新教材人教A版高中数学选择性必修一教案设计-空间向量及其线性运算

第一章I空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其线性运算

学习目标核心素养

1.通过空间向量有关概念的学习，培养学

1.理解空间向量的概念.(难点)

生的数学抽象核心素养.

2.掌握空间向量的线性运算.(重点)

2.借助向量的线性运算、共线向量及共面

3.掌握共线向量定理、共面向量定理

向量的学习，提升学生的直观想象和逻

及推论的应用.(重点、难点)

辑推理的核心素养.

情歪暨导学情景导学修搽新知遐孟耕婀

畲借境漏伏■助学劭教

国庆期间，某游客从上海世博园(0)游览结束后乘车到外滩(Z)观赏黄浦江，然后抵达东

方明珠S)游玩，如图I,游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念

来表示这个过程？

如果游客还要登上东方明珠顶端(功俯瞰上海美丽的夜景，如图2,那么他实际发生的

位移是什么？又如何表示呢？

L新知初探」

1.空间向量

⑴定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：空间向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示;

②字母表示法：用字母”，b,c,…表示；若向量。的起点是4终点是B,

也可记作：AB,其模记为咧也明.

2.几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任意00

单位向量任意1

Q的相反向量：一a

相反向量相反相等

相的相反向量：BA

相等向量相同相等a-b

3.空间向量的线性运算

⑴向量的加法、减法

k

空间向量的加法o®A

OB^OA+OC=a+b

运算

减法

CA=OAOC=a—b

①交换公百：a^b-b±a

加法运算律

②结合后(a+b)+c=a+(b+c)

⑵空间向量的数乘运算

①定义：实数为与空间向量4的乘积也仍然是一个向量，称为向量的数乘运

当A>0时、，与向量a方向相同;

当1<0时，/a与向量a方向相反；

当1=0时-，相=0；相的长度是a的长度的囚倍.

②运算律

a.结合律：Hpa)二仇(Ta)=

b.分配律：(1+从，l(a+b)=/士电.

思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？

［提示］没有关系.

4.共线向量

⑴定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些

向量叫做共线向量或平行向量.

⑵方向向量：在直线1上取非零向量。，与向量a平行的非零向量称为直线］

的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量4,都有0〃4.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b=0),的充要条件是存在

实数为使a=Ab.

(4)如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量。，则对于直线］上任意

一点尸，’由数乘向量定乂及向量共线的充要条件可知，存在实数大，使得卬世.

5.共面向量

⑴定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若两个向量a,%不共线，则向量p与向量a,b共面的充

要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使刃=xa+xb.

(3)空间一点。位于平面板内的充要条件：存在有序实数对仪,y),使止

区四丝或对空间任意一点0,有O/^OA+xAB^yAC.

思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？

-1—.1—.1—

⑵若空间任意一点。和不共线的二点4B,G满足华3创+3附3用

则点P与点4B,C是否共面？

［提示］(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两

个向量，因此一定是共面向量.

1—1—I———1——1——

(2)由0P=30A+3。赊30C得0P-0A=3(四一如)+3(0C—0A)

一f1f.1;

即仍3四+34C因此点?与点4B,C共面.

初试身手二

1思考辨析(正确的打「错误的打B

⑴空间向量a,b,c,若a"b,b"c,贝！］a〃c.()

⑵相等向量一定是共线向量.()

⑶三个空间向量一定是共面向量.

⑷零向量没有方向.

［提示」⑴x若方=0时，@与c不一定平行.

(2)，相等向量一定共线，但共线不一定相等.

(3),空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面

(4),零向量有方向，它的方向是任意的.

2.如图所示，在四棱柱的力/所有的棱中，可作为直线457的方向

向量的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

D［共四条血A1B1,CD,C1D\.］

3.点C在线段AB±,且L451=5,\Ba=3,止九BC,则九=

3［因为C在线段四上，所以四与5c方向相反，又因1例=5,I比4=3,

故X=-|.］

,,13

4.在二棱锥中，若^比。是正二角形，E为其中心，则册~2BC-2

应」4?化简的结果为

3frf

［延长龙交边死于点尸，连接加

2DE+AD=AD

trt1113rr

+DP-AF,故AB+2BC—IDE-ADA.\

疑难声随醉意合作探究修释疑难学科亲品啰放

堂型]空间向量的有关概念

【例1】⑴给出下列命题：

①若以1=1初，则a=b或a=—b；

②若向量a是向量b的相反向量，则kz=lM；

③在正方体ABCDA1BQDI中,AC=AiC\；

④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.

其中正确命题的序号是

⑵如图所示，在平行六面体朋力夕比。中，顶点连接的向量中，与向

量AA1

相等的向量有;与向量48相反的向量有.（要求写出所有适合条件的向量）

.............f-ff-f.fff.

⑴②③④Q）B8,CC,DD'B'A',BA,CD,CD'[⑴对于①，向量a与

5的方向不一定相同或相反，故①错；

对于②，根据相反向量的定义知Ia|=|。1,故②正确；

对于③，根据相等向量的定义知，/a4。，故.定确；

对于④，根据相等向量的定义知正确.

⑵根据相等向量的定义知，与向量44相等的向量有即，CC,加1与向量49

ffff

相反的向量有BA,CD,CD'.]

•规雷方法

解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

⑴关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.

⑵注意点：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这

一点说明了共线向量不具备传递性.

②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅

模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反,则它们为相反向量.

［跟进训练］

1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）

①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

②平行且模相等的两个向量是相等向量；

③若a/瓦则Ia.II；

④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.OB.1C.2D.3

B［根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行

且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a=-b时;也

有Ial=61,③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与

终点无关，④不正确.综上可知只有①正确，故选B.］空/班向量的空间向量的线性运

算

【例2】⑴如图所示，在正方体的〃苫，下列各式中运算结果

为向量的有（）

①（陋60+CCw

②（A4i+A\D\）^D\Ci；

③（的龙i）+8iCi；

®(AAi+A\B\)+B\C\.

A.1个B.2个C.3个D.4个

⑵已知正四棱锥尸-血勿，0是正方形的?的中心，0是龙的中点，求下列各

式中x,y,z的值.

•••fr'f'f

：OQPQyPCzPA

•••fr.f.f

PAxPOyPQPD.

［思路探究］(1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面

体,

中，体对角线向量等于从同一起点出发的二条棱向量的和.如勿AD+AA\.

⑵根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解.

ffffff

(1>［对于(35。+CC\=AC+CC\=ACw

f.f.ff.ff

对于②(AAi+A\D\)^D\C\-ADi+D\C\-AC\;

fffrff

对于③(AB+BB\)+B\C\=ABi+B\C\-AC\;

ftffff

对于④(AAi+A\B\)^B\Ci=ABi+B\Ci=ACi.1

fffr1r.r

（2）[解①如图，尸3图一2(24+尸。

]

1.1,

.___1

•,yJZ------

⑥：0为4C的中点，。为⑺的中点，

-r.fff.rr•必+的2尸〃P5FD二

2PQ,

——rf—f

­PA=2P0-PC、PO2PQ-PD,

.rtf.r

•PA=2P0—2PspD,,x=2,y=—2

1.空间向量加法、减法运算的两个技巧

⑴巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键,

灵活运用相反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务

必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

2.利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行

四边形法则，将目标向量转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

［跟进训练］

2.已知空间四边形被力，连接曲设瓶G分别是弱龙的中点，一

则MG—A^AD等于()

3———----------——*

A.2DBB.3MGC.3GMD.2MG

^［MG-AB^AD-MG—(AB-AD)^MG-DB

=MG+B加MG+2吩3必］

N型3共线问题

【例3】(1)设ere2是空间两个不共线的向量，已切止ei+依乙BC=5e1

+4e2,DC--ei—2c2,且4用〃三点共线，头数A二.

(2)如图所示，已知四边形极〃曲都是平行四边形且不共面，M、V分

别是4c跖的中点，判断力与独是否共线.

D

旦

A

［思路探究］(1)根据向量共线的充要条件求解.

⑵根据数乘向量及三角形法则，把恻表示成为"的形式，再根据向量共线的

充要条件求解.

(1)1［AD-AB+BC+CD-(ei+ke2)+(5er+4e2)+(e1+2e2)=1e1+(A+6)e2.

设则7ei+(4+6型=九(ei+Ae?),

12=7

所以:求=4+6,解得〃=1.】

(2)［解］法一：因为M〃分别是〃；步的中点，且四边形放。，四边形

3F都是平行四边形，所以网+AF+FN=2CA+AF+yFB.

一一.一.一.一1一.一一I—

又因为MN=MC+CE+EB+BN=-2CA+CE-AF-IFB,以上两式相加得

CE-2MN,

所以CE"MN,即CE与恻共线.

法二：因为四边形侬F为平行四边形，所以连接超时，花必过点A

•••CE-AE—AC-2AN—2AM

=2(AN—AMp2MN.

所以庞〃枫即应与独共线.

厂....•规律t方法****....

证明空间三点共线的三种思路

对于空间三点尸，46可通过证明下列结论来证明三点共线.

⑴存在实数九使为=XPB成立.

⑵对空间任一点。，有8=总+

⑶对空间任一■点0,有0产xOA+yO/x^y=1).

［跟进训练］

3.如图，在正方体的M心©21中，月在小区上，且小后2&?i,尸在对角

2-

线A\C±,且小户3所

求证：E,F,5三点共线.

［证明］设力总4/庐方力力］二「

_____________2__

因为A\E=2ED\,小月3阳

一.—2——2------

所以A1E=3A1D\,A1/^5A1

—2—2

所以47层3仍3瓦

—2——22,2-2“一——2

A1F^5(AC—AA\^AB^AD—AA1)=5。+5力一5c,所以EF=A\F-A\B-5a

422(2A

15以用3bc\

—————，—,——22一

又EB^EAA\AAB--3b—c^a-a—3b—c,

——2——

所以EF=5EB,所以£F,8三点共线.

向量共面问题

［探究问题］

I.什么样的向量算是共面向量？

［提示］能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量.

2.能说明上A,B,C四点共面的结论有哪些？

［提示］(1)存在有序实数对(x,y),使得仍必炉％IC

(2)空间一点P在平面板内的充要条件是存在有序实数组(x,y,z)使得华

xOA+y如+z阳其中jf+y+z=1).

⑶四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如PA〃BC.

3,已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2b+cym=a—b+c,n-a+b—c,试判断

p,m,〃是否共面.

4提示］设p=M〃+加，即3a+2b+c=x(a—b+c)+

y(a^b—c)=(A+y)a+(—x^y)b+(x—y)c.

》■尸3,

因为a,b,c不共面，所以V—x+尸2,r—

而此方程组无解，所以p不能用表示，

即p,m,n不共面.

【例4】已知力6CC三点不共线，。为平面板1外一点，若点〃满足0〃

/1、业ll阵匚IfA—,A

⑵判断〃是否在平面上内.

［思路探究］(1)根据向量共面的充要条件，即判断是否也=xMB+yMG,(2)

••、

根据⑴的结论，也可以利用OM-xOA+加心z宓中田厂z是否等于1.

［解］(1)：0A+0B+0C=30M,

,0A—0M=(0M—0B)+(0M—0C),

•••MA=BM+CM=—MB-MC,

，向量也，MB,蔗共面.

(2)由(1)知向量例，MB,修共面，而它们有共同的起点〃，且4,6,C三点不共线，•

•.M,A,B,C共面，即〃在平面板内.

母题探究：

1—1—1—

1.［变条件］若把本例中条件“0M=30A+3OB^3OC)＞改为“"+2必=

60尸3纪”，点P是否与点从B、C共面.

［解］.30P~3OC^0A+2OB-30P=(OA—OP)+(20B~2OP),

,3CP-PA+2附BPPA=-2PB-3PC.

根据共面向量定理的推论知：点尸与点4B,C共面.

2.［变条件］若把本例条件变成“卅g40A—W,点尸是否与点/、&

C共面.

设OP=OA+x毋yAQx,戌R),则

0A+xAB^yAC+0040A—OB,

•OA+x(OB—OA)+y(OC—OA)+00^4OA一OB,

•••(1—x—y—4)614+(1+x)60F+y)00^0,

勿均为非零向毒所以乂y满后：

1—x—y^^=0,1+A=0,〔1+尸0,

3［变解法］上面显然此方程组无解'故点"与点"B,‘不共面，

两个母题探究，还可以用什么方法判断？

［解］(1)由题意知，属6羽3痂/UJ乙

--6+3+2=1,'点户与点4、AC共面.

42).0P=40A一必一纥而4—1-1=21.

，点尸与点4、B、C不共面.

•规雷方法

解决向量共面的策略

⑴若已知点P在平面ABC内，则有止兀4步川C或OP=xOA+yO坤z(X\x+户■h1),

然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

⑵证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活

进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.

镶堂如识夯实课堂小结合提素养版基有点扫除

I必备素养I

1.一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的.

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅

模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.

—f.—.—,

2.浙物+x4阴川C称为空间平面的7的向量表达式.由此可知空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

3.证明(或判断)4B,C三点共线时，只需证明存在实数大，使4—阳或四

=Z4。即可，也可用"对空间任意一点。，有OC-tOA+(1—来证明4B、

。三点共线.

4.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对仪,力使的

■4+/㈣满足这个关系式的点都在平面极由内；反之，平面法历内的任一点

都满足这个关系式.这个充要条件常用于证明四点共面.

5.直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量

有无穷多个，它们的方向相同或相反.

6.向量p与向量①〃共面的充要条件是在a与分不共线的前提下才成立的，

若。与分共线，则不成立.

I学以致用

1.下列条件中使〃与4,BC一定共面的是()

A

*ZW/L-CnAzin—

—1—1—1—

B