教育统计学课件

第一章緒論INTRODUCTION主要內容：統計學的發展史簡介教育統計學的主要內容統計學中的基本概念1.1統計學的發展史簡介1.1.1統計學的起源STATISTICS(統計學)一詞源於法語STATUS(狀態)自中世紀以來逐漸演變為含有政治意味的STATE(國家)。因此，統計學包含有對國家狀態作調查研究的意義。H.Conring創立國勢學體系但它與現代統計學不同的是國勢學不用數字資料，而只用文字的描述十七世紀，政治算術統計學在英國興起。概率論的起源與發展。概率論的發展最早源於賭博C.Huygens著《骰子賭博的理論》伯努利的研究高斯的研究：高斯曲線描述統計學的發展：生物統計學的影響F.galton

主要研究平均值的偏差和回歸問題K.Pearson在前者的基礎上發展出許多描述統計方法：頻數分佈、頻數分佈函數、回歸、相關、擬合度等。推斷統計學的誕生W.S.Gorsset(Student)開始研究R.A.Fisher統計推斷學的創立1.1.2統計學的應用1.1.3統計學的發展理論和方法不斷地被完善和深化從線性到非線性；從低維到高維；從顯在到潛在；從連續到離散電腦及相關的軟體成為統計工作中不可少的工具SPSS、SAS、DATA-TEST、STATA等軟體發展成為獨立的交叉性學科是一種獨立的學科，是一種方法論1.2教育統計學的主要內容1.2.1統計學與教育統計學1.統計學(Statistics)統計學是研究統計原理和方法的科學。具體：是研究如何搜集、整理、分析反映事物總體的數字資料，並以此為依據，對總體特徵進行推斷的原理和方法。

2.教育統計學(Statisticsofeducation)教育統計學是運用數理統計的原理和方法研究教育問題的一門應用科學。主要任務：研究如何搜集、整理、分析由教育調查和教育實驗等途徑所獲得的數字資料，並以此為依據，進行科學推斷，從而揭示蘊含在教育現象中的客觀規律。具體：提供各種統計方法的應用條件 對統計計算結果的解釋1.2.2教育統計學的基本內容

1.描述統計(DescriptiveStatistics)對已獲得的數據進行整理、概括，顯現其分佈特徵的統計方法，稱為描述統計。常用的描述統計方法：集中量、差異量、標準分數、相關量。

2.推斷統計(InferentialStatistics)根據樣本所提供的資訊，運用概率的理論進行分析、論證。在一定可靠程度上對總體分佈特徵進行估計、推測。這種統計方法成為推斷統計。3.實驗設計(Experimentaldesigns)實驗者為了揭示實驗中引數與因變數的關係，在實驗前所制訂的實驗計畫稱為實驗設計。

包括：○選擇怎樣的抽樣方式○如何計算樣本容量○確定怎樣的實驗對照形式○如何實現實驗組和對照組的等組化○如何安排實驗因素○如何控制無關變數○用什麼統計方法處理及分析實驗結果。4.描述統計、推斷統計、實驗設計三者之間的關係描述統計是推斷統計的基礎推斷統計是描述統計的昇華良好的實驗設計是獲得真實的，有價值的數據，並推測未知的教育結果的保證

1.2.3教育統計學的結構資料收集描述統計推斷統計概率論經常性資料調查數據實驗數據歷史資料測驗數據統計圖表集中量差異量相關量預測統計predictiveZ檢驗T檢驗非參數檢驗方差分析1.3教育統計學中的基本概念1.變數與常量(VariablevsConstant)2.隨機變數(RandomVariable)表示隨機現象各種結果的變數 隨機現象：一次方試驗有多種可能的結果；試驗前不能預料哪一種結果會出現；試驗可以重複。 隨機事件：3.總體與樣本(PopulationvsSample)統計量與參數(StatisticvsParameter)樣本的數字特徵稱為統計量總體的數字特徵稱為參數5.點計數據與度量數據6.間斷變數與連續變數(DiscretevariablevsContinuousvariable)7.名稱變數、等級變數、等距變數及比率變數(Nominalvariable、Ordinalvariable、Intervalvariable、Ratiovariable)Nominalvariable:HasvalueswhichdifferinqualityonlyOrdinalvariable:HasvaluesorderedbyqualityIntervalvariable:Hasorderedbyqualitywithequal-sizedintervalbetweeneachRatiovariable:Likeintervalvariablesbutwithatruezeropoint第二章數據的初步整理ORGANIZINGANDPRESENTINGDATA如何做表PRESENTINGDATAINATABLE如何做圖PRESENTINGDATAINAGRAPH2.1數據的基本來源1.經常性資料2.專題性資料教育實驗；教育調查；測驗數據等2.2數據初步整理的基本過程1.分組(如表2.1)表2.1某幼稚園三個大班32名幼兒體重統計表組別人數１８．５－－１９．５１５１９．５－－２０．５１０２０．５－－２１．５７匯總 把總體各單位數和指標數歸納到各組中去，並算出總體和各組的指標數的總計數。3.編統計圖、統計表

表2.2某園大班幼兒體重達標情況統計表未達標達標超標總計大(１)２２５３３０大(２)１２４５３０大(３)３２７０３０總計６７６８９０2.3統計表2.3.1表的基本結構標題表號標目(橫標目、縱標目)線條(三欄一豎)數字(表的主要內容)表注2.3.2統計表的種類1.簡單表只列出觀察對象的名稱、地點、時序或統計指標名稱的統計表為簡單表。表2.3某年級各班學生人數班別一班二班三班四班五班人數４２３６５０４５１７３表2.4某校高三學生各年高考錄取人數年份199819992000總和高考錄取人數1441231253922.分組表只按一個標誌分組的統計表成為分組表。

表2.5上海市區幼兒20米跑步用時年齡組３歲４歲５歲６歲平均秒數(

)７.７１７.１６６.０４５.５３3.複合表按兩個或兩個以上標誌分組的統計表為複合表。表2.6本市市區、郊區4歲和6歲幼兒守恆能力測定成績統計表nS４歲市區１６７６３.３７１９.１７郊區９１６６.１５１８.２３６歲市區１６７９１.４７１９.５３郊區９１９７.７５１６.５７2.3.3連續變數頻數分佈表列法2.3.3.1

概念1.頻數某一個隨機事件在n次試驗中出現的次數稱為這個隨機事件的頻數。2.頻數分佈將各種隨機事件在n次試驗中出現的次數分佈，稱為頻數分佈。3.頻數分佈表頻數分佈用表格形式表達出來，這種表格叫頻數分佈表。2.3.3.2連續變數頻數分佈表的編制例2.1師大附小二年級80個學生的身高如下表，並用該數據做頻數分佈表。表2.7師大附小二年級80個學生的身高1351341291331311311311341251281351271271331301321321291241321221241271311371321331341241281351331311231151321341381241321281361271201251311361271241291291321381251311201211441281331281271301201211221271211251301401211261301221281271251271311.求全距(Range,R)全部數據的最大值與最小值之差例：R=最大值—最小值=144—115=292.決定組數與組距(IntervalsandWidth)組數(k)：分組的個數(一般10～15為宜)，具體根據樣本大小來確定組數，組數的確定要與組距同時考慮。例題中決定組數為10。上例：i=3.決定組限每組的最低值為下限，最高值為上限，列出各組組限時，最低一組應包括最小的一個數據，最高一組應包括最大的一個數據。4.登記頻數並計算用劃“正”字法。將數據列入相應的組距內，在歸組時如遇有的數據正好等於某組的組限時，可將它歸入數據較大的一組。5.計算頻數(Frequency)全部數據登記完後，把各組次數寫在頻數分佈表內，用“f”表示。表2.8師大附小二年級80個學生的身高115122124127128129131132133135120122125127128129131132133136120122125127128130131132134136120123125127128130131132134137121124125127128130131132134138121124125127128130131133134138121124126127129131132133135140121124127127129131132133135144表2.9二年級80個學生身高的頻數身高(1)組中值(2)頻數(3)115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-116.5119.5122.5125.5128.5131.5134.5137.5140.5143.513810201912421總和802.3.3.2累積頻數和累積百分比分佈表1.區分幾個概念組中值Mid-points頻數(絕對頻數)(f)(Absolute)Frequency相對頻數(比率)(rf)RelativeFrequency累積(絕對)頻數(cf)(Absolute)CumulativeFrequency累積相對頻數(Relcf)RelativeCumulativeFrequency2.累積頻數和累積百分比分佈表表2.10

二年級80個學生身高的頻數、累積頻數、累積百分比表身高組中值頻數相對頻數累積頻數累積百分比115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-116.5119.5122.5125.5128.5131.5134.5137.5140.5143.513810201912421.0125.3750.1000.1250.2500.2375.1500.0500.0250.01251412224261737779801.255.0015.0027.5052.5076.2591.2596.2598.75100總和802.4統計圖2.4.1表示間斷變數的統計圖1.直條圖是利用條形的長短比較各種統計指標的大小。繪製手續簡便、表現形式明確、圖形效果良好。縱排——柱形圖橫排——帶形圖繪製直條圖注意點：圖形的尺度必須以零點為起點，同時尺度上的任何單位必須用相等距離表示。條形的長短表示數量的多少。各條形的寬度必須相等，各條形之間的間隔應一致，一般為條形寬度的一半至一倍比較合適。各條形的排列應有一定的順序。直條的頂端和下端不要注寫數字。在複合條形圖和條形結構圖中應採用不同的線紋或顏色加以區別並加製圖說明。2．圓形圖圓形圖的定義是一種經常用來說明總體結構的圖形。一個圓形代表一個完整的總體，圓形內的各個扇形相當於總體的各個組成部分。繪製步驟求各組成部分所占百分比求組成部分的中心角度數以圓的下半徑(或上半徑)為基線，按被比事物特定順序，根據各部分的角度數，以順時針方向，用量角器將圖形分成幾個扇形。用不同線條或不同顏色將各扇形加以區別，並在各扇形內用簡要文字及百分比加以注明。例2.2將下表12的資料製成圖1表2.11某區幼稚園家長文化程度統計表文化程度百分比圓心角初中以下初中高中、中專大專以上40.2%40.8%15.9%3.1%144.72°146.88°57.24°11.16°圖1：某區幼稚園家長文化程度統計圖2.4.2表示連續變數的統計圖1．線形圖定義表示兩個變數之間的函數關係。一種事物隨另一種事物變化的情況;某種事物隨時間推移的發展趨勢等。繪製方法先畫一條直角坐標系，橫軸表示時間或引數，縱軸表示頻數或因變數。描點：用直線連接相鄰兩點。(按時間順序連成線條即成)表2.12建國以來某地區幼稚園人數統計表年份人數(萬)解放前495153552.03.54.04.56.0圖2：建國以來，某地區幼稚園人數發展統計圖2.頻數分佈圖常用的頻數分佈圖有直方圖、多邊圖、累積多邊圖注意點：繪折線，不畫光滑曲線圖中相比較的線一般不超過五條，圖中不用文字或數字表示。直方圖用面積表示頻數分佈，用各組上下限的矩形面積表示各組的頻數表2.13二年級80個學生身高的頻數、累積頻數、累積百分比身高組中值頻數累積頻數累積百分比115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-116.5119.5122.5125.5128.5131.5134.5137.5140.5143.5138102019124211412224261737779801.255.0015.0027.5052.5076.2591.2596.2598.75100總和80作橫軸：把上表第(1)列的上、下限或第(2)列的組中值分置於橫軸上。表上共有10個組，而作圖時，須在橫軸的兩端至少各空出一個組距的位置。作縱軸：在縱軸上表明尺度及其單位，以指示頻數。在縱軸上定出各組頻數高度，並在各組頻數高度處劃一橫線與各組上、下限的兩條縱線相交，形成一個矩形。由於橫軸上各組距之間是連續的，故各矩形之間不能留空隙。甚至每個矩形的內側垂線也可以不畫圖：二年級80個學生身高的頻數分佈直方圖多邊圖特點：以縱軸上的高度表示頻數的多少。繪製：以各組的中點為橫坐標，以各組的頻數為縱坐標描點並用直線連接，即成。圖形的兩端應該引至外側一組的中點與基線相接。圖：二年級80個學生身高的頻數分佈多邊圖圖：二年級80個學生身高的頻數分佈多邊圖累積頻數和累積百分比多邊圖累積頻數多邊圖的繪製：※作橫軸將學生身高各組的上、下限分置於橫軸上。※作縱軸在縱軸上標明尺度與單位，以指示累積頻數。※描點以各組上下限為橫坐標，各組累積頻數為縱坐標描點，用弧線連接每相鄰的兩點，即成累積頻數多變圖，圖形左端應引至第一組的下限與基線相接。表1.13二年級80個學生身高的頻數、累積頻數、累積百分比表例圖：二年級80個學生身高的累積頻數和累積百分比分佈圖身高組中值頻數累積頻數累積百分比115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-116.5119.5122.5125.5128.5131.5134.5137.5140.5143.5138102019124211412224261737779801.255.0015.0027.5052.5076.2591.2596.2598.75100總和80因為累積頻數和累積百分比圖形都成“S”形，所以統稱為“S”型曲線。S型曲線特殊應用是：假如給出橫軸上一個分值，我們可以找出其百分位置。將統計資料通俗化、形象化、使人一目了然、易於接收。有利於統計資料的比較對照，有助於科學分析研究。根據資料的性質和分析的目的，正確選擇適合的圖形。要寫明圖的標題和圖號，文字明確扼要，寫在圖的正下方。圖內應寫出所依據的數字，如未標明數字則應附以統計表或文字說明。圖內資料配置一般應從左到右。圖中如有必須解釋的地方，可用圖注加以說明。2.4.3統計圖的功用2.4.4繪製統計圖的規則1．將下例125名中學生語文測驗分數編成累積頻數，累積百分比分佈表，並製成累積頻數分佈圖和累積頻數分佈圖。分數24.5－29.5－34.5－39.5－44.5－49.5－頻數246152036分數54.5－59.5－64.5－69.5－74.5－總和頻數2012631125成績組中值甲組乙組20－22.53125－27.511430－32.562035－37.5101940－42.5182145－47.5212150－52.5291455－57.5281360－62.540565－67.531470－72.532275－77.519080－82.514085－87.510090－92.540總計2661342、把下列甲乙兩組學生化學成績的分佈制在同一直角坐標上，以資比較。第三章集中量CENTRALTENDENCY三種主要集中量THREEMEASURESOFCENTRALTENDENCY集中量的比較COMPARINGMEASURESOFCENTRALTENDENCY對稱分佈和偏態分佈SYMMETRICALANDSKEWEDDISTRIBUTION3.1

概述3.1.1描述性統計(DESCRIPTIVESTATISTICS)概念研究如何整理實驗或調查得到的大量數據，找出這些數據的分佈特徵。種類集中量(如平均數)、差異量(如標準差)、相關量(相關係數)等。3.1.2集中量的概念及作用集中量是代表一組數據典型水準或集中趨勢的量。集中量的作用：利用集中量數可以對各個總體(或各個樣本)進行比較。利用集中量數可以研究總體的一般水準在時間上的變化。利用集中量數可以分析現象之間的依存關係。集中量(CENTRALTENDENCY)的種類：平均數(MEAN);中位數(MEDIAN);眾數(MODE)1、概念算術平均數通常稱平均數，統計上簡稱均值或均數，是最重要的集中量數，常用代表總體平均數，代表樣本平均數。2．公式：(算術平均數=)其中：=總和

X=各觀察值

N=觀察值的個數3.2

算術平均數(MEAN)3.2.1算術平均數概念1.原始數據計算法例：某幼稚園大班幼兒10名，在某次計算練習中成績分別為9，6，8，9，7，6，8，9，7，7。試計算這些幼兒的計算練習的平均成績。3.2.2算術平均數計算解：公式：

其中：

表示各組組中值與頻數乘積之和 表示頻數總和(=N)2.頻數分佈表計算法(組中值計算法)例：表3.148個學生數學分數算術平均數組中值計算3.2.2算術平均數的應用及其特點算術平均數是最好的集中量數，因為它具備一個良好的集中量所應具備的條件。(1)優點：○反應靈敏，一組數據中任何一個數值發生或大或小的變化，所計算出來的算術平均數也會隨之變大變小。○嚴密確定。由同一組數據計算出來的平均數是同一個值。○計算簡便，只需四則運算。○受抽樣變動的影響較小。○是計算方差、標準差、相關係數以及推斷統計的基礎。(2)缺點：○易受兩極端數值的影響(只要一個極低值，就會下降，反之則上升)。○一組數據中某個數值模糊或不確切，就無法計算其。中位數是位於依一定大小順序排列的一組數據中央位置的數值，大於及小於這一數值各有一半數據分佈著。中位數普遍用符號Md(或Mdn)表示，在中位數前後所包含數據的次數各為50%，即50%的分數在它上面，50%的分數在它下麵。3.3

中位數(MEDIAN,Md)3.3.1中位數概念1.原始數據計算方法將原始數據依大小順序排列後,如總頻數是奇數，就以位於中央的數據作為Md。例：有以下7個數據，依次從小到大排列：3、5、7、8、9、11、14因為數據個數為奇數，則位於中間的數值8就是中位數即：Md=83.3.2中位數計算方法2.頻數分佈表計算法如總頻數為偶數，則以最中間的的兩個數據的算術平均數為中位數例：有以下8個數據，依次從小到大排列

6，9，10，11，12，14，13，17

Md=○計算公式：Md=Lmd+(

n1)

(由小向大計算)

在這裏Lmd表示中位數所在組的下限N表示總額數n1表示小於中位數所在組下限的頻數總和i表示額數分佈表上的組距fmd表示中位數所在組的頻數○計算步驟：求確定中位數所在組由上往下(或由下往上)累積頻數，直至略大於為止，該組就是中位數所在組。確定由中位數所在組取多少個頻數，就能使由上往下(或下往上的積累頻數等於，即求n1，n1為小於中位數所在組下限的頻數總和)本例中

n1=-23=1計算中位數所在組所取頻數的距離即求(n1)fmd是中位數所在組的頻數i=組距本例：()×=0.71將以上求得的結果與中位數所在組的下限相加便是中位數Md=L+(n1)×(由上往下數的頻數)=80+(-23)×=80.71另:Md=U-(-n2)×(由下往上數的頻數)U表示中位數所在組的上限

n2表示大於中位數所在組上限的頻數總和本例Md=85-()×=85-=80.71注意點：

○由上往下計算Md時，當小於某一組下限的累積頻數正好等於總頻數的一半，那麼，該組的下限是中位數。

○由下往上計算Md時，大於某一組上限的累積頻數正好等於，那麼，該組的上限就是中位數。

○中位數是百分數中的特例。在同一數據中按次序位於某一百分位置的數值,百分位數一般用(Pp)表示。例：第70百分數,記作(P70)，就是在依次從小到大排列的一組數據中<這個數值的有70％個頻數,>這個數值有30％個頻數那個數值。中位數(Md)就是第50百分位數,

<它有50％個頻數,

>它也有50％個頻數，它是百分位數中的特例。3.4

百分位數(PP)3.4.1百分位數概念3.4.2百分位數的計算方法在頻數分佈表上可以用內插法計算某個百分位數，其計算公式為：Pp=Lp+(p*N-n)在這裏：

Pp表示百分位數

p表示與百分位數相對應的比數

N表示總頻數

Lp表示百分位數所在組的下限

n表示小於百分位數所在組下限的頻數總和

fp表示百分位數所在組的頻數。

i表示組距。表17：48個學生數學分數中位數計算表是集中量的一種指標，用Mo表示，它有理論眾數和粗略眾數兩種。理論眾數：是指與頻數分佈曲線最高點相對應的橫坐標上的一點。粗略眾數：是指一組數據中頻數出現最多的那個數。3.5

眾數(Mo)

3.5.1概念3.5.2眾數的計算方法1、用觀察法直接尋找粗略眾數在一組原始數據中，頻數出現最多的那個數值就是眾數。○在一組原始數據2、4、3、6、4、5、4其中頻數出現最多的數值是4，4就是這組數據的眾數。○在頻數分佈表中，頻數最多一組的組中值就是粗略眾數2、用公式求理論眾數的近似值(p38)公式：

Mo3Md-2

例如：上表資料的算術平均數為78.20,中位數為77.89,根據公式,它的眾數為：

Mo=3×77.89-2×78.20=77.27用公式計算出的眾數77.27與觀察法尋得的眾數77.50相差很少返回3、練習一身高頻數115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-13810202011421總和803、練習二求眾數3.6

平均數、中位數、眾數三者間的關係

3.6.1集中量的適用範圍3.6.2分佈的不同形態影響三者間的關係1、分佈為正態或對稱分佈時：NormalDistributionorSymmetricalDistribution2、分佈為正偏態分佈時：NegativeSkewDistribution3、分佈為負偏態分佈時：PositiveSkewDistribution第四章 差異量VARIABILITYDESCRIBEINWORDSTHETERMVARIABILITYDEFINETHERANGEANDSEMI-INTERQUARTILERANGEDEFINETHEVARIANCEDEFINETHESTANDARDVARIANCECOMPUTEALLOFDIFFERENTVARIANCECOMPAREDISTRIBUTIONSWITHVARIANCE4.1差異量的概念1、概念表示一組數據變異程度或離散程度的量稱為差異量。現有A、B、C三組測驗成績如下：A組：8、8、9、10、11、12、12(＝10)B組：5、6、8、10、12、14、15(＝10)C組：1、2、5、10、15、18、19(＝10)RANGEANDSEMI-INTERQUARTILERANGE差異量越大，表示數據分佈的範圍越廣，越不整齊。差異量越小，表示數據分佈越集中，變動範圍越小。常用的差異量指標有全距、平均差、方差、標準差、差異係數等Range,semi-interquartilerange,variance,standardvarianceCoefficientofvariance2、特點3、種類1．概念：一組數據中最大值與最小值之差，又稱極差。(用符號R表示。)2．計算：(1)原始數據求全距(R)＝最大值－最小值例：兩組學生某科測驗分數分別為：甲組：54、63、72、74、82、88、99、乙組：67、71、73、76、79、82、84、

甲組R＝99－54＝45

乙組R＝84－67＝174.2全距3.頻數分佈表求全距：最大一組與最小一組組中值之差(或)最大一組與最小一組下限之差。表:

小學兩年級80個學生身高的全距計算表身高(1)

組中值(2)頻數(3)累積頻數(4)計算全距(5)115-118-121-124-127-130-133-136-139-142-116.5119.5122.5125.5128.5131.5134.5137.5140.5143.513810201912421141222426173777980R＝143.5－116.5=27或者R=142－115=27總和804．全距的優缺點：優點：概念清楚，意義明確，計算簡便。缺點：易受兩個極端的數值影響。4.3.1 方差：方差是指離差平方的算術平均數。樣本方差用表示。總體方差用表示。4.3.2計算公式

＝或在這裏：X－表示離差〔即每個數據與平均數的差數〕表示離差平方和

N表示總頻數4.3方差和標準差Varianceandstandardvariance4.3.3

標準差標準差就是離差平方和平均後的方根。樣本標準差用S表示，總體標準差用σ表示4.3.4計算公式1.原始數據計算法：S=或實例：在某幼稚園大班中，隨機抽取21名幼兒，分成甲、乙、丙三組，每組7人，進行看圖講述比賽，他們的成績分別為:甲組：9、9、10、11、12、13、13乙組：6、7、9、11、13、15、16丙組：2、3、6、11、16、19、20試問三組幼兒看圖講述成績的標準差

三組幼兒成績的標準差。甲組：S＝=1.7

乙組：S=3.9

丙組：S=7.5

答：甲、乙、丙三組幼稚園看圖講故事成績的標準差分別為1.7、3.9、和7.5解：三組幼兒成績的平均數:

＝11;＝11;＝11離散程度(S)說明甲組111.7集中(小)數據都集中在附近代表性好乙組113.9(居中)一般丙組117.5最分散(大)各數據分佈廣代表性較差2.頻數分佈表計算法(用於數據較多的分組資料)

公式：

S=

其中：X表示各組組中值ｆ表示各組頻數

N表示總人數

例：表20：48個學生數學分數方差、標準差的組中值計算表57.5分組(1)組中值X(2)頻數f(3)fx(4)=(2)×(3)(5)=(2)×(4)利用公式計算方差、標准差

50-52.5252.5×2×2

=12.2555-57.5057.5×0×060-62.5262.5×2×265-67.5367.5×3×370-72.5872.5×8×875-77.5777.5×777.5×780-82.5782.5×7×785-87.5787.5×7×790-92.5592.5×5×595-97.5697.5×6×6總和483840.00314400f52.5=150S=62.567.572.582.587.592.597.5例：求50名學生物理成績的標準差表21：50名學生物理成績的標準差、方差計算表(1)優點：反映靈敏：隨任何一個數據的變化而變化計算簡單：適合代數計算嚴密確定：一組數據的方差以及標準差有確定的值(2)缺點：不太容易理解易受兩極端數值的影響有個別數值糊塗不清時，無法計算4.4方差和標準差的應用及其優缺點例．根據調查，得知1000名16歲男生身高平均為161.88公分。其標準差為6.52，體重平均為48.79公斤，其標準差為6.25，試比較身高與體重哪個差異大。例：調查所得，8歲兒童身高平均為120.27公分。標準差為5，16歲兒童身高平均為16.8公分，標準差為6.52。試比較他們的身高的差異大小。4.5差異係數(CVCoefficientofvariance)

1.差異係數(VC)的概念差異係數是一種相對差異量數，它是憑藉著算術平均數來表示兩個或兩個以上標準差的相對差異。2.計算公式CV=×100%差異係數又稱為相對標準差，在算術平均數不為零的情況下：CV越大，表明離散程度越大(數據的分佈愈分散)CV越小，表明離散程度越小(數據的分佈愈集中)在這裏：CV表示差異係數

S表示標準差表示算術平均數3.用途(1) 比較不同單位(現象)的(變異)差異程度CV=×100%=0.0403×100%=4.03%CV×100%=12.81%可見：體重的差異大於身高。(2)比較不同水準的同類現象(單位)的差異程度CVCV可見：8歲組身高差異量雖比16歲組小，但從差異係數來看，8歲組比16歲組大些。

課堂練習：(1)甲組小學生參加算術測驗，平均分數為20.50，標準差為5.24；乙組小學生參加同樣的測驗，其平均分數為34.80，標準差是9.62，試比較CV。(2)小學一年級學生的平均身高是118.8公分，標準差是5.6公分，他們的平均體重是22.9公分，標準差是7.9公斤。請計算他們身高與體重的差異係數並進行比較。(3)可判斷特殊差異情況根據經驗，在教育統計學中，衡量學生德、智、體各方面發展情況的資料，一般差異係數(CV)值常在5%～35%之間。若〉35%，可懷疑所求得的平均數是否計算有誤若〈5%，可懷疑與S是否計算有誤。當然也有特殊情況，例如3—6歲幼兒單腿立持續時間的差異係數。無論國內外，都在64%以上，甚至越過100%4．注意事項：(1)

測試尺度上的單位必須是等距的。若不等距，則CV的運用無效。(2) 測試尺度的起點必須是絕對零點。1.單用平均數尚有不足的，須用差異量數輔助說明。2.平均數是一種代表性指標，它的代表性隨差異量數的大小而不同。差異量數小，代表性大。差異量數大，則代表性小。所以差異量數是測量平均數所能代表總體的程度。對平均數的描述起輔助作用。如果差異數與平均數結合，能使我們對問題的認識更深入更全面了。3.差異量有兩種：絕對差異量與相對差異量。本章主要討論的絕對差異量是：全距(R)

方差()

標準差(S)。

相對差異量是：(CV)差異係數4.6差異量與集中量的關係4.7峰態量第五章 概率及概率分佈PROBABILITY

AND

PROBABILITY

DISTRIBUTION5.1概率的一般概論5.2二項分佈BINOMIALDISTRIBUTION5.3正態分佈NORMALDISTRIBUTION5.3.1概念：正態分佈是一種連續型隨機變數的概率分佈，在教育研究中有很多現象一般呈正態分佈1、正態分佈(NORMALDISTRIBUTION)正態分佈中的μ、σ、N都是常量，在每個正態分佈中，它們的變化會導致正態曲線(NORMALCURVE)不同，如下圖，儘管平均數相同，但由於σ不同而正態分佈的形態差異較大。標準分數(也稱為Z分數)是一種以平均數為參照點，以標準差為單位的相對量數，用Z表示。其特點為：把所有絕對數量表示的μ、σ的正態分佈的曲線函數都變成了以平均數為0，標準差為1的正態分佈曲線函數。標準分數的計算公式Z=2、標準正態分佈(STANDARDNORMALDISTRIBUTION)標準正態分佈曲線(STANDARDNORMALCURVE)分佈的函數為：標準正態分佈曲線(STANDARDNORMALCURVE)：μ=0、σ=1μ=0？為什麼標準正態分佈的平均數為0，標準差為1!3、正態分佈的特點正態分佈的特點為：標準正態分佈的特點：4、正態分佈曲線的面積與縱線正態分佈曲線與基線間的面積的意義：正態分佈曲線與基線間的面積的大小表求該區域個體出現的概率的大小，面積越大表示出現的概率就越大正態分佈曲線與基線間的面積的求法：積分的方法：標準正態分佈曲線與基線間的面積可以查表：例1例2例3例4例5例6例7例85、正態分佈的應用例1某次測驗的分數呈正態分佈，平均分為72，標準差為6，問平均分上下95%的學生成績的分佈範圍；平均分上下99%的學生的成績的分佈範圍例2某項考試中，考試成績呈正態分面。參加考試的人數為4000人，平均分為1700，標準差為200。擬錄取人數為1000人，問錄取的最低分數應為多少？例3在某一幼稚園的一次點數比賽中，全園的平均分是70，標準分是12.5，甲幼兒得78分，乙幼兒得83分，丙幼兒得65分，問這三幼兒的點數成績在園中各處於怎樣的位置解：∵=70S=12.5∴甲幼兒：Z=Z===0.64乙幼兒：Z=Z===1.04

丙幼兒：Z=Z===－0.4答：甲幼兒的成績在全園平均成績以上0.64標準差；、乙幼兒的成績在全園平均成績以上1.04標準差；丙幼兒的成績在全園平均成績以下0.4個標準差。例4某幼稚園畢業生平均身高118釐米，標準差1.9釐米，平均體重為22.9公斤，標準差為0.8公斤。試問甲幼兒的身高和體重在畢業生中的位置哪個高？甲幼兒身高、體重的標準分數表1.90.811822.911923身高體重σ標準分數(Z)全體幼兒甲幼兒520.12表24：甲乙兩幼兒語言、常識、計算成績測試成績表幼兒全體幼兒標準分數Z甲乙σ甲乙語言常識計算5975635179725074674109總計1972022.250.10-0.440.750.500.561.911.31例5甲乙兩幼兒在語言、常識、計算活動中測試的成績如下表，試分析說明誰的總成績較好？例6品質評定的量化分析例7某投資經紀人有投資總金額為100萬元，現有兩種投資方式，其中第一種投資方式（A）的年平均回報率為15%，該方式的投資風險為平均回報率的25%（表示可能的回報金額的標準差），第二種投資方式（B）的年平均回報率為12%，該方式的投資風險為平均回報率的10%，問：(1)現為了使得年投資回報總額達到10萬元，該選用哪種投資方式為最佳方式；(2)現為了使得年投資回報總額達到14萬元，該選用哪種投資方式為最佳方式（假定投資回報呈正態分佈）6、使用標準分數(Z)應注意的問題：

標準分數雖然能夠反映原始分數在團體中的相對位置，但不能直接體現對象對知識的掌握程度。所以在對對象學習情況進行評定和分析時，應將原始分數和標準分數結合起來分析研究。第六章 抽樣分佈及總體平均數的推斷SAMPLINGDISTRIBUTION&INFERENTIALSTATISTICSOFPOPULATIONMEAN隨機抽樣分佈THERANDOMSAMPLINGDISTRIBUTION平均數的隨機抽樣分佈THERANDOMSAMPLINGDISTRIBUTIONOFTHEMEAN標準誤與總體標準差的關係DEFINETHESTANDARDERROROFTHEPROPORTIONANDSTATEITSRELATIONSHIPTOTHEPOPULATIONSTANDARDDEVIATION總體平均數的參數估計PARAMETERESTIMATIONOFTHEPOPULATIONMEAN檢驗功效POWER一類和二類錯誤TYPEⅠANDTYPEⅡERRORS假設檢驗的邏輯與過程THELOGICANDPROCEDUREOFTHEHYPOTHESIS6.1抽樣分佈SAMPLINGDISTRIBUTION6.1.1研究實例上海市初中一年級末數學水準的調查研究，在該研究中假定上海市共有初中一年級學生為150000人(N人)，如果對上海所有初中一年級學生進行統一的標準化的數學成就測驗，其測驗的平均成績為80分(μ)，測驗的標準差為9分(σ)。實例1實例2某一調查研究者甲為了節省調查研究的成本，現從上海市初中一年級學生中隨機抽取500人(n人)進行統一的標準化的數學成就測驗，試圖通過這500人的測驗結果來推斷全上海初中一年級學生的數學水準，其測驗的平均成績為82分()，測驗的標準差為8分(σx

)。1、分析上述實例區分總體和樣本區分參數與統計量及不同的表達方式總體參數樣本統計量容量Nn平均數

μ標準差σσx如果我們用上海初一年級150000個學生的成績做圖，則構成一個總體分佈圖：概率密度或百分比成績如果我們只用其中抽取的500個個學生的成績做圖，則構成一個樣本分佈圖：概率密度或百分比成績2、抽樣分析假定該研究者第一次抽取500人做完調查研究後，又重新從上海初中一年級學生中(150000人)抽取500人(n2)進行調查研究，其平均數為：標準差為：σx2(抽取學生的過程中，前面抽到的學生在後面抽取中也可能抽到，但不重複測驗)。如果上述過程不斷重複操作，則可以得到更多的樣本平均數和標準差，如下表：抽樣次數樣本容量樣本平均數樣本標準差1500σx12500σx23500σx3…………i500σxi…………k500σxk…………∝500σx∝如果我們用k(k趨近於無窮大)個樣本平均數做頻數分佈圖，則構成一個由樣本平均數組成的抽樣分佈(平均數抽樣分佈，THESAMPLINGDISTRIBUTION)圖：概率密度或百分比抽樣的平均成績由這些抽樣的平均數構成的平均數由這些抽樣平均數組成分佈的標準差稱為平均數的標準誤用來表示。標準誤(STANDARDERRORS)：某種統計量的標準差稱為該統計量的標準誤。抽樣分佈是某一種統計量的概率分佈6.1.2平均數抽樣分佈的幾個定理3、正態總體中，平均數的抽樣分佈呈正態1、2、4、偏態總體中，當抽樣容量較大時，平均數的抽樣分佈也呈正態6.1.3樣本平均數與總體平均數的離差統計量平均數為：標準差為：離差統計量是以標準差為單位來來度量某一個個案值與平均數間的差異。Z分數就是一種離差統計量當總體標準差已知時，平均數的離差統計量的計算：當總體標準差未知時，平均數的離差統計量的計算：首先根據樣本標準差(σx)來估計總體標準差(σ)，其估計值用S來表示。因此，平均數的標準誤為：離差統計量的表達形式為：t分佈及特點自由度例：某校二年級學生的英語平均成績為78，從中隨機抽取50人，其平均成績為82，標準差為12。試估計該校二年級學生英語成績的標準差，並計算50人平均成績的離差統計量。6.2總體平均數的參數估計PARAMETERESTIMATIONOFPOPULATIONMEAN6.2.1點估計POINTESTIMATION1、點估計的定義2、點估計的評價標準無偏性(UNBIASED)

有效性一致性6.2.2區間估計INTERVALESTIMATION1、區間估計的定義2、區間估計的計算例1某一個正態總體，其平均數為130，標準差為10。問，以平均數為中心，95%學生的成績的分佈範圍；其成績在128到132間的人數的比例；最高成5%學生成績的分佈範圍。從總體中抽取25人，計算其平均成績，該平均成績在128到132間的概率有多大；從總體中抽取25人，計算其平均成績，該平均成績以總體平均數為中心，95%概率下的分佈範圍從總體中抽取25人，計算其平均成績，該平均成績由高到低95%概率下的分佈範圍；從總體中抽取25人，計算其平均成績，最高5%的平均成績的範圍。從總體中抽取25人，計算其平均成績，該平均成績大於135的概率是多少。例2某小學10歲兒童身高的標準差為6.25釐米，現從該校隨機抽出27名10歲兒童，其平均身高為134.2釐米，試估計該校10歲兒童身高的95%和99%置信區間(CONFIDENCEINTERVALS，CI)4、總體標準差(σ)未知條件下的區間估計在總體標準差未知的條件下，樣本平均數與總體平均數的離差統計量呈t分佈:區間估計的基本原理t值μ例2從某次考試中隨機抽取102名學生的成績，其平均成績為26，標準差為1.5。試估計總體平均成績95%和99%的置信區間。例1從某小學三年級學生中隨機抽取12名學生，其平均成績為29.917，標準差為3.926。試估計該校三年級學生總體平均成績95%和99%的置信區間。6.3假設檢驗的基本原理和過程THELOGICANDPROCEDUREOFHYPOTHESISTESTING1、假設檢驗的定義2、假設檢驗的原理6.3.1假設檢驗的原理假設(HYPOTHESIS)零假設(NULLHYPOTHESIS)備選假設(ALTERNATIVEHYPOTHESIS)小概率事件顯著性水準(SINGIFICANCELEVEL)危急區間/拒絕區間(CRITICALREGION/REGIONOFREJECTION)兩端及一端檢驗(TWOTAILEDANDONETAILEDTESTS)極端Z值(CRITICALZVALUES)6.3.2假設檢驗中的基本概念6.3.3假設檢驗中的基本過程(1)假定：首先假定兩個樣本所代表的總體之間沒有差異，目前樣本特徵量之間的差異純屬隨機誤差。(2)計算：選擇適當的統計公式，正確計算統計值。

(3)比較：將計算出的統計值與查表得到的臨界值相比較，得出上述假定成立的可能性(P)有多大。

(4)判斷：按照差異顯著性的判斷規則，作出一定可靠程度的判斷。6.4總體平均數的顯著性檢驗6.4.1總體標準差(σ)已知條件下的總體平均數的顯著性檢驗例1全區統一考試物理平均分為50分，標準差為10分。某校一個班41人的平均成績為52.5，問該班成績與全區成績差異是否顯著？例2例3有人從受過良好教育早期兒童中隨機抽取70人是行韋氏智力測驗(該測驗的總體平均數為100，標準差為15)，其結果為103.3。能否認為受過良好早期教育的兒童智力高於一般水準？例4某一種食品的標準重量為1000克，但在包裝過程中有誤差，其標準差為50克。工商部門為檢驗其重量是否合格，從該產品中抽出50袋樣品，平均重量為986克。問該產品在重量上是否合格？6.4.2總體標準差(σ)未知條件下的總體平均數的顯著性檢驗例1某心理學家變認為一般汽車司機的視反應平均時間是175毫秒，有人隨機抽取36名汽車司機作為研究樣本進行了測定，結果平均值為180毫秒，標準差為25毫秒。能否根據測試結果否定該心理學家的結論。例2例3醫學上測定，正常人的血色素應該是每100毫升13克，某學校進行抽查，37名學生血色素平均值為12.1克，標準差為1.5，問該學校學生的血色素是否顯著低於正常值。6.4.3差異顯著性的判斷規則

有大於或等於99%的把握(即有很大把握)說兩個總體有差異。(拒絕接受)差異非常顯著P≤0.01有大於或等於95%的把握(即有把握)說兩個總體有差異。(拒絕接受)差異顯著0.01<P≤0.05沒有把握說兩個總體差異。(保留)差異不顯著P>0.05判斷統計意義P值6.5兩類錯誤及檢驗功效TYPEⅠERRORS、TYPEⅡERRORSANDPOWER6.5.1兩類錯誤1、實例分析例A韋氏智力測驗的總體平均數為100，標準差為15。現從某實驗學校抽取64人，其平均智商為103，問該校的智力水準與總體水準是否有顯著差異(α=.05)。例B從現從某實驗學校抽取64人，其平均智商為103。問該校學生的智力水準是否是來自於平均智商為105，標準差為15的總體(α=.05)。=1001.961.60=103例A假設檢驗的示意圖α/2=.025α/2=.025=106-1.96-1.06=103例B假設檢驗的示意圖α/2=.025α/2=.025μ1=105μ0=1001.60=103例A假設檢驗中所犯錯誤1.96α/2=.025α/2=.025ββ=.24μ0=100μ1=105-1.06=103例B假設檢驗中所犯錯誤α/2=.025α/2=.025β-1.96β=.242、兩類錯誤的定義α錯誤：假設是真而被拒絕，其大小與假設檢驗的顯著性水準相等。β錯誤：假設是偽而被接受。3、兩類錯誤的相互關係在我們做決策時兩類錯誤客觀存在；當一種錯誤在減小時，另一類錯誤在增加。4、控制兩類錯誤的方法合理安排拒絕區域的位置；擴大抽樣的容量。5、抽樣容量要多大？樣本容量的擴大引起的變化是什麼？6.5.2檢驗功效(POWER)1、什麼是檢驗功效Power=1-β功效：正確拒絕的概率Power:Theprobabilityofrejectingafalsenullhypothesis2、影響功效的因素Power=1-β檢驗的形式樣本的容量鑒別力(EFFECTSIZE，d值)d3、依據功效的要求，確定樣本的大小例A中，如果要求功效為.80，其樣本應為多少？μ1=105μ0=1001.96α/2=.025α/2=.025βN=71.916.6練習1、某人做100個5選1的選題，假如規定做對95%的題目才算瞭解有關知識，則至少應該做對多少題。（注：二項分佈中，當N較大時，可視為正態分佈）2、一位人類學家測量了取自某一海島上的100名男子的隨機樣本的身高，求出其平均值為170.2釐米，如果標準差為8釐米。1)求總體平均身高μ的95%的置信區間；2)如果想把95%的置信區間變得窄一些，如想誤差區間變為0.5釐米，那麼應該收集多大的樣本；3、假定飛機乘客體重的總平均值為60公斤。標準差為11公斤，某飛機載重量為3500公斤。1)55位乘客的飛行將會超重的機會是多少？2)要將超重的機率減小到0.005，該飛機的標準載重量應為多少？第一節推斷統計的概述

第二節

Z檢驗

第三節t檢驗第四節相關樣本的相關研究——顯著性檢驗

第五節(卡方)檢驗第一節推斷統計的概述

一、推斷統計的概念

(一)什麼叫推斷統計

1.推斷統計的

定義

在描述統計的基礎上，利用樣本數據所傳遞的資訊來推斷總體特性的統計方法.2.推斷統計與描述統計的關係：

推斷統計需要描述統計作基礎。

描述統計所歸納整理出來的數據資料必須進一步施之於推斷統計。

3.推斷統計的

分類：

推斷統計有估計和檢驗兩種，本章只介紹有關檢驗的方法。

檢驗：通過考察兩個樣本特徵量的差別來說明相應的兩個總體特徵量之間是否存在差異的一種推斷統計方法。

例1：某幼稚園教師為了瞭解“平衡膳食法”對防治幼兒缺鐵性貧血有無作用，便抽取一定數量的幼兒，檢查他們在採用“平衡膳食”前後血色素變化的情況，從而對這種膳食方法作出總體判斷。

例2：為了解全園幼兒在自信心方面有無性別差異，便在全園男女幼兒中各抽取一小部分幼兒接受自信心的測驗，然後根據測驗的結果過推論全園情況。

這種由已知推論未知，有樣本性質推論總體性質的推論方法就是檢驗。

(二)推斷統計的功能與目的

1.

功能由樣本特徵推斷出總體的特徵，從而揭示研究對象的本質和規律，幫助我們從已知推斷出未知，尋找出帶普遍性的結論。

2.目的對樣本特徵量進行比較、分析之後，獲得能反映總體規律的結論。

(三)推斷統計在教育科學研究中的意義1推斷統計是教育科研的基礎

2推斷統計是一種科學的思維方法

3推斷統計是一種重要的學習工具。

二、差異顯著性的檢驗和基本思想

利用兩個樣本特徵量之間的差異是否顯著，來檢驗其對應的總體特徵量之間是否有差異的一種數理推理方法。

(一)差異顯著性檢驗(假設檢驗)的涵義1.總體和樣本：(p6)全體研究對象稱總體。從總體中抽取出來進行研究的小群體叫樣本。

2.參數和統計量：

由總體的全部數據計算出來的，反映總體特徵的量(σρ)稱參數。由樣本的數據計算出來的反映樣本特徵的量(S

r)稱統計量。

3.計量資料和計數資料(p11～12)

計量資料就是數量化資料，是指利用相應的工具或一定的標準測量而獲得的資料。

4.隨機誤差與條件誤差由偶然因素造成的誤差，是隨機誤差。由教育條件的改變造成的誤差稱條件誤差。

(二)差異顯著性檢驗的邏輯

首先，假定兩個樣本所代表的總體沒有差異；然後，應用適當的統計公式進行計算，得出上述假定成立的可能性(P)有多大；最後，根據有關規定，在一定的可靠性程度上對上述假定做出判斷。

1.差異顯著性檢驗的推理邏輯是一種“反證法”。其基本思路是：

2.差異顯著性檢驗的一般步驟：

(1)假定：首先假定兩個樣本所代表的總體之間沒有差異，目前樣本特徵量之間的差異純屬隨機誤差。

(2)計算：選擇適當的統計公式，正確計算統計值。

(3)比較：將計算出的統計值與查表得到的臨界值相比較，得出上述假定成立的可能性(P)有多大。

(4)判斷：按照差異顯著性的判斷規則，作出一定可靠程度的判斷。

教育統計中習慣規定：

○將P>0.05作為“差異不顯著”，意即“兩個總體沒有差異的可能性大於5%”.○將P≤0.05作為“差異顯著”，意即“兩個總體沒有差異的可能性小於或等於5%”或者“以大於或等於95%的把握說兩個總體有差異”。

○將P≤0.01作為“差異非常顯著”，意即“兩個總體沒有差異的可能性小於或等於1%”或者“以大於或等於99%的把握說兩個總體有差異”。

表22：差異顯著性的判斷規則

零假設：當前樣本所屬的總體與假設總體無區別的假設。備擇假設：當前樣本所屬的總體與假設總體有區別的假設。沒有把握說兩個總體有差異。(保留有大於或等於95%的把握(即有把握)說兩個總體有差異。

(拒絕

接受有大於或等於99%的把握(即有很大把握)說兩個總體有差異。(拒絕

接受P值統計意義判斷P>0.05差異不顯著

)0.01<P≤0.05差異顯著

)P≤0.01差異非常顯著)一般在統計推斷前提出假設:現以“家園教育一致促進幼兒智力發展”的研究為例，如果經過檢驗:當P>0.05時，則可以認為這5分之差純粹是隨機誤差，結論是：實驗班與對照班幼兒的智商差異不顯著，沒有把握判斷“家園教育一致能促進幼兒智力的發展”；

當P≤0.05時，則可以認為這5分之差是條件誤差

結論是：實驗班與對照班幼兒的智商差異顯著，有把握判斷“家園教育一致能促進幼兒智力的發展”；

當P≤0.01時，則更可以認為這5分之差是條件誤差，結論是：實驗班與對照班幼兒的智商差異非常顯著，結論是：實驗班與對照班幼兒的智商差異非常顯著，有很大把握判斷“家園教育一致能促進幼兒智力的發展”

H0:μ1=μ2H1:μ1≠μ2

(三)進行差異顯著性檢驗應注意的事項

1.必須強調樣本的代表性和樣本資料的可比性。

2.差異顯著性檢驗只適用於對隨機誤差的檢驗。

3.不同類型的數量資料，要用不同的檢驗方法。一般情況下，計量資料常用t檢驗，計數資料常用(卡方)檢驗。

4.正確理解差異顯著性檢驗的結果。

5.差異顯著性檢驗只能通過樣本的差異是否顯著來推斷總體有無差異，但不能推斷出總體之間的差異有多少。

第二節

Z檢驗

一、Ｚ檢驗的概述

(一)什麼是Z檢驗

兩個獨立的大樣本平均數或百分率差異顯著性檢驗。

1.相關樣本：

a.同一測驗，對同一被試，前後兩次測驗。b.同一測驗，測基本情況相等的不同被試。

如表列：

集中識字傳統識字AABB2.獨立樣本：

兩個樣本的均數是全然無關的組別