正弦定理（备作业）2021-2022学年高一数学系列（人教A版2019必修第二册）（解析版）

6.43.2正弦定理

一、单选题

1.在AABC中，角A,8,C对应的边分别为a、b、c,若A=120。，。=3,b=+,则B等于()

.7C_57t7t_p.54_

A.—B.—C.2或hD.3

6666

【答案】A

【详解】

由正弦定理可知一J=4，sin8=MA：

smAsinBa

因为A=120。，a=3,b=6

所以.bsinA1.

sinB=------=------=-

a32

因为Be（O,R,所以8=m或8=学（舍）.

oo

故选：A.

3

2.在△ABC中，角4B,C所对的边分别是a,b,c,若c=l,8=45。，cos>4=1,则b等于（）

A5R10_5n5夜

A."D.—C.-D.--------

37714

【答案】C

【详解】

3i--------4

因为cosA=g,所以sinA=Jl-cos2A=g,

所以sinC=sin［冗一（A+B）］=sin（A+3）=sinAcos3+cosAsinB

ZJ=—^sin45°=-

b_c

由正弦定理:得:7&7.

sinBsinCIo-

故选：c

,IBC的面积为"理，则6=()

3.在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=5,B=

4

A.7GB.7C.6石.6

【答案】B

【详解】

因为c=5,B==,A4?C的面积为巨叵，

34

所以SMC

2234

解得a=3,

由余弦定理得〃="+/一2qc、cos/，

=9+25-2x5x3xcos—=49,

3

所以b=7,

故选：B

A

4.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c-cos?b+c,则dBC的形状为()

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【详解】

.Ac+bcosA+l1b

由已知可得cos2-7=一-,-----------=—।-----，

22c222c

即cosA=—,h=ccosA.

由正弦定理得：sinB=sinCeos/I.

在△ABC中，sinB=sin（A+C）,

从而有sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA,

即sinAcosC=0.在中，sinAwO,所以cosC=0.

由此得C=1,故AABC为直角三角形.

故选：B.

5.在AABC中，若"4=2B,贝iJcosB等于（）

A.-B.—C.-D

444-T

【答案】C

【详解】

因为4=结合正弦定理知sinA=gsin8,

而A=28,所以sin2B=；sinB,即2sinBcosB=gsinB,

由于8«0,不），即sinB>0,故2cos8=L因此cosB=L

故选：C.

6.已知在AABC中，a=x,b=2,B=30°,若三角形有两解，X的取值范围是()

A.x>2B.0<x<2C.2<x<3D.2<x<4

【答案】D【详解】

如图所示：

因为AC=b=2,若三角形有两个解,

则以C为圆心，以2为半径的圆与8A有两个交点,

当NA=90时，圆叮BA相切，不合题意；

当乙4=30。时;圆与8A交于8点，不合题意；

所以30<4<150,且ZAH9(T,

所以g<sinA<1由正弦定理得：

11

,(2sinB1<X<

sinA=-------=—x,2-4-

b4

解得2cx<4,

故选：D

7.在AABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解三角形，其中只有一解的是()

A.A=45°,c=3,a=2忘B.«=5,c=2>/3,C=60°

3

C.4=夜,6=6,8=45。D.6=2,C=K,AABC的面积为5

【答案】C

【详解】

对于A,rcsinAcavc,.,.此三角形有两个解；

对于B,•「a=5,c=20,C=6O。，由正弦定理可得工=M_,sinA=<>1,.•.此三角形无解；

sinAsin6004

对于C,,「&>“，且6>asin瓦.,.此三角形只有一个解；

对于D,；AABC的面积=；0csinA=GsinA=?,sinA=*，A=60。或120。，」.此三角形有两个解.

故选：C.

8.若“8C的内角4B,C所对的边分别为a,"c,已知bsin2A=asin8,且c=»,贝()

A.3B.1C.与D.73

【答案】D

【详解】

因为6sin2A=asin8,所以27?sinAcosA=asin8,利用正弦定理可得：2a6cosA=ab,所以cos4=,，

2

又cm所以COSA=J±G=3F=L解得：：=瓜

2hc4h22b

故选：D

9.AABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.若cosA=g,b=3,c=2,则AABC的面积为()

A.1B.2C.2&D.—

3

【答案】C

【详解】

解：因为cos4=：,所以sinA=2巨，

33

所以Sfc=gbcsinA=20.

故选：C.

10.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,AC=2&且bcosA=c•-半a，则公抽。的

外接圆面积为()

A.4万B.6/rC.8〃D.16〃

【答案】A

【详解】

因为6cosA=c-X^a>结合正弦定理得sin8cosA=sinC——-sinA,

22

sinBcosA=sinBcos4+cosBsinA------sinA,

2

0=cosBsinA-sinA,又因为sinA>0,所以=cos8,

22

又因为8«0,万），所以8=2，

_AC_2y/2_

设AABC的外接圆的半径为，则高万一五一，即/'=2,

V

则AABC的外接圆面积为勿，=41，

故选：A.

22

11.在AA8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinC=2sin（A+C）,a-b=2bc,则cosB的

值为（）

A.还B.正C.1D.-1

5534

【答案】A

【详解】

因为A+B+C="，所以sin（A+C）=sinB,

乂因为sinC=2sin（A+C）,所以sinC=2sinB,所以由正弦定理，得c=2A,

又因为4一。。=2Z?c,所以/=5必,

a2+c2-b25b2+4b2-b22石

由余弦定理，可知cos8=

lac4回25

故选：A.

二、多选题

12.在AA8c中，角A,B,C所对的边分别为“，h,c,给出下列命题，其中正确的命题为（）.

A.若A>B>C,则sinA>sinB>sinC；

B.若a=40,6=20,8=25。，则满足条件的AABC有两个；

C.若0<131140118<1,则AA8C是锐角三角形；

D.存在角A,B,C,使得tanAtan8lanC<tanA+tan8+tanC成立;

【答案】AB

【详解】

A.若A>8>C,二。>。〉。，由正弦定理可得：-A-=^—=,贝！JsinA>sin8>sinC,所以该选项正

sinAsmBsinC

确；

B.若a=40,6=20,8=25。，JfllJ40sin25°<40sin300=20,因此满足条件的AABC有两个，所以该选项

正确；

C.若OctanAlanbcl,则一tanC=tan(A+B)=」'"'［土—tanC<0,CG(O,^-),Ce(—,^,),4ABe

1-tanAtanB2

是钝角三角形，所以该选项不正确；

D.由于当CH生时，-tanC=tan(A+B)=1ali+的8,tantanBtanC=tanA+tanB+tanC,所以该选项不

21-tanAtanB

正确.

故选：AB

13.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/cosAsin3=从sinAcosB,则“8C的形状

为()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】AC

【详解】

?cosAsinB=b2sinAcosB

*e•由正弦定理得sin?AcosAsinB=sin2BsinAcosB，

sinAcosAwO

sinAcosA=sinBcosB,E|Jsin2A=sin2B

，2A=28或2A+25=%，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.

故选：AC.

三、填空题

14.在△ABC中，8=120。，AB=6,4的角平分线AD=g,则AC=

【答案】屈

【详解】

如图，在△ABD中，由正弦定理，

,曰ADAB.re&

得----=--------,/.smZADB=——，

smBsinZ.ADB2

Z408=45°,/.ZB^D=180o-45o-120o=15°,

・•・Z84c=30°,ZC=30°,

••BC--AB--^2，

在△48C中，由正弦定理，

得上=—'.AC=46.

sin8sinZBAC

故答案为：逐.

15.在AABC中，若面积S='+L-〃,贝IJZA=________

4

【答案】7

4

【详解】

解：由三角形的面积公式得s=4AsinA,S=

24

二匚I、1"+C'2―/1..

所以--------=-bcsinA,

42

因为〃+c?—a?=2Z?ccosA,

所以一"（：os4=;〃八后A,BPsinA=cosA,

因为A£（0/）,所以A=?

故答案为：£

4

16.中，。是BC上的点，AO平分N8AC,△ABO面积是AADC面积的2倍，AD=I,DC=—,

2

则AC=.

【答案】1

【详解】

解：因为A。平分NBAC,△M£＞面积是AADC面积的2倍，

所以NC4T）=/aW,S^ABD=^ABADsinABAD,SAADC=^-AC-ADsinZCAD,

所以AB=2AC,

设AABC中8c边上的高为力，

因为山打二］。/,S皿=g.DCh,

所以8O=2DC=血，

因为AD=1,

AD2+BD2-AB23-4AC2

所以在△ABQ中，cosZBDA=

2ADBD2A/2

3_

在“OC中，csi"仁二4r2

2ADDCa

因为cosABDA=cos（万一ZCQ4）=-cosZ.CDA,

二一40)

所以cosNBOA+cosNCDA=0,即23-4AC"_解得AC=1

故答案为：1

四、解答题

17.记A/WC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知cos?A-sii?A+g=O.

(1)求角A的值；

(2)若AABC为锐角三角形，设a=J回，6=5,求AABC的面积.

【答案】(1)A=!兀或京(2)凶

364

(1)

cos2A-sin2A+—=cos2A+—=0,所以cos2A=-'，因为A£(O,TC),所以2AE(0,2TT),故2A=2兀或3兀,

22233

12

即4=一兀或Q■兀.

33

(2)

由第一问所求和“U3C为锐角三角形得A=g兀，

由余弦定理可得储=。2+/一2)CCOSA,化为02一5c+6=0,解得c=2或3,

19+4-25

若。=2,则SS8=2X辰2s即B为钝角，「。=2不成立，

当c=3,经检验符合条件，△ABC的面积为S=，/?csinA=」x5x3xY^=^叵.

2224

18.已知△A8C的内角48,C的对边分别为a,b,c,且a(l-cosC)=ccosA.

(1)证明：“ABC是等腰三角形；

(2)若AABC的面积为延，月.cosC=：,求AABC的周长.

33

【答案】(1)证明见解析；(2)2五+港.

3

(1)在AAAC中，<7(1—cosC)=ccosA<^>a=acosC+ccosA,

由射影定理6=acosC+ccosA得，a=b>

所以△ABC是等腰二角形.

(2)

在AABC中，因cosC=gFLCw(0,7t),则sinC=M2,

33

又S^ABC=；absinC=,即必=2,由(1)知。=。，则有〃=b=也，

在中，由余弦定理得：02=/+^—2〃hcosC=2+2—2x&x&xg二g,解得c=亚，

333

又a=6=&，则。，b,c能构成三角形，符合题意，a+b+c=2&+*，

所以的周长为2&+也.

3

19.在AA8C中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(»+c)sin8+(2c+b)sinC.

(1)求A的大小；

(2)若sin8+sinC=l,试判断AABC的形状；

(3)若a=2,求AABC周长的最大值.

【答案】(1)A=y(2)等腰钝角三角形(3)最大值为2+竽

（1）因为2asinA=（2/?+c）sinB+（2c+/?）sinC,

根据正弦定理得加2=（»+c）b+（2c+0）c,整理得层+。2-42=—加

由余弦定理可得cosA=，+f

2bc2

DTT

又Ae(O,万)，所以4=看

(2)

由(1)知人=与，又sin8+sinC=l得sinB+sin[3-B]=l,

即sinB+—cosB一■-sinB=—sinB+—cosZJ=sinf8+生]=1,

2222I3)

因为则?<B+?〈与，

:.B+-=~,BPB=-,C=工，

3266

则AA8C为等腰钝角三角形；

(3)

由a=2,^4=—及余弦定理知a2—b2+c2-IbccosA=[b+c^-bc>(b+cy_.("：)一=]”；)..

则e+C)?4与，知修+c)a=迪，当且仅当6=C=2叵时等号成立

3’33

所以a+/?+c42+

3

因此AABC周长的最大值为2+生叵.

3

20.在①sin2c=GcosC,②c（2+cos8）=JlbsinC,③bsin4+石。＜：058=0这三个条件中任选一个,

补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明

理由.

问题：是否存在AA3C,它的内角A,B,C所对的边分别为a,"C,且匕=7,c=5,?

【答案】答案见解析.

【详解】

选择①sin2C=6cosc

由sin2c=6cosC,得2s