新教材适用2023-2024学年高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加减运算及其几何意义学案新人教A版必修第二册

7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课标要求熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则，理解复数加、减法的几何意义．素养要求通过本节课的学习，体会数学运算素养及数学抽象素养.知识点1复数的加、减法运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__.知识点2复数加法的运算律(1)交换律：_z1＋z2＝z2＋z1__；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__.[拓展]1．对复数的加法法则的理解．(1)两个复数相加，类似于两个多项式相加：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数．但是两个虚数之和不一定是一个虚数，如(－i)＋i＝0.(2)当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和．(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．2．对复数的减法法则的理解．(1)两个复数相减，类似于两个多项式相减：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成关于“i”的多项式，则复数的减法类似于多项式的减法，只需要“合并同类项”就可以了．(2)很明显，两个复数的差是一个确定的复数．但是两个虚数之差不一定是一个虚数，如(3＋2i)－2i＝3.3．运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．4．运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．练一练：1．已知复数z1＝5＋3i，z2＝3－7i，则z1＋z2等于(C)A．－4i B．8C．8－4i D．2＋10i[解析]z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(D)A．0 B．6iC．6 D．6－6i[解析]∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.知识点3复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，与z1－z2对应的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up6(→)).[提醒]向量eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))对应的复数是z2－z1，而不是z1－z2，即终点对应的复数减起点对应的复数，这个顺序是不能颠倒的．练一练：在复平面内，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是(C)A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i[解析]eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))对应的复数为0.知识点4复平面内两点间的距离设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a，b)，Z2(c，d)，则|Z1Z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)，又复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，则|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示复数z1，z2，在复平面内对应的点之间的距离．想一想：类比绝对值|x－x0|的几何意，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是两个复数在复平面对应的点之间的距离.题型探究题型一复数代数形式的加、减法运算典例1(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[分析]根据复数的加减运算法则即可求解．[解析](1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．[归纳提升]复数加、减运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．对点练习❶计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．[解析](1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i＝1＋2i.题型二复数加、减法及复数模的几何意义典例2如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数；(3)对角线eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的复数及eq\o(OB,\s\up6(→))的长度．[分析]要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论．[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)对角线eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).[归纳提升]利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．对点练习❷已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．[解析]如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为eq\o(AC,\s\up6(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因为eq\o(BD,\s\up6(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是eq\r(53)和13.题型三复数加法、减法几何意义的应用典例3(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(A)A．1 B．eq\f(1,2)C．2 D．eq\r(5)(2)若复数z满足|z＋eq\r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．[分析]涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．[解析](1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.(2)如图所示，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝eq\r(－\r(3)2＋－12)＝2.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.[归纳提升]两个复数差的模的几何意义(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．对点练习❸若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．[解析]因为|z|＝1且z∈C，作图如图：所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2eq\r(2)－1.易错警示误解复数加法、减法的几何意义典例4A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(B)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形[错解]A[错因分析]向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．[正解]根据复数加(减)法的几何意义，知以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．对点练习❹△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(A)A．外心 B．内心C．重心 D．垂心[解析]由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心．1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝(A)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析]∵复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.2．在复平面内，O是坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))对应的复数为(C)A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6i[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－1－5i＋2－i＋3＋2i＝4－4i，故选C．3．(多选题)下面关于|(3＋2i)－(1＋i)|的说法表述正确的是(ACD)A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C．点(2,1)到原点的距离D．坐标为(－2，－1)的向量的模[解析]由复数的几何意义，知复数(3＋2i)，(1＋i)分别对应复平面内的点(3,2)与点(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离，故A正确；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，与向量(2,1)一一对应，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，与向量(－2，－1)一一对应，故C、D正确．4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为(D)A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3i[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))