【复习】第02讲 一元二次函数、方程和不等式（原卷版）-【寒假衔接讲义】高一数学寒假讲义练习（新人教A专用）

第第页第02讲一元二次函数、方程和不等式【学习目标】1、梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式—基本不等式.2、体会函数观点统一方程和不等式的数学思想.【考点目录】考点一：等式性质与不等式性质考点二：利用基本不等式求最值考点三：二次函数与一元二次方程、不等式考点四：恒成立问题考点五：二次函数根的分布问题考点六：不等式在实际问题中的应用【基础知识】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则(为正数)、或(为负数)三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，.比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③.对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：(1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，运算性质有：(1)可加法则：(2)可乘法则：(3)可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.①；②；③.中间量法：若且，则(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.知识点四、基本不等式1、对公式及的理解.(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2、由公式和可以引申出常用的常用结论①(同号)；②(异号)；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点五、用基本不等式求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和(或积)为定值；③各项能取得相等的值.5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.知识点六、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数()的图象有两相异实根有两相等实根无实根知识点七、一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.【考点剖析】考点一：等式性质与不等式性质例1.已知，则(

)A. B. C. D.例2.已知.则的取值范围是(

)A. B. C. D.例3.对任意实数，命题：①若，则；②若，则；③若，则.④若，则，其中真命题的个数是(

)A.0 B.1 C.2 D.3考点二：利用基本不等式求最值例4.函数的最小值是(

)A.7 B.9 C.12 D.例5.若实数，满足，则的最小值为(

).A.4 B.3 C.2 D.1例6.已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是(

)A.a＝4b B.C.的最大值为 D.的最大值为例7.已知，且，则的最小值为(

)A.2 B.3 C.4 D.5例8.负实数、满足，则的最小值为(

)A. B. C. D.考点三：二次函数与一元二次方程、不等式例9.已知关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是(

)A. B. C. D.例10.不等式的解集是(

)A. B.C. D.例11.关于的不等式的解集为，且，则(

)A.3 B. C.2 D.例12.已知函数.(1)若，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式.例13.已知不等式的解集为或.(1)求的值；(2)解不等式.考点四：恒成立问题例14.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.例15.对任意的，恒成立，则的取值范围为(

)A. B. C. D.例16.不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是(

)A. B.C. D.例17.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是()A. B.C. D.例18.若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是(

)A. B.或C.或 D.考点五：二次函数根的分布问题例19.关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是(

)A. B. C. D.例20.若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________.例21.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为__________.考点六：不等式在实际问题中的应用例22.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米().(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.例23.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙(靠墙的一面不用篱笆)的矩形菜园,墙长,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积时多少?例24.某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.己知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位：元).(1)求函数的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【真题演练】1.不等式的解集是(

)A. B.C. D.1.已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(

)A.2 B.4 C.6 D.82.若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.63.若，则的最小值为____________.4.设，则的最小值为______.5.已知函数(为常数)，且方程有两个实根为.(1)求函数的解析式：(2)设，解关于的不等式：.6.解不等式：.7.若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是____________；若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是____________.【过关检测】一、单选题1.函数的最小值是(

)A.7 B. C.9 D.2.不等式的解集为,则函数的图像大致为(

)A. B.C. D.3.设(、为互不相等的正实数)，，则与的大小关系是(

)A. B.C. D.4.不等式的解集为，则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.5.下列结论正确的是(

)A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则6.已知，且，则的最小值为(

)A.2 B.3 C.4 D.57.若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是(

)A.(1，+∞) B.(0，1) C.(1，1) D.[1，+∞)8.某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是(

)A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2二、多选题9.若，，且，则下列不等式成立的是(

)A. B. C. D.10.当时，下列函数中最小值不是2的有(

)A. B.C. D.11.下列说法正确的有(

)A.若，则的最大值是B.若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3C.若，，，则的最小值是2D.若实数x，y满足，则的最小值是12.已知关于x的不等式的解集为，且，若，是方程的两个不等实根，则(

)A. B. C. D.三、填空题13.已知关于的方程的两根为、.若，则实数的值是______.14.已知关于x的不等式的解集为R，则b的取值范围是__________.15.已知，则__________.(填“＞”“＜”或“＝”)16.已知，且，则的最小值是________四、解答题17.某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数，其中是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益