支点的水平轴的转动惯量为H。自转角速度为3。用Q和屮分别表示其进动和章动的角位移。用。和。1表示进动和章动角速度。在进动方向和章动方向都受到粘滞阻力，其阻力矩都与其角速度成正比,比例系数为卩，则阻力矩分别为艸'和卩屮'。当其章动角速度为Q1时，上节的讨论可知。沿章动方向陀螺受到力矩有重力矩M=mgL，由进动产生的回转力矩J'和阻力矩卩屮'，而产生的章

动加速度为屮''。所以可得牛顿定律方程为:M-J卿'一H屮'=H屮'' (1)或屮!!或屮!!1)沿进动方向陀螺受到力矩有由章动速度产生陀螺力矩Je屮'和阻力矩卩®'，而产生进动加速度®''。所以可得牛顿定律方程为:Je屮'一艸'=H申” （2）或0'=绚'-%HH2或0'=绚'-%HH2)令—=PoHJe=k。H善=h。其中有：M=斗Hh可见h,k,卩分别表示，阻尼，陀螺的动量矩和陀螺所受到的重力矩。得：TOC\o"1-5"\h\z屮''=卩一k申'-何' （］，）申''=却'-如' （2，）由（2,）解出屮’并对t求导后代入（1，）得:甲"'+2h（p''+（h2+k2）申'=kP （3）由（1，）解出Q'并对t求导后代入（2,）得:屮''+2切'+（h2+k2）屮'=hP（4）解此二方程并由初始条件：t=0时申=0； 0=0；申”=0。及t=0时屮=0；屮'=0；屮"=P。为开始时刻，陀螺在重力矩作用下开始倒下的角加速度Hh可得：并令一=tana。可得：kP申= [kt-sin2a-e-加sin(kt-2a)] (5)k2+h2屮=——P [ht+cos2a-e-htcos(kt-2a)] (6)k2+h2其轨迹为：图7

图7五．讨论：关于章动的幅度：一一 2卩MH 一 一若h=0时，章动的幅度最大为W= = 。可见当陀螺的结构确定以后，章动的最大幅度与陀螺自mk2 J2®2转角速度的平方成反比。所以只有在陀螺自转角速度较小时才能清晰地看到章动现象。另外，从其轨迹中还可以看出其章动的幅度随着时间是不断衰减的，所以要看陀螺的章动应该在释放陀螺以后的开始阶段来观看。2•若以Q,Q1分别表示进动和章动角速度则有：kR h RQ= [1—e-ht(coskt+sinkt)]= [cosa—e-htcos(kt—a)]h2+k2 ' k丿讣2+h2(7)(8)kQ= [1+e-ht(—coskt—(7)(8)kQ= [1+e-ht(—coskt—sinkt)]= 尸一[sina+e-hsin(kt—a)]1 h2+k2 h k2+h2。=旦h2+k2J®M~H~H莎Q=_!^_1h2+k22 J®+()2

HM卩j®

()2+( )2HH(10)MJMJ®若R=0。则有：Q=卩2+J2®2J®「1=0。陀螺将停止下降。M而若卩北0。则其进动角速度略小于丁并有:J®Q_h_卩武卩J®3•能量损耗：以上计算说明了进动的产生过程，其正确性可验证如下：tX时，重力的功率为绪=MQ1。进动方向阻力消耗的功率为：P=旧2。章动方向阻力消耗的功为：p=叫。进动和章动方向消耗的总功率为:p=P+P=卩(Q2+Q2)=卩Ik2+ =卩 =卩IQ1=MQ1可见此时重力做功的功率等于阻力消耗的总功率。4•对于多片陀螺来说，由于有：工M=M;工J=J;工H=Hiii所以仍有方程：甲'''+2h®''+(h2+k2)申'=kR屮"'+2h^''+（h2+k2）屮'二hP结果相同。六．回答几个质疑：关于Mdt二dL。由牛顿定律方程（1）M-Je申'—卩屮'=H屮''可以看出若卩=0，则经过时间的积累可以得到：MAt=JeA申+HA屮'由外力矩的冲量矩等于动量矩的改变量，可见陀螺的动量矩的改变量包括两项，即在进动方向转过一个角度,在章动方向的速度有一个增量。只有当tS而A屮'T0即章动速度不变时才有MAt=J®A申。所以应该说，认为赖柴尔定理说的是MAt=JeA申。是对赖柴尔定理的曲解。陀螺力矩是怎么产生的？是内力还是外力？施力者是谁？为此我们先讨论一下陀螺的内力：把刚体看成由无质量的刚性框架（以下简称刚架）和无数粘贴在刚架上的质点所组成。例1：用力拉细杆的一端，使细杆作匀加速运动。这一现象可作如下解释：（1）力作用于刚架的一端，是一个集中力。（2）刚架把这个集中力按照各个质点的加速度分配到各个质点变成分布力，并产生相应的加速度，这是刚架对质点的作用力。（3）根据达朗伯原理，各个质点对刚架施加了一个反作用力。总起来说，刚架和质点之间组成一组相互作用力。如下图所示：1图表示拉力作用于细杆，2图用图像法表示各质点加速度和刚架所受各质点的反作用力。横坐标表示细杆各点到其末端的距离，蓝色箭头表示各个质点的加速度（为了突出达朗伯原理，图中没有画出每个质点所受的刚架的分布力，而只画出了其加速度）。红色箭头表示根据达朗伯原理，每个质点对刚架产生的反作用力。（用力拉细杆内部相互作用.bmp）细杆Hl/；；川壬f例2：绕中心匀速转动的细杆，其内部的相互作用力。虽然细杆并不受外力作用而处于平衡状态，但是，细杆内部仍有相互作用力，即细杆内部各个质点都受到刚架的指向中心的向心力，从而产生向心加速度，根据达朗伯原理，各个质点都给细杆一个反作用力——离心力。这里刚架给质点的向心力和质点给刚架的离心力也是一对相互作用的内力。如下图的图象所示，横坐标表示各质点到中心的距离，纵坐标表示各质点的加速度（绿色箭头）和各质点给刚架的离心力（红色箭头）。（绕中心转动的细杆.bmp）

各质点加if4刖架所受反力例3：细杆中心固定，用力F垂直于细杆推其一端。作匀加速转动。现只分析其切向的相互作用。首先中心必受反向支持反力，合成力偶，使细杆绕其中心加速旋转。刚架把集中的力偶转变为分布力，并使每个质点获得其所需的加速度。如下图所示：（绕中心加速切向加速度及反力.bmp）随着旋转速度的产生和增大，杆内各质点产生向心加速度，根据达朗伯原理，各质点产生对刚架的离心力。每个质点所受向心力和及其给刚架的离心力分别是一对对作用力和反作用力，如例2所示。对于陀螺来说也是一样，高速旋转的陀螺刚刚释放时，所以盘片内一组相互作用力即由于盘片高速旋转使质点受到刚架的向心力的作用产生向心加速度，和根据达朗伯原理，质点反作用于刚架离心力。如下图：

当陀螺受到重力矩的作用而开始章动以后则除了上述的一组力以外，又增加了两组相互作用力：1，由于刚架章动而作用于质点的指向支点的向心力使质点产生向心加速度。根据达朗伯原理而使质点反作用于刚架一个离心力；如下图左侧视图所示。2.由于质点参与两个转动而受到刚架的作用力产生科里奥利加速度，根据达朗伯原理，使质点反作用于刚架的陀螺力矩。如下图俯视图所示。

由前面的计算可知，章动的产生来源于外力矩即有外力矩作用于陀螺的轴上就立即产生章动加速度，在经过一小段的时间积累产生了章动速度时，才产生科里奥利加速度，即产生刚架与质点之间的相对运动趋势而产生相互作用力。即陀螺力矩的产生则较章动的产生晚半拍，所以他是内力矩，是刚架使所有质点产生科里奥利加速度的作用力(这个力不知道叫什么名字，也许没有名字。)的反作用力的力矩。也正因为他们是这样一对相互作用力所以其合力矩才等于0。否则如果只有刚架给质点的力矩产生科里奥利加速度，那内力的合力矩怎能等于0。但刚架本身无质量，所以刚架将带动所有质点产生进动。即科里奥利加速度与进动加速度是一对方向相反的加速度。其合成等于0。重力矩被回转力矩平衡，陀螺是否动量矩守恒？重力矩是外力矩而回转力矩是内力矩，所以仍然只是遵从动量矩定理，而不属于动量矩守恒。附1：旋转陀螺水平进动时科里奥利加速度的推导矢量R可以表示为：R二Rr0=R(cos0i+sin0j)如附图1所示，式中cos0i+sin0j为与Ox轴夹角为0的单位矢量rO。附图1若把单位矢量逆时针旋转90°，则为：兀 兀p0=cos(—+0)i+sinq+)j=-sin0i+cos0j又：矢量rO对e的导数为:ro'=(cos0i+sin0j)'=-sin0i+cos0j=po即单位矢量对e的导数等于把该矢量逆时针旋转90°若e是t的函数，则其对t的导数由复合函数求导运算可得：ro'=(cos0i+sin0j)'=(-sin0i+cos0j)0'=0po式中Q为e对t的导数。同理得：po'=一0ro附图3如附图2所示，固定坐标系Oxyz，坐标轴方向的单位矢量分别为i,j,k。设单片陀螺自转轴长为L,盘片自转角速度为3。开始时刻，处于沿Ox轴方向。在其盘片上建立坐标系0己』内其方向与Oxyz方向相同。其上一点P,在O^y平面内距离中心R处，其线速度为v=R®。其运动方向与Z］轴方向相同。经过时间t,陀螺进动角Q转子中心到达O'处，如附图3所示。自转角0=et，P点到达P'处。其运动方向与z'轴夹角也是0。其在竖直方向投影为简谐振动，其位移速度和加速度分别为：z=Rsin0k，v=R①cos0k;a=-Ro2sin0k，与水平方向的运动无关，是独立的。此时其在O'x'y'zz平面上的投影为M。由于进动，原来盘片上的y1轴的方向已变成了y'。所以P'点的投影M的位置矢量为：OM=OO'+O'M。其中O'M二a二Rcos0po若取OO'方向的单位矢量为r°,O'M方向的单位矢量为p0,则有：ro=cosqi+sinQj式中申'=0OM=OO'+O'M=L+a=Lro+apo=Lro+Rcos0po而其速度为：v=(Lro)'+(Rcos0po)'=LQpo-R0'sin0po+Rcos0(—Oro)=LQpo-Resin0po-R0cos0ro其加速度为：a=(L0po)'-Re(sin0po)'-R0(cos0ro)'==LO'po+LO2(-ro)-Re[0'cos0po+sin0(-Oro)]-RO'cos0ro-RO[-0'sin0ro+cos0(Opo)]==LO'po一LO2ro一Re2cos0po+ReOsin0ro+RO'cos0ro+ReOsin0ro一RO2cos0po==LO'po一RO'cos0ro一LO2ro一RO2cos0po一Re2cos0po+2ReOsin0ro其中(1)LO'po-RO'cos0ro合成为进动加速度其中(2)-LO2ro和-RO2cos0po合成对于支点的向心加速度。(3).-Re2cos0po和z方向的—Re2sin0k合成对于盘片中心的向心加速度。而⑷2ReOsin0ro则为科里奥利加速度：a=2ReOsin0ro=2vOsin0ro。科其中0为其速度与z'轴或旋转参照系的z轴之间的夹角。此加速度的方向在y'轴上方sin0>0，其方向沿r°的正方向。在y'轴下方sin0<0，其方向逆ro的方向。如果逆着O'x'看过去如附图4。则在y'轴的上方a科指向纸外用“•”表示，在y'轴下方指向纸内用“X”表示。可见，其方与进动轴和质点运动方向都垂直，即垂直于他们所决定的平面(纸面)。所以可以用叉积来表示此加速度按照右手坐标系可得：a科=2Qxv。、迥Z*aM/X/y附图4所有质点对整个盘片的合成为一旋转加速度。沿O'y'轴看去，如图5的陀螺所示。附图5附2：微分方程的解：y'''+2hy''+(h2+k2)y'二a (1)其对应的齐次方程为：y'''+2hy''+(h2+k2)y'二0 (2)特征根为：r=0r=—h土ki12,3其通解为：y=C+e-ht(Ccoskt+Csinkt)123原方程(1)的一个特解为：y*二bt则：y*'=b;y*''=0;y*"'=0代入原方程(1)得：0+0+(h2+k2)b=a;(a=hR或kR)原方程(1)的通解为：y=C+e-ht(Ccoskt+Csinkt)+bt(3)TOC\o"1-5"\h\z1 2 3(4)+e-ht[(—hC+kC)coskt+(—hC—kC)sinkt](4)h2+k2 2 3 3 2(5)y”=e-ht[(h2C—k2C—2hkC)coskt+(h2C—k2C+2hkC)sinkt](5)2 2 3 3 3 2当t=0时