小学四年级下册数学《奥数》知识点讲解第15课 数学竞赛试题选讲 试题附答案

小学四年级下册数学奥数知识点讲解第15课《数学竞赛试题选讲》试题附答案

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：1+2+22+23+-+29+210

分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解.

例2计算：1X0.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+?X（0.5）4+-+17X（0.5）

9+19X（0.5）10

例3计算：11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102

例4规定a*b=ab（其中a、b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*

（3*2）.

例5互为反序①的两个自然数之积是92565,求这两个互为反序的自然数.

例6用1、2、3、4这四个数字组成没有重复数字的四位数艰，

如果a卢4,b卢3,c#2且d卉1,那么满足上述条件的四位数一共有多少个？

例7一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以

迈三级台阶.从地面上到最上面一级台阶，共有多少种不同的迈法？

答案

第十五讲数学竞赛试题选讲

例1计算：1+2+22+23+-+29+210

分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解.

解：设S=l+2+22+23+…+29+21°（1）

用2乘以上式的两边可得

2S=2+22+23+-=210+211（2）

用（2）式减去（1）式的两边，得

S=（2+22+23+…+210+211）-（1+2+22+23+-+29+210）

=211-1

=2048-1

=2047.

例2计算：1XQ.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+7X（0.5）4+…+17X（0.5）

9+19X（0.5）10

分析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在

一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个

公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错

位相减法”.

解：设5=1X0.5+3X（0.5）2+5X（0.5）3+…+17X（0.5）9+19X（0.5）10（1）

用2乘以上式的两边可得

2S=1+3X0.5+5X（0.5）2+7X（0.5）3+-+17X（0.5）S+19X（0.5）9

（2）

用（2）式减去（1）式的两边，得

S=l+2X0.5+2X（0.5）2+2X（0.5尸+…+2X（0.5）S+2X（0.5）9-19X（0.5）10

=1+1+0.5+（0.5）2+…+（o.5）7+（0.5）S-19X（0.5）

再设A=l+0.5+再5）斗••+（0.5）7+（0.5）8⑶

用2乘以（3）式的两边可得：

2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）

用（4）式减去（3）式两边，得

A=2-（0.5）^2-0.00390625=1.99609375

于是，有：

5=1+1.99609375-19X（0.5）10

=2.99609375-19XQ.0009765625

=2.99609375-0.0185546875

=2.9775390625.

例3计算：11X12X13+12X13X14+13X14X15+-+100X101X102

解：利用裂项法，有

11X12X13=（11X12X13X14-10X11X12X13）+4,

12X13X14=（12X13X14X15-11X12X13X14）-4,

13X14X15=（13X14X15X16-12X13X14X15）+4,

100X101X102

=（100X101X102X103-99X100X101X102）+4,

把这90个等式相加，得

原式=（100X101X102X1Q3-10X11X12X13）+4

=25X101X102X103-10X11X3X13

=26527650-4290

=26523360.

例4规定a*b=ab（其中a、b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*

（3*2）.

解：由5*3=53=125

125*2=125—15625,

即有

（5*3）*2=15625

又由

3*2=3、9,

5*9=59=1953125

即有

5*（3*2）=1953125.

说明：规定新的代数运算是一类以近世代数为基础的新题型，近年来多次

出现于国内外的数学竞赛题中.解这类问题的关键在于牢记新运算的定义，在

计算时严格遵照规定的法则代入数值，遇到括号要优先运算.

值得注意的是，有些规定的新运算未必满足交换律或结合律.譬如，本例

实质上是乘方运算，由计算结果可知

（5*3）*2卢5*（3*2）

这就是说，本例规定的运算不满足结合律.又如，运算”^=3乂&»-2就

不满足交换律，事实上

lZ\2=lX3-2+2=3-L=2,

22X1=2X3-1+2=6-0.5-5.5,

即

1A2^2A1.

再如，运算akb=aXb+a+b就既满足交换律又满足^合律，事实上

b。a=bXa+b+a=aXb+a+b=a0b,

并且

(a°b)°c=(aXb+a+b)0c

=(aXb+a+b)Xc+(aXb+a+b)+c

二aXbXc+aXc+bXc+aXb+a+b+c,

a©(b0c)=a0(bXc+b+c)

二aX(bXc+b+c)+a+(bXc+b+c)

二axBxc+axb+axc+a+bxc+b+c,

从而有

(a°b)°c=a°(b°c)

不过，这个运算“工”对普通数的加法都不满足分配律，看反例

1V(2+3)=1b5=1X5+1+5=11,

(1V2)+(1~3)=(1X2+1+2)+(1X3+1+3)

=5+7=12,

因此

V(2+3)卢(1丁2)+(1T3).

例5互为反序①的两个自然数之积是92565,求这两个互为反序的自然数.

注释：①例如1204与4021是互为反序的自然数，而120与21不是互为反序的

数.

解：①这两个自然数必是三位数.

首先，这两个自然数不能是小于100的数，因为小于100的两个最大的反序

数是99和99,而99X99<92565.

其次，这两个自然数也不能大于998,因为大于998的两个最小的反序数是

999与999,而999X999〉92565.

②设友与何为所求的两个自然数，

即

abcX^ba=92565.

由于aXc的个位数字是5,可以推得：

aXc=lX5或3X5或5X5或7X5或9X5；

而当aXc>3X5时有

航X诙>305X503

即

abcX^ba>92565,

这是不合题意的.因此，我们可以断定：

aXc=lX5,

不妨设a=l,c=5.

又由于b是0,1,2,9之一，经检验，只有b=6符合题意，这时有165X

561=92565.

答：所求的两个互为反序的自然数是165和561.

例6用1、2、3、4这四个数字组成没有重复数字的四位数航士

如果a卢*br3,c卢2且d卢1,那么满足上述条件的四位数一共有多少个？

分析分类、枚举、筛选是解决这类组合计数问题的基本思路.

解：依题意，因为ar4,所以分三类讨论:

①首位数字a=l时，百位数字b可取2或4,于是可以画出如下“树形图”

①：

注释：①树形图是图论中常用的一种分类的直观表示方法.

<

再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图:

——3

最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图:

/3------4

、4------3

、-3—2

从而可知，砌=1234或1243或1432,共3种数值.

②首位数字a=2时，百位数字b可取1或4,于是画出如下树形图:

<1

再考虑十位数字C的限制条件，可以画出如下树形图:

最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图:

从而可知，abed=2134或2143或2413,共刑可能数值.

③首位数字a=3时，类似①、②可以画出如下树形图：

/1—4—2

3G2<1一二

\4、4—无解

—1——2

从而可知，原=3142或3214或3412,共刑不同数值.

综上所述，满足题设条件的四位数艰，总计有9种可能数值.

说明。本例实质上是著名的“错装信封的问题

例7一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以

迈三级台阶.从地面上到最上面一级台阶，共有多少种不同的迈法？

分析按照规定的上楼悌方式，依次考虑楼梯的阶数是1级、2级、3级、4级、

…的情况：（用记号an表示檄台阶的楼梯的迈法总数）

①当n=l时，显然只有一种迈法，即a1二l；

②当n=2时，可以一步一级地走二步上到最上面一级台阶，也可以一步迈

二级直接上到最上面一级台阶，因此共有2种不同的迈法，即

a:=2；

③当n=3时，可以一步一级地走上楼，也可以一步三级上楼，还可以第一手

迈一级、第二步迈二级或第一步迈二级、第二步迈一级上楼，因此共有4种不忙

的迈法，即

a,=4；

④当n=4时，分三种情况来分别讨论迈法：

1°若第一步迈一级台阶，则还剩下3级台阶，由③可知有-