(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习6.6《数列中的综合问题》(原卷版)

第第页§6.6数列中的综合问题考试要求1.了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题.2.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．题型一数学文化与数列的实际应用例1(1)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块(2)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么eq\i\su(k＝1,n,S)k＝_______dm2.教师备选1．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，今年3月20日为春分时节，其日影长为()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺2．古希腊时期，人们把宽与长之比为eq\f(\r(5)－1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)≈0.618))的矩形称为黄金矩形，把这个比值eq\f(\r(5)－1,2)称为黄金分割比例．如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K之间的距离超过1.5m，C与F之间的距离小于11m，则该古建筑中A与B之间的距离可能是(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)()A．30.3m B．30.1mC．27m D．29.2m思维升华数列应用问题常见模型(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系．跟踪训练1(1)随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到()A．2022年12月 B．2023年2月C．2023年4月 D．2023年6月(2)(多选)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则()A．a4＝12B．an＋1＝an＋n＋1C．a100＝5050D．2an＋1＝an·an＋2题型二等差数列、等比数列的综合运算例2已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.教师备选已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1﹣an，cn＋1＝eq\f(bn,bn＋2)cn，n∈N*.(1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋eq\f(1,d)，n∈N*.思维升华对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d>0证明不等式成立．另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法．跟踪训练2已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n﹣1.题型三数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例3已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)<eq\f(1,2).命题点2数列与函数的交汇例4(1)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，a2，a3是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3﹣6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是________．教师备选1．已知函数f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝______________.2．求证：eq\f(1,2＋1)＋eq\f(2,22＋2)＋eq\f(3,23＋3)＋…＋eq\f(n,2n＋n)<2(n∈N*)．思维升华数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明．跟踪训练3(1)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若eq\f(bn,Sn＋11)≤λ恒成立，则λ的最小值为________．(2)若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，S2＝4.①求数列{an}的通项公式；②设bn＝eq\f(3,anan＋1)，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<eq\f(m,20)对所有n∈N*都成立的最小正整数m.课时精练1．从“①Sn＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(a1,2)))；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，________，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝SKIPIF1<0，数列{bn}的前n项和为Wn，求Wn.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且aeq\o\al(2,n＋1)＝2Sn＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若bn＝an·2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>2022的最小的正整数n的值．3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝25，且a3﹣1，a4＋1，a7＋3成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝(﹣1)nan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求T2n.4．由整数构成的等差数列{an}满足a3＝5，a1a2＝2a4.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝2n，将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在前面；当