考点50-利用导数求单调性(讲解)(解析版)

考点50：利用导数求函数的单调性【思维导图】【常见考法】考法一：求函数的单调性1.函数y＝4x2单调递增区间是。【答案】（，+∞）【解析】y′＝8x，令y′＞0，解得x，则函数的单调递增区间为（，+∞）．2．函数的单调减区间是。【答案】，【解析】，，令，解得：，3．函数的单调增区间为。【答案】【解析】函数的定义域，，．故函数的单调递增区间4.已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是_____．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx＞0(x∈(－π，π))，解得－π＜x＜－eq\f(π,2)或0＜x＜eq\f(π,2)，即函数f(x)的单调递增区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考法二：单调函数求参数1．已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是。【答案】， 【解析】由题意可得，恒成立，①时，显然满足题意，②时，则根据二次函数的性质可得，，解可得，，综上可得，．2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是。【答案】， 【解析】函数在区间上为增函数，在区间上恒成立，在区间上恒成立，在区间上恒成立，在区间上单调递增，，，，3.已知在区间，上单调递增，则实数的取值范围是。【答案】， 【解析】已知在区间，上单调递增，在，上恒成立，若，显然恒成立，符合题意；若，则‘’，在，上是增函数，（1），即，解得，综上的范围是，。4.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是。【答案】， 【解析】存在单调递增区间在上有解，即在上有解，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减又，，，（e）当时，，令，则，当时，，函数单调递减，，函数单调递增（e），即，恒成立，此时不满足题意考法三：非单调函数求参数1.已知函数在上不单调，则的取值范围是【答案】 【解析】函数的定义域为，函数的导数，若在上不单调，即当时有解，即，则时，有解，由得，即，则即可，得，即实数的取值范围是。2．函数上不单调的一个充分不必要条件是。【答案】 【解析】由题意，，函数在上不单调，分子应满足在有实根，设，时，显然不成立，时，只需，解得：或，故，。3.函数不是上的单调函数，则实数的取值范围是。【答案】 【解析】不是上的单调函数，则有2不等的实数解，‘故△，解可得4.已知函数在其定义域内的子区间上不单调，则实数的取值范围为。【答案】【解析】在其定义域内的子区间上不单调，函数在区间上有极值，由得或（舍去），解得：考法四：利用单调性比大小1．已知函数，若，则的大小关系。【答案】【解析】由题意可得：可知在上单调递增；作出与的图象，，可得，故，2．已知函数，则的大小关系。【答案】【解析】令，所以是偶函数；当时，，在上是增函数，将图像向右平移一个单位得到图像，所以关于直线对称，且在单调递增.∵，，，∴，∴，又∵关于直线对称，∴，∴.3．已知奇函数是R上增函数,则的大小关系。【答案】【解析】由奇函数是上的增函数，可得，以及当时，，当时，，由，则，即为偶函数．因为，所以当时，，当时，．故时，函数单调递增，时，函数单调递减．因为，所以．4．已知奇函数的导函数为，当时，，若，，（1），则，，的大小关系正确的是。【答案】 【解析】令，，则在上恒成立，所以为上的递增函数，因为，（e）（1），（e）（1），又为奇函数，所以（e），5．设定义在上的函数满足任意都有，且时，，则，，的大小关系是。【答案】【解析】函数f（x）满足f（t+2）=，可得f（t+4）==f（t），∴f（x）是周期为4的函数．6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）．令g（x）=，x∈（0，4]，则g′（x）=，∵x∈（0，4]时，，∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增，∴f（1）＜＜，可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）．考法五：利用单调性解不等式1.已知函数，则不等式的解集是。【答案】【解析】函数，可得，时，，单调递增，，，不等式的解集等价于不等式的解集．．．2.已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对定义城内的任意，都有成立，则不等式（2）的解集为。【答案】，， 【解析】当时，由，得，即．令，则在，，上也为偶函数，且当时，总成立，在上是增函数．不等式（2）可化为（2），则，又，，，解得，，．3．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为。【答案】【解析】令，则，，，，在上为单调递增函数，原不等式可化为，根据的单调性得4.设是定义在，上的可导函数，，且，则不等式（a）的解集为。【答案】，【解析】是偶函数且大于0，，则为，上的奇函数和增函数，（a）（a