同济版高等数学上册复习资料

高等数学(上)总复习第一局部复习的重点及题型分析第二局部高等数学(上)方法综述精选课件第一局部

复习的重点及题型分析复习重点三个根本计算—极限,导数,积分两个根本应用—导数应用,积分应用一个根本理论—有关中值的定理及应用精选课件一.三个根本计算(约70%)1.极限的计算(约24%)主要题型(1)利用根本方法求极限函数的连续性;四那么运算法那么;极限存在准那么;两个重要极限;等价无穷小替换;洛必塔法那么.(2)利用特殊方法求极限导数定义;定积分定义;微分中值定理;变限积分求导;讨论左右极限.(3)无穷小量的比较精选课件例题分析例1.

计算解:解:利用等价关系例2.

设f(x)处处连续,且f(2)=3,计算精选课件解:化为指数形式,利用例3.计算解:例4.

计算精选课件例5.计算解:令

例6.

计算解:令精选课件例7.计算解:利用等价无穷小例8.

计算解:精选课件例9.求解:

令那么原式=洛例10.计算解:直接用洛必塔法那么不方便利用等价无穷小精选课件例11.

计算解:利用微分中值定理例12.计算解:洛这是积分变量精选课件例13.求原式=洛利用等价无穷小解:精选课件例14.解:对所给等式左边用洛必塔法那么,得再利用可知求

a,b.精选课件2.导数和微分的计算(约18%)主要题型(1)计算复合函数的导数和微分;(2)计算隐函数的导数和微分;(3)参数方程求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求特殊点的导数值;(5)计算n

阶导数.(包括对数微分法)例题分析精选课件例1.解法1.等式两边对x

求导,得故解法2.

等式两边取对数,得两边对x求导,得故精选课件例2.解：两边取对数，得两边对

x求导精选课件例3.证明下述函数在x=0连续且可导证:因为又在x=0连续且可导.思考:假设函数改为是否有同样的结论?精选课件例4.解:,求精选课件例5.设

解:精选课件例6.

设解:精选课件例7.设求解:精选课件例8.求解:方法1.利用归纳法可证方法2.

利用莱布尼兹求导公式的n

阶导数.精选课件例9.设求解:精选课件3.不定积分与定积分的计算(约28%)主要题型(1)利用根本积分方法计算不定积分;(2)利用根本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分;(4)广义积分的计算及收敛性判别.例题分析精选课件例1.求解:令令例2.求解:精选课件例3.求解:原式=精选课件例4.求解:例5.

讨论积分解:的敛散性.发散可见原积分发散.精选课件例6.求解:奇函数偶函数例7.解:对所给等式两边求导,得求利用“偶倍奇零〞,得精选课件例8.设,求(P266题10)解:

令那么精选课件例9.解:由条件得求精选课件例10.求解:利用P245例6(2),即精选课件例11.利用递推公式计算以下广义积分解:(P256题3)精选课件二.两个根本应用(约24%)1.导数的应用(约16%)主要题型(1)导数的几何应用(2)利用导数研究函数形态(3)求解最值问题(4)利用导数证明恒等式(5)利用单调性证明不等式精选课件例1.

设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,那么导函数的图形为

.(2001考研)提示:在某区间I

内可导,那么在I内是的极值点例题分析精选课件例2.

证明在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,故当

x>0时,从而在上单调增.得(L.P95例4)精选课件例3.证明当x>0时,证法1:设那么故证法2:当x>0时,在[x,

x+1]上利用拉氏中值定理,得精选课件例4.证明:证:即〔P130例1〕精选课件例5.

证明当证:

归结为证即在(0,1)上不好判别正负号提示:

证明f(0)是f(x)在(–,1)

上的最大值.说明:假设改为证明当x<1时,如何证明?精选课件例5.

设证:

设且①②比较①,②可知,故不等式成立.精选课件有两个根;例6.

讨论方程有几个实根.解:

设令得(最大值)注意因此当时,当时,只有一个根；当时,无实根.(P151题5)精选课件例7.求双曲线的曲率半径

R,并分析何处R

最小?解:那么利用精选课件例8.

求内接于半径为R

的球内的正圆锥体的最大体积.解:

设锥体的底半径为r,高为h,如图因△ADB∽

△BDE,所以圆锥体体积为极大值点在(0,2R)内只有唯一驻点,且为极大值点,故为最大值点,最大值为精选课件2.定积分的应用

(约8%)(1)利用定积分计算面积直角坐标方程参数方程极坐标方程(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积(3)定积分的物理应用(4)有关定积分的证明题主要题型例题分析精选课件例1.求曲线解:设切点为那么切线方程为令得与其通过原点的切线及y轴所围图形的面积.故所求面积为精选课件例2.求曲线解:列表:绕x

轴旋转所得旋转体的体积.精选课件例3.求抛物线解:与直线所围的图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积.精选课件例4.求由圆解:圆的方程为围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的旋转体体积.利用“偶倍奇零〞精选课件例5.证明提示:

令,得x=1,0,判别x=1为f(x)在上的唯一极大点,故那么时精选课件例6.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解:

设抛物线上切点为那么该点处的切线方程为它与x,y

轴的交点分别为所求面积精选课件且为最小点.故所求切线为得[0,1]上的唯一驻点精选课件三.一个根本理论—有关中值的问题(约5%)主要题型(1)讨论函数的零点问题或方程根的问题存在性唯一性—常用介值定理

;罗尔定理—利用单调性

;反证法(2)利用微分和积分中值定理证明等式或不等式例1.表达拉格朗日中值定理并证明之.提示:利用逆向思维设出满足罗尔定理的辅助函数.例题分析精选课件例2.设常数至少有一正根,且不超过证:设,那么均为正值,证明方程若则为一正根,且符合题意.若那么由根的存在定理知,,又至少存在一个使,即所给方程至少有一个不超过的正根.精选课件证明方程例3.证:先证存在性.使再证唯一性.在[0,1]上有唯一的根.那么因此,即假设方程还有一根那么无妨设x

0<x1,故存在一点那么在[x0,x1]上F(x)满足罗尔定理条件,即与条件矛盾,故假设不真,因此根唯一.精选课件例4.设证:设证明存在唯一一点因此存在唯一一点即精选课件例5.上可积且不变号,证明存在使(P266题11)证明思路:想到用介值定理精选课件上可积且不变号,证明存在使例5.证明:设M,m

分别为上的最大值与最小值,不妨设假设那么故对任意结论都正确;假设由连续函数介值定理可知,存在使,故定理成立.那么那么精选课件例6.设在内二阶可求证:至少存导,且在一点提示:由积分中值定理得上用罗尔定理得上用罗尔定理,得精选课件例7.

证明方程证:设

原方程存在唯一实根由使在[0,1]上存在唯一的实根xn,且那么得由①

①精选课件四.几点说明1.函数也是考试重点(1)函数的定义域及复合函数的表达式(2)讨论函数在一点的连续或间断例1.

证明解:在

x=0连续.精选课件例2.

设解:故

x=0为第一类跳跃间断点.并指出其间断点的类型.思考:

如何求及其间断点?精选课件例3.

设解:因为x>0时,F(x)可导,故连续,问a

取何值时F(x)连续?显然连续,精选课件2.注意综合试题(1)极限与其它知识点的结合(2)求导与积分方法的结合(3)