上海市北郊高级中学2022年高二数学理月考试卷含解析

上海市北郊高级中学2021-2022学年高二数学理月考试卷含解

析参考答案：

C

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有A1

是一个符合题目要求的sm^4=-4.

5.“2”是…=30，，的（）条件

1.将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必

样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301

要

到495在第H营区，从496到600在第1H营区.三个营区被抽中的人数依次为（）

工

25,17,8B.25,16,9C.26,16,8D.24,17,参考答案：

9

B

参考答案:

A

x=>-2

2.一个空间几何体的三视图如右图所示，俯视图为正三角形，则它的外接球的表面积为（）6.已知不等式组lx<2,表示的平面区域为D,点0（0,0）,A（1,0）.若点M是D上的动

田N

点，则।词的最小值是（）

V1Q-5V2-10

A.10B.5c.2D.10

参考答案：

112交28g

3~3~A

A.47rB.C.D.16乃

【考点】7C：简单线性规划；9R：平面向量数量积的运算.

参考答案：

【分析】利用向量的数量积将条件进行转化，利用数形结合进行求解即可得到结论.

B瓦•而..叵•丽

a_112【解答】解：设矶，则

z=।2=|OA||oiH=|O^?COSZAOM,

{4}s库（耳+1）n11n

3.数列的通项公式是，若其前项的和为，则项数为（）VO（0,0）,A（1,0）.

A.12B.11C.10D.9/.I0Al=i,

参考答案：

.・.z=I0A|?cosZAOM=cosZAOM,

C作出不等式组对应的平面区域如图：

4.已知双曲线户一声一（a>0,b>0）的离心率为［立为，则它的两条渐近线所成的角中以要使cosZAOM最小，

实轴为平分线的角的大小为（）则/AOM最大，

即当M在C处时，ZAOM最大，

A."B.♦C.亨争D.停㈤

fx+y=4(x=l【考点】确定直线位置的几何要素.

由限乎-2得1y=3,即c(1,3).

【分析】设直线1的倾斜角为0,oe[0,IT).可得tanO=-1,解得0.

则IAC|=VTQ【解答】解：设直线1的倾斜角为0,。£[0,J：).

iVioe卫

贝i|cosZA0M^/^0=1°,/.tan0=-1,解得4.

故选：D.

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

隆+尽1

<K__1

9.已知x、y满足不等式组〔,若直线x-y-a=0平分不等式组所表示的平面区域的面积,

则a的值为()

1_V2.

A.-2B.-2C.1-2^2D.1-V2

7.数学归纳法证明(n+1)?(n+2)?...?(n+n)=2产卜3、..金(2n-1)(neN-)成立时，从n=k到参考答案：

n=k+1左边需增加的乘积因式是()

D

2c4-12k4-3

A.2(2k+1)B.C.2k+1D.t+1【考点】简单线性规划.

【分析】求出可行域的面积，利用点到直线的距离公式转化求解即可.

参考答案:

x+y<l

Ax-y>-1

【考点】数学归纳法.

【解答】解：x、y满足不等式组的可行域如图：阴影部分三角形，可得三角形的面积

【分析】分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用用1<+1时左边的式子，比较两个表达

为：7x2X1=i.

式，即得所求.

【解答】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)...(k+k),

直线x-y-a=0平分不等式组所表示的平而区域的面积，而积为：2,

当n=k+1时，左边=(k+2)(k+3)...(k+k)(2k+1)(2k+2),

(2k+D(2k+2)此时(1,0)到直线x-y-a=0的距离为：

故从“k”到“k+l”的证明，左边需增添的代数式是k+1=2(2k+1),|1-al

1.可欧=1，

故选A.

8.已知直线I的斜率为-1,则直线1的倾斜角为()

7T7T3冗

A.0B.4c.2D.4

参考答案:

D

n

-2)?+y==2相交时包含的基本事件数n,最后事件发生的概率为P=N

I22，4

【解答】解：•・•直线ax-by=0与圆(x-2)什产2相交，J圆心到直线的距离+b

即a<b

-3-2

•••设一颗骰子投掷两次分别得到点数为(a,b),则这样的有序整数对共有6X6=36个

其中a<b的有(1,2),(I,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,

5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共5+4+3+2+1=15

解得aJ-血

个，

故选：D.5

io,函数痴=】+”一皿在37%的单调情况是()・••直线ax-by=0与圆(x-2):+y?=2相交的概率为P=12

5

A.单调递增：

故答案为12.

B.单调递减：

12.在三棱锥户一4BC中，RA_L底面ABC,AC±BC,PA=AC=BC,则异而直线48所成角的

a=(cos名-d)Or2yr)大小是▲.

C.在‘fJ上单调递增，在‘1''上单调递减；

参考答案：

D.在起皿2.因上单调递减，在阮加)上单调递增：

60°

y-1

参考答案：

13.设点4(2,-3),8(-3,—2),点P(x,y)是线段48上任一点，则了一1的取值范围

是______

【分析】

/W

通过求导来判断的单调性。参考答案：

fQ)=1+Gn*之0/W=l+x-cosx(。,2用

【详解】因为，所以在单调递增，故选A.3

k24或kW-4

【点睛】此题考查利用导数判断函数单调性，此题为基础题.

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

一十2团的七比*“、口队+廿x=3*v^d(〉y=rand()(rand^)*一冷―。

11.将一颗骰子投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax-by=0与圆(x-2)二+产2相交的概率14.在随机数模拟试验中，若，，表不生成

为^x2y2x2/

、一+—<1—+—=1

~J辟H9494

参考答案:到之间的随机数，共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可

5估计为---------------------O

12

参考答案：

【考点】直线与圆的位置关系；古典概型及其概率计算公式.

24履

【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N,再计算事件直线ax-by=0与圆(x

15.圆(x-4)：l+S-■l)：l=5内一点p⑶0),则过点P的最短弦所在直线方程为.

A5；=BBX-BA,BM=5C-|BBl

参考答案：

x+y-3=O…蒋，皿『坐我冲

.由、、、、这五个数字组成没有重复数字的四位数，则所有这些四位数的个位数字的和

16123452版・押2M.褥，故填写90,

为一_________

参考答案：

360三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

【考点】D8：排列、组合的实际应用.

18.(本小题满分12分)

【分析】根据题意，按个位数字的不同分5种情况讨论，每种情况下求出满足题意的四位数数目，计

算可得这些四位数个位数字的和，将5种情况卜.的四位数“个位数字的和“相加，即可得答案.巴士g(K)=+logM)(«>0且"1)"、/]

(1)设X2，求和

【解答】解：根据题意，分5种情况讨论：

①、当个位数字为1时，在2、3、4、5四个数中任取3个，安排在前3个数位，有Aa=24种情况,⑵贺力=43*-啕叱求8+5的值。

«

即当个位数字为1时，有24个满足题意的四位数，

参考答案：

则其个位数字的和为1X24=24,

(cosx)fx-(cosx)(x)f_-xsinx-cosx

②、当个位数字为2时，同理可得有24个满足题意的四位数，/(%)=---------o--------=-------5------

解：(1)X31.....3分

则其个位数字的和为2X24=48,

③、当个位数字为3时，同理可得有24个满足题意的四位数，/5)=)(1)'+Qog«*+

22xha

则其个位数字的和为3X24=72,

........3分

④、当个位数字为4时，同理可得有24个满足题意的四位数，

(2)

则其个位数字的和为4X24=96,

a=23x2tog45=4x5=20

⑤、当个位数字为5时，同理可得有24个满足题意的四位数，

........2分

则其个位数字的和为5X24=120,

则所有这些四位数的个位数字的和为：

24+48+72+96+120=360lg21g31g5lg21g2

故答案为:360.

........3分

17.如图，已知正三棱柱工的各条棱长都相等，"是

a+5-24

eq

侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小.....1分

是---------

略

参考答案：

/(x)=sinjfeosx4-cos2-x-

解析：不妨设棱长为2,选择基向量，则19.(本小题满分10分)已知函数

££式钎麴」工2+19=19-仁+马

（II）依题意年平均利润为------工--------2——口-----------工一工----------9分

（I）求了（工）的最小正周期；（11）求函数/（工）在L&t」的最大值和最小值.

---^+―>2^=122

参考答案：2工，当且仅当Y二144即瓦=12时等号成立

（I）由已知，得二该医院在第12年底出售该机器时经济效益最大-------------------------------12分

/.J;.=1S»I2X+ACOS2I“，…皿2分21.解关于x的不等式：

（1）3X2-7又>10

=¥sin（2为+?）.........4分

x-1.

⑵而T《。

所以T=^-=n,

参考答案：

现一/，x，的最小正周期为始……二二5分【考点】其他不等式的解法.

（口）因为-NwxmI,所以OM2*+EM史.……“一…••…6分【分析】（1）将不等式一边化为0,分解因式，解之；

8244

（2）将不等式等价转化为整式不等式解之即可.

于是.当2x+9髀，即x.时./，不，取得最大值争……8分

【解答】解：（1）原不等式可化为：3x2-7x-10>0

10

当2x+?=孚时.即*=彳时，「X，取得最小值……………L0分

则方程3X2-7x-10=0的两根为x=3,x=-1

442212

10

20.某大型医院年初以102万元购进一台高档扫描仪器，在使用期间每年有20万元的收入.该机器的・••不等式的解集为{x1・IVxV3}

维护费第一年为1万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多1万元，同时该机器第x（2）原不等式等价于（x-1）（2x+l）W0且2x+lW0

30-lx

（KE_AT,KW60）年底可以以（2）万元的价格出售.则方程（x-1）（2x+l）=0的两根为x=4x=1

12

①求该大型医院到第x年底所得总利润），（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；

・••不等式的解集为{x[2<xWl}

（ID为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该大型医院应在第几年底出售这台扫描仪器？说明

22.在平面直角坐标系xOy中，圆xHy2=4上的一点P（x,y）（x,y>0）处的切线1分别交x轴，

理由.0006

y轴于点A,B,以A,B为顶点且以0为中心的椭圆记作C,直线0P交C于M,N两点.

参考答案：

-6

侬=20102-[>+^^2]«30-，=-5/+19x-72①若椭圆C的离心率为°,求P点的坐标

（I）依题意得-----------------------2--------------2---------------------------------4分J?

②证明四边形AMBN的面积S>8“'

VXGN*,x<60

参考答案：

217

二当工叫个可

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】）运用直线的斜率公式，可得直线的方程，求得的坐标，可得椭圆的方程，讨论

217（11A,B

-T焦点位置，运用离心率公式可得P的坐标：

…该医院到第19年所得的总利润最大，最大值为万元.6分

（2）直线0P的斜率为k,依题意有k>0且kWL直线OP的方程为丫=1^,直线1的方程为

厂九二一看收一小）y=kx

，求得A,B的坐标，椭圆方程，代入直线丫=10（,求得M,N的坐标，可得|0M|,|AB|,运用四边形的（5十5）

面积公式和基本不等式，化简整理，即可得到结论.联立

>y°_XO兀二一次~缶-叼）

i---y~

【解答】解：（1）依题意y0.直线i方程为

22

X。.4y。，4C+y。）

y=-+y=—X=-+x0=一

令x=o,得V。0yo,令y=O,得X0,解出

xo+kyo-o+kyxo+ky。xo+ky。

M(一八六，k-r=-。-)NL)

0)tB(0i)可得Vl+k4Vlfk41+k41+k4

即有°t

2

22（①十1，几）2(M+kVo)2l+k2

xy

|OH2-+k（xo+ky（））2

d2I-l+k41+k41+k4

3)即有

椭圆c的方程为x°

22，2

呜(/)xo+V()

4川+$